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2013年全国高中数学联赛黑龙江赛区预赛


3 2  

中 等 数 学 

2 0 1 3年全 国高中数学联赛黑龙江赛 区预赛 
中图分类号: c 4 2 4 . 7 9   文献标识码 : A   文章编号 : 1 0 0 5 — 6 4 1 6 ( 2 0 1 4 ) 0 5 — 0 0 3 2 — 0 6  



/>
选择题 ( 每小题 5分 , 共6 0分 )  

1 . 已知全集 U= R, 集合 

Ⅳ =  

≤   ) ,  
) .  
正 视 图 

M ={  I x  一 6 x+8 ≤0} .  

则图 1 中阴影部分所表示 的集合为(  

目  2   2   1
侧 视 图 
图2  

俯视图 ( 圆 和 正万 形 )  

( A) 4+  
( c) 4+  
1 冬 l   1  

( B ) 4+  
( D) 4+兀  

7 . 程序框 图如 图 3所示. 已知实 数  ∈ [ 1 ,   9 ] . 则输 出的 不小于 5 5的概率 为(   ) .  

( A ) {  I 戈 ≤0 }  

( B ) {  2 ≤   ≤4 }  
( C ) {  1 0<  ≤2或 I > 4 }   ( D ) {  1 0 ≤  < 2 或  > 4 }   2 . 已知 i 为虚数单位. 则 
i +i  +i  +i 4 +… +i   o   =(   ) .  

( A ) i  
为(   ) .  

( B ) 一 i  

( c ) o  

( D) 1  

3 . 命题“ 所有 实数 的平 方均 为正数 ” 的否 定 
( A ) 所有 实数 的平方均不为正数  ( B ) 有的实数的平方 为正数  ( c ) 至少有一个 实数 的平方不为正数 

( A )   (   了 2  ( c   3  ( D ) 詈  
8 . 已知定义在 R上 的函数f (  ) 在( 一∞, 2 )   上是增 函数 , 且  + 2 ) 的图像 关于 Y轴对称. 则 
(   ) .  

( D ) 至少有一个实数的平方为正数 
4 . 已知 直线 Z 过抛物 线 C :   = 4 y的焦 点且 

( A ) 厂 ( 一 1 ) <  3 )   ( C ) - 厂 ( 一 1 ) =  3 )   9 . 化简  s i n   4 a  

( B )  0 ) >  3 )   ( D )  0 ) =  3 )   _( ) .  

与Y 轴垂直. 则直线 Z 与抛 物线 C所 围成 的 图形 
的面积为(   ) .  

4 s i n   ( 手 +   (   一   )  
( A) C O S   2   ( B ) s i n   2 a  

( A ) 了 4  

( B ) 2

( c  8  

( D)  

5 . 将 甲、 乙、 丙、 丁 四名 学 生 分 到 三 个 不 同  的班 , 每个班至少 分到一 名学生 , 且 甲、 乙两名学  生不 能分 到 同一 个 班. 则 不 同的 分法 的种 数 为 
(   ) .  

( C ) C O S   ( D ) s i n   1 0 . 设F   、 F   分别是双 曲线 


鲁: l ( 0 > 0 , 6 > 0 )  

的左 、 右焦点. 若双 曲线右支上存在一点 P , 使得 
( B ) 3 0   ( C ) 3 6   ( D) 8 l   ( O P+O F 2 ) ? F 2 P= 0 ,   其中, 0为坐标原点 , 且I P — F 1   I =   l  

( A) 2 4  
(   ) .  

6 . 图2 是一立体 的三视 图. 则该 立体 体积 为 

I则该双 


曲线 的离心率为(  

) .  

