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(理数)茂名市2013年第二次高考模拟考试


茂名市 2013 年第二次高考模拟考试 理科数学
本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分。考试用时 120 分钟。 参考公式: 锥体的体积公式是 V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

一、选择题。 (本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1、 已知全集 U ? R, 则正确表示集合 M={0, 2}和 N={ x | x ? 2 x ? 0 }关系的韦恩 1, (Venn)
2

是(



2.函数 f ( x) ? A. [2, ??)

x?2 ?

1 的定义域是( x ?3

) D. [2,3) ? ? 3, ?? ?

B. [2,3)

C. (??,3) ? (3, ??) ) C、y=x+1 )

3、曲线 f(x)=xlnx 在点 x=1 处的切线方程为( A、y=2x+2 B、y=2x-2 C、y=x-1

4、如图所示的算法流程图中,第 3 个输出的数是( A、1 B、

3 2

C、2

D、

5 2

5、“|x-1|<2 成立”是“x(x-3)<0 成立”的( ) A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件 6、已知等差数列共有 10 项,其中奇数项之和为 15,偶数项之和为 30, 则其公差是( ) A、5 B、4 C、3 D、2 7、向量 a ? (2, 0), b ? ( x, y ) ,若 b 与 b ? a 的夹角等于 最大值为( A、4 ) B、2 3 C、2 D、

?

?

?

? ?

? ? ,则| b |的 6

4 3 3

8、方程

x| x| y| y| =-1 的曲线即为函数 y=f(x)的图象,对于函数 y=f(x) ,有如 ? 16 9

下结论:①f(x)在 R 上单调递减;②函数 F(x)=4f(x)+3x 不存在零点;③函数 y= f(x)的值域是 R;④f(x)的图象不经过第一象限,其中正确的个数是( ) A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个
1

二、填空题。 (每小题 5 分,满分 30 分) (一)必做题(9~13 题) 9、已知复数 z 满足(1+i)z=1-i,则复数 z 的共轭复数为____ 10、某项测量中,测量结果 ? 服从正态分布 N(1, ? 2) ? >0) ( ,若 ? 在(0,1)内取值的 概率为 0.4,则 ? 学科网 在(0,2)内取值的概率为____ 11、若 则 (数字作答) 12、一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为___

13、若对任意 x ? A, y ? B,( A ? R, B ? R)有唯一确定的f ( x, y )与之对应, 则称f ( x, y ) 为关于 x、y 的二元函数。现定义满足下列性质的二元函数 f ( x, y ) 为关于实数 x、y 的 广义“距离”; (1)非负性: f ( x, y) ? 0,当且仅当x ? y 时取等号; (2)对称性: f ( x, y) ? f ( y, x) ; (3)三角形不等式: f ( x, y) ? f ( x, z ) ? f ( z, y ) 对任意的实数 z 均成立。 今给出三个二元函数,请选出所有能够成为关于 x、y 的广义“距离”的序号:
2 ① f ( x, y) ?| x ? y | ;② f ( x, y ) ? ( x ? y ) ;③ f ( x, y ) ?

x ? y.


能够成为关于的 x、y 的广义“距离”的函数的序号是 (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题)

14. (坐标系与参数方程)在极坐标系 ( ? , ? ) (0 ? ? ? 2? ) 中,曲线 ? (cos ? ? sin ? ) ? 1 与

? (cos ? ? sin ? ) ? ?1 的交点的极坐标为
15. (几何证明选讲)如图所示,AB 是半径等 于 3 的圆 O 的直径,CD 是圆 O 的弦,BA,DC 的延长线交于点 P 若 PA=4,PC=5,则∠CBD
2



三、解答题。 (本大题共6小题,满分80分.解答须写出 文字说明、证明过程和演算步骤) 16. (本小题满分 12 分) 如图,A是单位圆与x轴正半轴的交点,点B,P在单位圆上,且B ( ? , ) , ?AOB ? ? ,

3 4 5 5

???? ??? ??? ? ? ?AOP ? ? ( 0 ? ? ? ? ), OQ ? OA ? OP .
设四边形OAQP的面积为S, (1) 求 cos(? ?

); 6 ??? ???? ? (2) 求 f (? ) = OA ? OQ ? S 的单调递增区间。

?

17. (本小题满分12分) 某校高一级数学必修 I 模块考试的成绩分为四个等级,85 分-100 分为 A 等,70 分-84 分 为 B 等,55 分-69 分为 C 等,54 分以下为 D 等.右边的茎叶图(十位为茎,个位为叶)记 录了某班某小组 10 名学生的数学必修 I 模块考试成绩。 (1) 写出茎叶图中这 10 个数据的中位数; (2) 从这 10 个成绩数据中任取 3 个数据,记 ? 表示取到的成绩数据达到 A 等或 B 等的 个数,求 ? 的分布列和数学期望。

18. (本小题满分14分)如图,在边长为4的菱形ABCD中, ?DAB ? 60? ,点E,F分别在边 CD,CB上,点E与点C,点D不重合, EF ? AC , EF ? AC ? O ,沿EF将 ?CEF 折起到 ?PEF 的位置,使得平面 PEF ? 平面 ABFED (1)求证: BD ? 平面 POA

3

(2)设AO ? BD=H,当O为CH中点时,若点Q满足 AQ QP ,求直线OQ与平面PBD所成角 = 的正弦值。

???? ??? ?

19. (本小题满分14分) 已知曲线C: xy=1, 过C上一点 A n ( xn , yn ) 作一斜率 kn ? ?

1 的 xn ? 2

直线交曲线C于另一点 A n ?1 ( xn ?1 , yn ?1 ) ,点列{ An }的横坐标构成数列{ xn },其中 x1 ? (1)求 xn 与 xn ?1 的关系式; (2)求证:数列 (3)求证: 是等比数列;

11 。 7

x2 ? y 2 ? 1 上,动点Q 20. (本小题满分14分)在平面直角坐标系xoy中,动点在椭圆C1: 2
是动圆C2: x ? y ? r (1 ? r ? 2) 上一点。
2 2 2

(1)求证:动点P到椭圆C1的右焦点的距离与到直线x=2的距离之比等于椭圆的离心率; (2)设椭圆C1上的三点 A( x1 , y1 ), B(1,

2 ), C ( x2 , y2 ) 与点F(1,0)的距离成等差数列,线 2

段AC的垂直平分线是否经过一个定点为?请说明理由。 (3)若直线PQ与椭圆C1和动圆C2均只有一个公共点,求P、Q两点的距离|PQ|的最大值。

4

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ? x ? x ? bx, g ( x) ? a ln x, (a ? 0) 。
3 2

(1)若 f ( x) 存在极值点,求实数 b 的取值范围; (3)当 b=0 时,令 F ( x) ? ?

? f ( x), x ? 1 。P( x1 , F ( x1 ) ),Q( x2 , F ( x2 ) )为曲线 y= F ( x) 上的 ? g ( x), x ? 1

两动点,O 为坐标原点,请完成下面两个问题: ①能否使得 ? POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形,且斜边中点在 y 轴上?请说明理由。 ②当 1< x1 ? x2 时,若存在 x0 ? ( x1 , x2 ) ,使得曲线 y=F(x)在 x=x0 处的切线 l∥PQ, 求证: x0 ?

x1 ? x2 2

5

参考答案

6

7

8

9

10

11


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