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高中数学人教B版必修1第一章1.1集合与集合的表示方法讲义


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1.1 知识要点:

集合与集合的表示方法

一. 集合与元素的定义 1. 元素:构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(成员) ,用小写英文字母 a,b,c... 表示。 2. 集合:一般地,把一些能够确定的、具有共同属性的不同对象看成一个整体,这个 整体就称为一个集合(简称为集) ,用大写英文字母 A,B,C...表示。 二. 集合与元素的关系:

三. 元素的特性 1. 确定性: 2. 互异性: 3. 无序性: 四. 集合的分类 1. 根据元素的类型可以分为:

2. 根据元素的数量可以分为: 五. 常见数集的表示:

六. 集合表示方法 1. 列举法:把集合中的元素一一列举出来,并用花括号“ ? ?”括起来的表示方法

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2. 描述法:在花括号内先写上表示这个集合一般元素的符号及取值范围,再画一条竖 线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

3. 维恩图法(文氏图法) :用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合。

题型归纳:
题型一. 集合的判定 例一.下列各组对象: ①某个班级中年龄较小的男同学; ②平面上到点 O 的距离等于 1 的点的全体;③2010 年上海世博会的所有展馆;④ 2的所有近似值;⑤1,2,3,1;⑥正 三角形的全体. 能够组成集合的是________.

变式训练一. 下列各组对象,能构成集合的有( ①对环境污染不太大的塑料; ②中国古典文学中的四大名著; ③所有的正方形; ④方程 x(x2-2x-3)=0 的所有实数根. A.① C.②③④ B.①② D.①②③④

)

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题型二. 元素与集合的关系 例二. 用符号 ? 与?填空: (1)0________N*; 3________Z; 0________N;(-1)0________N*; 4 3+2________Q; ________Q. 3 (2)3________{2,3};3________{(2,3)}; (2,3)________{(2,3)};(3,2)________{(2,3)}. (3)若 a2=3,则 a________R,若 a2=-1,则 a________R. 例三. 若 3∈{m-1,3m,m2-1},则 m=________.

1 变式训练二. 集合 A 是由形如 m+ 3n(m∈Z, n∈Z)的数构成的, 判断 是不是集 2- 3 合 A 中的元素.

题型三. 集合中元素特性的应用 例四. 集合 A 中有三个元素 a-3,2a-1,a2-4,且-3∈A,求 a 的值.

变式训练三. 若一个集合中的三个元素 a,b,c 是△ABC 的三边长,则此三角形一定 不是( ) B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形

A.锐角三角形

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变式训练四. 已知集合 A 是由三个元素 m-1,3m,m2-1 组成的集合,且-1∈A,求 实数 m 的值.

题型四. 列举法的考查 例五. 用列举法表示下列集合: (1)不大于 10 的非负偶数组成的集合; (2)方程 x2=x 的所有实数解组成的集合; (3)直线 y=2x+1 与 y 轴的交点所组成的集合. 变式训练五. 用列举法表示下列集合: (1)由所有小于 10 的既是奇数又是素数的自然数组成的集合; |a| |b| (2)式子 + (a≠0,b≠0)的所有值组成的集合. a b

题型五. 描述法的考查

例六. 用描述法表示下列集合: (1)被 5 除余 1 的正整数集合; (2)小于 4 的全体奇数构成的集合; (3)坐标平面内,两坐标轴上点的集合; (4)三角形的全体构成的集合; (5){2,4,6,8}.

变式训练六. 用描述法表示下列集合. 1 2 3 4 5 (1){ , , , , }; 3 4 5 6 7 (2)坐标平面内的第一、三象限内点的集合; (3)图中阴影部分(含边界)的点的坐标.

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题型六. 分类讨论思想综合题

例七. 已知集合 A 是由方程 ax2+2x+1=0(a∈R)的实数解作为元素构成的集合. (1)1 是 A 中的一个元素,求集合 A 中的其他元素; (2)若 A 中有且仅有一个元素,求 a 的值组成的集合 B; (3)若 A 中至多有一个元素,试求 a 的取值范围.

变式训练七. 已知集合 A={x∈R|ax2+x+2=0},若 A 中至少有一个元素,则 a 的取 值范围是________.

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