2 0 1 4年 第 5期 

3 3  

( A)   +  

( B )   + 1  

( 2 ) 记 A  A B C的 内角  A 、  

、   C的对 

( c ) 犁  


( D )  
A l B l 、  

应边分别为 口 、 b 、 c , 且c =   , f ( c )=0 , 若 向量 


( 1 , s i n   A ) 、   = ( 2 , s i n   B ) 共线 , 求a 、 b 的值.  
1 8 . ( 1 2分 ) 如图 4 ,  
A  

1 1 . 在直 三 棱柱 A   B 。 C 1一A B C 中, 已 知 
BAC =- 4 “ -A B= A C= A A 。 = 1 , G 、 E分 别为

在正△ A B C中, 点 D、 E  

C C 。 的中点 , D、 F分别 为线 段 A C 、 A B上 的 动点 

分别 在 边 A C 、 A B上 , 且 
1   1 

( 不包括 端点 ) . 若 G D上  , 则线 段 D F的长度  的取值 范围为(   ) .  

A D= -  ̄ - A C , A E= ÷A B ,  
J  J 

B D与 C E交于点 F .   ( 1 ) 证 明: A 、 E、 F 、 D   四点共 圆 ;  
图4  

C  

c   A   )   B ,  )   ( c ) [ 1 ,   )   ( D ) [   ,   )  
1 2 . 设 正项 等 比数列 { a   } 满足 a   =a   + 2 a   .  

( 2 ) 若正△ A B C的边长 为 2 , 求点 A 、 E 、 F 、 D  
所在 圆的半径.   1 9 . ( 1 2分 ) 一个 口袋中有 2个 白球 和  个红 

若存在两 项。  。   使得瓜
最小值为 (   ) .  

= 4 口 。 , 则  +  的  

球( 1 1 , ≥2 , 且 凡∈ z+ ) , 每次从 袋 中摸 出两 个球  ( 每次摸球后把这两个球放 回袋 中 ) , 若摸 出的两 
个球颜色相 同为 中奖 , 否则为不 中奖.  

( A ) 等  ( B ) 警  ( c )   ( D ) 寻  
二、 填空题 ( 每小题 5分 , 共2 0分 )   1 3 . 已知变量 、 Y 满足约束条件 
f x—Y+2≤ O.  

( 1 ) 试用含 n的代数式 表示一次摸球 中奖的  概率 P   ;   ( 2 ) 若 r t =3 , 求 三 次 摸球 恰 有 一 次 中奖 的  概率 ;   ( 3 ) 记 三 次 摸 球 恰 有 一 次 中 奖 的 概 率 为 

_ , 7  
则上的取值 范围为 
1 4 . 定义 f (  ) 是 R 上 的 奇 函数 , 且 当  ≥0  

- 厂 ( P ) , 当n 为何值时 , f ( P ) 取最大值.  
2 O . ( 1 2 分) 数列 { 0   } 的前 1 7 , 项和为 . s   , 满足 
a 1 =1 , 3 t S   一( 2 t + 3 ) S   = 3 t ,   其 中, t > 0 , n >2 I , 且/ Z ∈z .  

时, f (  )=  . 若 对 任 意 的  ∈[ a , a+2 ] 均 有  + a ) ≥   ) , 则实数 a的取值范 围为— — .  
1 5 . 已知 O A :1 , O B=3, O A? O B =0 , 点 C在 

( 1 ) 证 明: 数列 { a   } 是等比数列 ;   ( 2 ) 记数列 { a   } 的公 比为厂 ( t ) , 数列 { b   } 满足 
,   1   、  

A O B内, 且  A O C= 3 0 。 , 设 


OC:m  +n   ( m、 n∈ R) .  

b l  , b n  
求b   的通项公式 ;  

) (  2 ) ,  

则  :  

l 6 . 已知 正 方 形 A B C D 的 一 条 边 在 直 线  Y= 2 x 一1 7上 , 另 ̄ f - P  ̄ 个 顶 点在 抛物 线 Y=   上.  

( 3 ) i g   T  ̄ : 妻( 一 1 ) … 6   6 … , 证 明 :   ≤ 一   2 0 .  
2 1 . ( 1 2分 ) 已知点 F 。 ( 一 1 , 0 ) , F 2 ( 1 , 0 ) ,   OF 2 : ( 戈一 1 )  + Y   = 1 ,  


则该正方形面积 的最小值为  三、 解答题 ( 共7 O分 )   1 7 . ( 1 0分 ) 已知 函数  戈 ) = q  ̄   - s   . n 
一 c。s2  
一  

动 圆在 Y 轴右侧与 Y轴相切 , 同时与 O   相外  为焦点的椭圆.  

