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对《问题解决1》的思考与讨论2


对《问题解决1》的思考与讨论

杭州新思维教育培训中心

陈敏

xinsiwei999@163.com

应用问题

把日常生活或经济生活中的实际问题,用语言、文字
或图形、表格来表示已知数量和未知数量的相互关系,而 求未知数量的问题,称为应用问题。

/>理解运算意义

处理信息:分析和推理

模型思想

相关背景

可分性

相并关系

份总关系 比例关系

?基本数量关系
可比性 相差关系

倍比关系

?基本复合

93类 (+- —— 6类) ax+cd=f ab+cd=f

(a+b)c=f

ax+by=f ax+by=f

mx=ny x+y=n

?基本结构

a/b-c/d=f

a/b-c/b=f ab=cx
反比例

a/b-a/d=f

a/b=x/b a/b=c/x
正比例

基本数量关系

——一步应用问题

核心:选择算法



?“关键词”

?不恰当的线索

?当天的学习内容
所有的数都要用上 ?数的暗示 根据数的特点选择算法

……

?分析数量关系

?题材内容

?叙述方式

隐藏的信息

?思考方向

逆向题

?选择算法
?明确数量

?分析数量关系

生活经验

?与运算意义相联系

?列式计算 ?检查

数学模型(Mathematical Model)作为模型的一类,也
是一种模拟,是以数学符号、数学表达式、程序、图形等 为工具对现实问题或实际课题的本质属性的抽象而又简洁 的刻画,它或能解释某些客观现象,或能预测未来的发展 规律,或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优 策略或较好策略等。

这种应用各种知识从实际课题中抽象、提炼出数学
模型的过程被称为数学建模(Mathematical Modeling)。

在每一次人数不少于6人的聚会中必可找出这样的 3人,他们或者彼此均认识或者彼此均不认识。

证明:采用图来描述这一问题,将人看成顶点,对n人 的聚会构造一个n个顶点的图。对任意两点,如它们对 应的两人是认识的,用一实线相连,否则用一虚线相

连。

任取一顶点,例如υ1。它与其余五个顶点的连线中 实线和虚线的条数至少有一个不小于3,不妨设实 线的条数至少为3,例如υ1υ2、υ1υ3和υ1υ4为实线。如

图所示。

某人要带狗、鸡、米过河,但小船除了需要有人去划 以外,最多只能载一物过河,而当人不在场时,狗要咬鸡、 鸡要吃米,问此人应如何过河。

在本例中,人鸡狗米都只有两种可能状态,即在此岸或在 彼岸(不在此岸)。我们将用向量来表示状态,可采取如下方

法:一物在此岸时相应量取1,而在彼岸时则相应量取为0,例
如(1,0,1,0)表示人和鸡在此岸,而狗和米则在彼岸。

?可取状态:根据题意,并非所有状态都是允许的,例如 (0,1,1,0)就是一个不可取的状态,因为狗会咬鸡。本题 中可取状态(即系统允许的状态)可以用穷举法列出来, 它们是:
人在此岸 (1 1 1 1) (1 1 1 0) (1 1 0 1) (1 0 1 1) (1 0 1 0) 人在对岸 (0 0 0 0) (0 0 0 1) (0 0 1 0) (0 1 0 0) (0 1 0 1)

总共有十个可取状态。对一般情况,也可找出状态 为可取的充要条件,让计算机根据充要条件来检查得到 的状态是否为可取状态。

?可取运算:状态转移需要经过状态运算来实现。在实际 问题中,摆一次渡即可改变现有状态。为此再引入一个四 维向量(转移向量),用它来反映摆渡情况。例如(1,1,0, 0)表示人带狗摆渡过河。根据题意,允许使用的转移向量 只能有(1,0,0,0)、(1,1,0,0)、(1,0,1,0)、(1, 0,0,1)四个。 为实现本题中的状态转移,规定一个状态向量与转移 向量之间的运算。规定状态向量与转移向量之和为一新 的状态向量,其运算为对应分量相加,且规定0+0=0, 1+0=0+1=1 , 1+1=0 。 例 如 (1 , 1 , 1 , 1)+(1 , 0 , 1 , 0)=(0,1,0,1),其实际意义为人狗鸡米原来均在此岸, 人带鸡过河,转变为新的状态此岸仅剩狗和米,(注:此 处作这样的运算规定完全是为了与实际情况相符)。

