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直线与方程知识点自总结3


第三章:直线与方程的知识点
倾斜角与斜率
1. 当直线 l 与 x 轴相交时,我们把 x 轴正方向与直线 l 向上方向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角.当 直线 l 与 x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为 0°. 则直线 l 的倾斜角 ? 的范围是 0 ? ? ? ? . 2. 倾斜角不是 90 °的直线的斜率,等于直线的倾斜角的正切值,即 k ?

tan ? . 如果知道直线上两点 y ? y1 . 特别地是,当 x1 ? x2 , y1 ? y2 时,直线与 x 轴垂直,斜率 k P( x1 , y1 ), P( x2 , y2 ) ,则有斜率公式 k ? 2 x2 ? x1 不存在;当 x1 ? x2 , y1 ? y2 时,直线与 y 轴垂直,斜率 k=0. 注意:直线的倾斜角α=90°时,斜率不存在,即直线与 y 轴平行或者重合. 当α=90°时,斜率 k=0; 当 0? ? ? ? 90? 时,斜率 k ? 0 ,随着α的增大,斜率 k 也增大;当 90? ? ? ? 180? 时,斜率 k ? 0 ,随着α的 增大,斜率 k 也增大. 这样,可以求解倾斜角α的范围与斜率 k 取值范围的一些对应问题.

两条直线平行与垂直的判定
1. 对于两条不重合的直线 l1 、 l2 ,其斜率分别为 k1 、 k 2 ,有: (1) l1 // l2 ? k1 ? k2 ; (2) l1 ? l2 ? k1 ? k2 ? ?1 . 2. 特例:两条直线中一条斜率不存在时,另一条斜率也不存在时,则它们平行,都垂直于 x 轴;….

直线的点斜式方程
1. 点斜式:直线 l 过点 P0 ( x0 , y0 ) ,且斜率为 k,其方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) . 2. 斜截式:直线 l 的斜率为 k,在 y 轴上截距为 b,其方程为 y ? kx ? b . 3. 点斜式和斜截式不能表示垂直 x 轴直线. 若直线 l 过点 P0 ( x0 , y0 ) 且与 x 轴垂直,此时它的倾斜角为 90°, 斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示,这时的直线方程为 x ? x0 ? 0 ,或 x ? x0 . y ? y0 ? k 与 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 是不同的方程,前者表示的直线上缺少一点 P0 ( x0 , y0 ) ,后者才是 4. 注意: x ? x0 整条直线.

直线的两点式方程
1. 两点式:直线 l 经过两点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) ,其方程为
y ? y1 x ? x1 ? , y2 ? y1 x2 ? x1

x y ? ?1. a b 3. 两点式不能表示垂直 x、y 轴直线;截距式不能表示垂直 x、y 轴及过原点的直线. x ? x y ? y2 4. 线段 P1 P2 中点坐标公式 ( 1 2 , 1 ). 2 2
2. 截距式:直线 l 在 x、y 轴上的截距分别为 a、b,其方程为

直线的一般式方程
1. 一般式: Ax ? By ? C ? 0 ,注意 A、B 不同时为 0. 直线一般式方程 Ax ? By ? C ? 0 ( B ? 0) 化为斜截式 A C A C 方程 y ? ? x ? ,表示斜率为 ? ,y 轴上截距为 ? 的直线. B B B B 2. 与直线 l : Ax ? By ? C ? 0 平行的直线,可设所求方程为 Ax ? By ? C1 ? 0 ;与直线 Ax ? By ? C ? 0 垂直的 直线,可设所求方程为 Bx ? Ay ? C1 ? 0 .
? C ? 0( A2 , B2 不 3. 已知直线 l1 , l2 的方程分别是:l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ( A1 , B1 不同时为 0) ,l2 : A 2 x? 2B y2 同时为 0) ,则两条直线的位置关系可以如下判别: (1) l1 ? l2 ? A1 A2 ? B1 B2 ? 0 ; (2) l1 // l2 ? A1B2 ? A2 B1 ? 0, AC 1 2 ? A2 B 1 ?0;