切, 此 动圆的圆心轨迹为 曲线 C , 曲线 E是 以 F 。 、  
1(  ∈ R)
.  

( 1 ) 求 曲线 C的方程 ;   ( 2 ) 记 曲线 C与曲线 E在第一象限内的交点 

( 1 ) 当  ∈ 【 一  , 5   1 ( ] 时 , 求 函 数   (   ) 的 最 小  
值和最大值 ;  

为P , 且I P F , I _ ÷, 求曲线E的标准方程;  

中 等 数 学 

( 3 ) 在( 1 ) 、 ( 2 ) 的条件下 , 直线 f 与椭圆 E交 

则 V l =S h=l  ×3 r t  


于A 、  两点 , 若A B的 中点  在 曲线 c上 , 求直  线z 的斜率 k 的取值范 围.  
2 2 . ( 1 2分) 设 

3 7 c .  
=  长方体 一  半圆柱 



):  

(  > O ) .  


2 × 2 × l 一 丢  × 兀  
4 一 争 
图5  

( 1 ) 判断 函数厂 (  ) 的单调性.  

( 2 ) 是否存在实数 a , 使得  ∈( 0 , +∞) 时,  
均 有 
l n ( 1+  )<a x ?  

7 r 

易知 , 当  = 6时 , 输 出结果 = 5 5 .  

故所求概率 即为 1 >6时的情形.   注意到 , 本题符合几何概形.  

若存在 , 求 出 a的取 值 范 围; 若不存在, 请 说 明 
理 由.  

则 p   音?  
8. A.  

( 3 ) 证 明 : ( 1 +   )   < e ( n ∈ z + ) .  
参 考 答 案 


由题意知  ) 关 于  = 2对称.   又 函数  ) 在( 一∞, 2 ) 上单调递增 , 故 




1. D.  

1 ):  5 )<  3 ) ,  

由题意知集合 Ⅳ、   的解集分别为  N={  I  > 1 0   l , M={  1 2 ≤   ≤4 } .   于是 , 所求解集为 
{  1 0 ≤  < 2  
2. A.  

_ 厂 ( 0 ) = 八4 ) <  3 ) .  
9. R  

原式 : — —  



 

> 4 } .  

4 s i n   ( 手 +   ) 。 t a n [ 詈 一 ( 詈 +   ) ]   4 s i n   ( 詈 +   ( 手 +  
:  

注意至 U , i +i  +i  +i  = 0 .  
故 i +i  +i  +i  +… +i   叭  


( i +i  +i 。 +i 4 )× 5 0 3+i =i .  

:  

3 . C.   4 . C.  

4 s i n (   +   ( 詈 +  
2 s  


由题意知焦点坐标 为( 0 , 1 ) .   故 由对称性知所求 图形 的面积为 

: 竺  


2 s i n   2  : 竺  

2 s i n ( 詈  )   2 c 0 s   2  
l I ’ . B.  

s = 2 f   0  d y = 4 ×   j  { {   0   =  . j    
5 . B.  

先从三个班中选两个班安排甲、 乙, 有C 3 2 A ;  
种方法. 再安排 丙 、 丁: 若丙 、 丁均 在没有 甲、 乙的  
班里 , 则有 1 种选法 ; 若 两人一个在没有 甲、 乙的   班里 , 而另一个 在有 甲或 乙的班 里 , 则有 c   c  种 
选法.  

由( D P+D  ) ? F 2 P= 0 , 知  ( O P+O F 2 ) ? ( O P一 0  ) = 0   ( D P )  一 ( 0  )  = 0 .  
于是 , I   O PI =l   O F   I =I   O F   I .  