在具体转移时,只考虑由可取状态到可取状态的转 移。问题化为:由初始状态(1,1,1,1)出发,经过奇 数次的上述运算能否转化为(0,0,0,0)的转化问题, 进而,如果能,我们还想知道具体应当如何转化 。 由于规定的运算十分容易在计算机上实现,这样一来 就把一个数学游戏转化为了一个可以在计算机上计算的 数学问题(即建模)。当然,像本题这样简单的问题,也 可通过笔算方法求解,具体可如下进行分析—— (第一次渡河)
?(1,1, 0, 0) ?(0, 0,1,1) ?(1, 0,1, 0) ?(0,1, 0,1) ? ? (1,1,1,1) ? ? ?? 人狗鸡米 ?(1, 0, 0,1) ?(0,1,1, 0) ?(1, 0, 0, 0) ?(0,1,1,1) ? ? ? ? ? (不可取) (可取) (不可取) (不可取)

(第二次渡河)
?(1,1, 0, 0) ?(1, 0, 0,1) ?(1, 0,1, 0) ?(1,1,1,1) ? ? (0,1, 0,1) ? ? =? ?(1, 0, 0,1) ?(1,1, 0, 0) ?(1, 0, 0, 0) ?(1,1, 0,1) ? ? ? ? ? (不可取) (循环,回到原先出现过的状态) (不可取) (可取)

以下可继续进行下去,直至转移目的实现。 上述分析实际上采用的是穷举法,对于规模较大的 问题是不宜采用的。

数学建模
?抽象性

?适切性

——多元

?应用性 ???

内容分析

二、基本数量关系(一) [1]图文应用题 [2]部分数量与总数量 [3]应用问题 差值等分 三、100以内的数 [5]应用问题 相并关系、编号问题

六、基本数量关系(三) [1]线段图 [2]较大数量、较小数量与相差数量 [3]应用问题 七、基本数量关系(四) [1]倍与倍数 [2]一份数量、几份数和几份数量 [3]趣题巧答 [4]综合训练

四、基本数量关系(二) 八、数量关系的复合 [1]图表应用问题 [2]一份数量、份数与总数量 [1]相关联的基本应用题 [2]图文应用题 [3]应用问题 [3]连续两问应用题

一上

相并关系

关系

线段图

关键句转译

书包外+书包里=12本

苹果+梨=14个

吃掉的+剩下的=总个数

变式1:从2个数量到多个数量的和

变式2:多变的方向

变式3:表述形式的变化

信息处理

相差关系

二上

图文转换

思维和语言

方向变式

语言变式

综合

份总关系

操作性

二上

函数关系

萝卜 兔子 18个——9只 ?个——1只

方向变式

语言变式

综合

走向两步

倍比关系

二上

单位“1”

实践 处理信息

教给方法

不求一倍数

训练形式

列式训练

数量关系式

算式

每天看的页数×天数=总页数
7×?=56

56÷7=8(天)

基本变换1:情境变换

?红花5朵,蓝花8朵,红花和蓝花共多少朵? ?一双袜子15元,一条围巾28元,买一双袜子 和一条围巾共多少元? ?要加工一批衣服,已加工50件,还要加工20件, 这批衣服有多少件? ……

比较

基本变换2:可逆变换

基本变换3:扩缩变换

?红花5朵,蓝花8朵,红花和蓝花共多少朵?

?红花5朵,蓝花4束,每束2朵,红花和蓝花共多少朵?

列式训练——信息联想

补充训练

圆圆有25颗聪明星,_________________, 方方有多少颗聪明星?

圆圆有25颗聪明星,方方有18颗聪明星, _____________________?

补充训练——编题训练

选择训练

通过各种训练,其根本目的就是要熟悉数量关系, 建立数量关系的“完形”,熟悉数量关系的各种变式,

储备思维的基本材料。

二、基本数量关系(一) [1]图文应用题 [2]部分数量与总数量 [3]应用问题 三、100以内的数 [5]应用问题

六、基本数量关系(三) [1]线段图 [2]较大数量、较小数量与相差数量 [3]应用问题 七、基本数量关系(四) [1]倍与倍数 [2]一份数量、几份数和几份数量 [3]趣题巧答 [4]综合训练

四、基本数量关系(二) 八、数量关系的复合 [1]图表应用问题 [2]一份数量、份数与总数量 [1]相关联的基本应用题 [2]图文应用题 [3]应用问题 [3]连续两问应用题

两步应用题教学的序列,可以分为“三段六步”。 第一段,两步应用题教学的初期。第一步,学完

“求总数”、“求剩余”两类基本应用题后,出现
这两类基本应用题复合的两步应用题。第二步,学 完“求两数相差多少”以后,出现求总数和求两数 相差复合以及求剩余和求两数相差复合的两步应用 题。在这一阶段的教学中,主要是让学生掌握基本

复合关系的结构,分清基本数量之间的主体数量关
系和从属数量关系??