(3) l1 与 l2 重合 ? A1 B2 ? A2 B1 ? 0, AC 1 2 ? A 2B 1 ? 0 ; (4) l1 与 l 2 相交 ? A 1 B2 ? A 2B 1 ? 0. A B C A B C A B 如果 A2 B2C2 ? 0 时,则 l1 // l2 ? 1 ? 1 ? 1 ; l1 与 l2 重合 ? 1 ? 1 ? 1 ; l1 与 l2 相交 ? 1 ? 1 . A2 B2 C2 A2 B2 C2 A2 B2

两条直线的交点坐标 1. 一般地,将两条直线的方程联立,得到二元一次方程组 ?
? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 . 若方程组有惟 ? A2 x ? B2 y ? C2 ? 0

一解,则两条直线相交,此解就是交点的坐标;若方程组无解,则两条直线无公共点,此时 两条直线平行;若方程组有无数解,则两条直线有无数个公共点,此时两条直线重合.
1

2. 方程 ? ( A1 x ? B1 y ? C1 ) ? ( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 为直线系,所有的直线恒过一个定点,其定点就是 A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 与 A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的交点. 两点间的距离 2 2 1. 平面内两点 P 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) ,则两点间的距离为: | PP 1 2 |? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) . 特别地,当 P 1, P 2 所在直线与 x 轴平行时, | PP 1, P 2 所在直线与 y 轴平行时, 1 2 |?| x1 ? x2 | ;当 P | PP 1 2 |?| y1 ? y2 | ; 点到直线的距离及两平行线距离 1. 点 P( x0 , y0 ) 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离公式为 d ?
| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

.

2. 利用点到直线的距离公式, 可以推导出两条平行直线 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 ,l2 : Ax ? By ? C2 ? 0 之间的距离公式 d ? 即
d? | C1 ? C2 | A2 ? B 2

, 推导过程为: 在直线 l2 上任取一点 P( x0 , y0 ) , 则A x0? B y 0C ?

2

? 0,

Ax0 ? By0 ? ?C2
| Ax0 ? By0 ? C1 | A ?B
2 2

.

这 时 点 P( x0 , y0 ) 到 直 线 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0

的 距 离 为

?

| C1 ? C2 | A2 ? B 2

一.选择题 1.(安徽高考) 过点(1,0)且与直线 x-2y=0 平行的直线方程是( A.x-2y-1=0 B. x-2y+1=0 C. 2x+y-2=0 D. x+2y-1=0 2. A. C. 3. A. 过点 P(?1,3) 且垂直于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的直线方程为(





2x ? y ? 1 ? 0 x ? 2y ? 5 ? 0

B. D.

2x ? y ? 5 ? 0 x ? 2y ? 7 ? 0


已知过点 A(?2, m) 和 B(m, 4) 的直线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行,则 m 的值为(

0

B.

?8

C.

2

D.

10


4.(安徽高考)直线过点(-1,2) ,且与直线 2x-3y+4=0 垂直,则直线的方程是( A . 3x+2y-1=0 B. 3x+2y+7=0 C. 2x-3y+5=0 D. 2x-3y+8=0 )

5.设直线 ax+by+c=0 的倾斜角为 ? ,切 sin ? ? cos ? ? 0 则 a,b 满足 ( A. a+b=1 B. a-b=1 C. a+b=0 D. a-b=0 6. 如果直线 ax+2y+2=0 与直线 3x-y-2=0 平行,则系数 a= A、 -3 B、-6 C、 ? 3
2

D、 2
3

7.点 P(-1,2)到直线 8x-6y+15=0 的距离为( A 2 B 1
2



C 1

D

7 2

8. 直线 mx-y+2m+1=0 经过一定点,则该点的坐标是 A(-2,1) B (2,1) C (1,-2) D (1,2)
2

9. (上海文,15)已知直线 l1 : (k ? 3) x ? (4 ? k ) y ? 1 ? 0, 与l2 : 2(k ? 3) x ? 2 y ? 3 ? 0, 平行,则 k 得值是 ( A. ) 1或3 B.1 或 5 C.3 或 5 D.1 或 2 ) L3 L2 x L1 11.(05 北京卷) “m=

10、若图中的直线 L1、L2、L3 的斜率分别为 K1、K2、K3 则( A、K1﹤K2﹤K3 B、K2﹤K1﹤K3 C、K3﹤K2﹤K1 o D、K1﹤K3﹤K2

1 ”是“直线(m+2)x+3my+1=0 与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0 相互垂直”的( ) 2
(B)充分而不必要条件 (D)既不充分也不必要条件 )

(A)充分必要条件 (C)必要而不充分条件

12、与直线 2x+3y-6=0 关于点(1,-1)对称的直线是( A.3x-2y-6=0 B.2x+3y+7=0 C. 3x-2y-12=0 D. 2x+3y+8=0 13. 若直线 ax + by + c = 0 在第一、二、三象限,则( A. ab>0,bc>0 C. ab<0,bc>0 14. ( 2005 北京文) “ m= ( ) A.充分必要条件 C.必要而不充分条件 )

B. ab>0,bc<0 D. ab<0,bc<0

1 ”是“直线 (m+2)x+3my+1=0 与直线 (m - 2)x+(m+2)y - 3=0 相互垂直”的 2
B.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件

15. 如果直线 l 经过两直线 2x - 3y + 1 = 0 和 3x - y - 2 = 0 的交点,且与直线 y = x 垂直,则原点 到直线 l 的距离是( A. 2 ) B. 1
2 C. 2 2

16. 原点关于 x - 2y + 1 = 0 的对称点的坐标为(
2? ?4 A. ? , - ? 5? ?5 ?4 2? C. ? , ? ?5 5? 二、填空题

)
? 2 4? B. ? - , ? ? 5 5? 4? ?2 D. ? , - ? 5? ?5

1.

点 P(1, ?1) 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离是________________.

2.已知 A(-4,-6),B(-3,-1),C(5,a)三点共线,则 a 的值为( ) 3.经过两直线 11x+3y-7=0 和 12x+y-19=0 的交点,且与 A(3,-2) , B(-1,6)等距离的直线的方程是 。
3

4. (全国Ⅰ文 16) 若直线 m 被两平行线 l1 : x ? y ? 1 ? 0与l2 : x ? y ? 3 ? 0 所截得的线段的长为 2 2 , 则m 的倾斜角可以是 ① 15 其中正确答案的序号是 三.解答题 1.已知两条直线 l1 : x ? 1 ? m? y ? 2 ? m, l2 : 2mx ? 4 y ? ?16 . (1)相交 (2)平行 (3)垂直 ② 30 ③ 45 ④ 60 ⑤ 75

.(写出所有正确答案的序号)

?

m 为何值时, l1与l2 :

2.

求经过直线 l1 : 2 x ? 3 y ? 5 ? 0, l 2 : 3x ? 2 y ? 3 ? 0 的交点且平行于直线 2 x ? y ? 3 ? 0 的直线方程.

3.求平行于直线 x ? y ? 2 ? 0, 且与它的距离为 2 2 的直线方程。

4.已知直线 l1 : mx + 8y + n = 0 与 l2 : 2x + my - 1 = 0 互相平行,求 l1,l2 之间的距离为 5 时的直线 l1 的 方程.

5.已知三角形 ABC 的顶点坐标为 A(-1,5) 、B(-2,-1) 、C(4,3) ,M 是 BC 边上的中点。 (1)求 AB 边 所在的直线方程; (2)求中线 AM 的长(3)求 AB 边的高所在直线方程。

6.求与两坐标轴正向围成面积为 2 平方单位的三角形,并且两截距之差为 3 的直线的方程。

4


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