第二段,两步应用题教学的中期。第三步,学完“求相同 数的和”、“把一个数平均分成几份”、“一个数里包含着几

个另一个数”的基本应用题后,出现这三类乘除应用题和“求
总数”、“求剩余”、“求两数相差”复合的两步应用题。第 四步,学完“求比一个数多/少几”、“求一个数的几倍”、 “求一个数是另一个数的几倍”以后,学习“比多/少求和 (差)”、“先求几倍再求和(差)”以及“三个数比较求第

三个数“的两步应用题。在这一阶段的教学中,主要是使学生
数量掌握分析两步应用题的基本思路。

第三段,两步应用题教学的后期。第五步,学习“求相同

数的和”、“把一个数平均分成几份”、“一个数里包含着几
个另一个数”三类乘除基本应用题和 “求两数相差”、 “求 比一个数多/少几”的加减基本应用题复合的两步应用题;第 六步,出现乘除复合两步应用题,主要是归一、归总的基本题。 在这一阶段的教学中,主要应使学生理解复合关系中数量之间

的对应关系。

第一阶段——感知结构

相同数的和+比多

相同数的和+求部分

求部分+等分除

相同数的和+求相差

比多+比少

求一个数的几倍+求总数 ——和倍

等分+比多

连续两问——两步

训练形式

过渡性改编
?补第2问
商店里有红气球15个,黄气球比红气球少4个,黄气球有多少个? 花气球的个数是黄气球4倍,_______________________?

?补第2次的条件
商店里有红气球15个,黄气球比红气球少4个,黄气球有多少个?

_______________________,花气球有多少个?

?补第1问——中间问题
商店里有红气球15个,黄气球比红气球少4个,____________-? 花气球个数是黄气球的4倍,花气球有多少个?

?两问——两步

从能力的角度来讲,应用问题的教学应该特别重视:

?整理信息,从情境中抽象出数学问题的过程 ?分析数量关系,从已知推理未知的过程 ?遭遇困难,转换表征,调整思考方向的过程

?反思解题过程,在题目之间建立联系,概括结构、方法等
?……

如果把掌握知识的过程比喻为建造一幢大房屋,那么教师
应该提供给学生的知识建筑材料——钻头、灰浆等,把一起砌 垒起来的工作应当由学生去做。经常看到,正是由于教师不让 学生去干这种笨重的建筑工作,才使学生变得不够机灵,理解 力下降的。只有让学生实际地去干,他才会开始掌握知识。

本册中的特殊应用题

差值等分

思路1:8-4=4 4÷2=2

思路2:12÷2=6 8-6=2

操作:图象——表象(内化) 案例——结论(归纳)

画图
归纳

2条

1条 2条

请记住:没有也不可能有抽象的学生

学习给他带来了精神上的满足和有所发现的欢乐

经由知识的学习,让他获得认识世界、通向世界、
改造世界的新能量。

编号问题——植树问题

数一数
5 6 7 8 9 10 11 12

归纳

感性经验

?很重要:理性思维的基础材料
?慢慢来:逐步积累,水到渠成

?有差异:只有自己的概括才是真正的概括

趣题巧答

中国剩余定理

“凑数”如何?

1个小朋友5分钟做1件玩具

信息的整理

总量=男同学和女老师+女同学和男老师=老师+学生

2 5

淘气和皮皮想买同一本书。淘气还差2元,皮皮还差5元。
若他俩的钱合起来倒是正好购买这本书。这本书的价格是 ( )元,淘气带了( )元,皮皮带了( )元。

2本书的钱=(淘气的钱+2)+(皮皮的钱+5)

=(淘气的钱+皮皮的钱)+(2+5)

总之,浙教版新思维小学《数学》坚持以能力为重, 力求从知识体系转向能力体系,充分“发挥数学在培养 人的思维能力和创新能力方面不可替代的作用”,以使 教师在课堂教学中,从知识传递转向智慧教育的轨道。

与您共勉!请多指导!


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