因此 , △P F 。 F   为直角三角形.   又l   P   l   l = √ 3   I   P  l , 则 
Fl=3 0。 ,   F2=6 0。 ,   Fl PF 2=9 0 。  

从而 , 所求方法数为 

c ; A   ( 1 + c   c   ) = 3 0 .  
6 . A.  

由双 曲线定义知 
l   PF1   l— I   P F2   I=2 a  
c—c=2口  

原立体 图形如图 5所示.   记 圆柱体体积 为 I / 1 , 余 下部分体积为  .  

2 0 1 4年第 5期 
= = >   :  :   +1 .  

3 5  

) 单调递增. 故  /  + 0 ) ≥2 厂 (  )  

0  4 3—1  
l 1 . A.  

√ 2  

) =  √ 2   )   ≤  


建立直角坐标 系 , 则  F ( m, 0 , 0 ) ( 0 < m< 1 ) , D ( 0 , n , 0 ) ( 0< n< 1 ) ,  
G   o, ?   ,  

+ 。 ≥  

.  
1  

① 

因为对  ∈[ 口 , 口+ 2 ] , 式①恒成立 , 所以,  
≥ 口+2   n≥  .  

故  = ( 一   1 ,   , 一   ) ,  = ( m , - 1 , 一   ) .  
由题 意 知 
?

√ 2 —1  

从而, 0∈[ √ 2, +∞) .  
1 5 . 3 , I X.  

赢= 一 詈 一 n +   1 : 0  
.  

建 立平 面直 角 坐 标 系 . 不 妨 设 

=  F / Z+2n: 1  

A ( 1 , 0 ) , 8 ( o , 3 ) , c ( √ 3 y , Y ) .  
则O c=(  y , Y ) = m( 1 , 0 ) + n ( o , 3 ) .  

0<   <  

又一 D F:( m, 一 n , 0 ) , 则  I   DFI  =m2 +n 2:( 1 —2 n )  + 2  


故 』 【  ) ,   m ,   y =3 n  
1 6 . 8 0 .  

n  

: 3 , I X .  

5 n  一4 凡 +1 .  

当 n =   时 , D F 取 到 最 小 值 √   ; 当 凡 = o  离 为 
时, D F取 到最 大值 1 .  
1 2 . D.  

由题意知抛物线上的点 (  ,  ) 到直线 Z 的距 

d:  

二   -

0 S  

>O .  

设该数列 的公 比为 q ( q > 0 ) .   由题意知 g   = q + 2   q = 2 .  

当   :1 时, d取得最小值  √ .  
5  

又 
q  

= 4 a   , 则 
+n=6 .  

要使正方形的面积最 小 , 而 由正方形 的对称  性知抛物线上 的两 点到 ( 1 , 1 ) 的距离 应相 等 , 则 
不妨设这两点为( 口 , 0   ) , ( 2— 0 , ( 2 一 口 )   ) ( 口< 1 ) .  

~ =4  =2  

=  7 n +n一2=4 =  

注意到 ,  

故 √[ 口一( 2 —0 ) ]  +[ Ⅱ   一( 2 一 口 )   ]  
4、 , 扎 +n  
:  

, 札  n + i  、   【  + m   - 2 )   0   一  
=  

1  

4 

,1  

二 

二 

1 ( 5 + n m + 4 n m )  
. 

Ⅱ=一 1 或一 7 .   于是 , 两点坐标分别 为  ( 一 1 , 1 ) , ( 3 , 0 ) 或( 一 7 , 4 9 ) , ( 9 , 8 ) .  

≥  ( 5 + 2   ) =   3

二 、 1 3 .   6 ]   .
由题意知所求 区域 的交点为 

从而 , 所求面积的最小值为 
( 3 +1 )  +( 9— 1 )  = 8 0 .  
三、 1 7 . 由题意知 
=  

/ X.

n   2   一  

一 号  

1 4 . [   , + ∞) .   由题意 , 知对任意满足定义域 的实数 x , y有 
x y )=   ) _ 厂 (  ) .  
由题 设 厂 (  ) 为 R  E奇 函 数 。 且 当  ≥0时 .  
=  

s   . n   2  一  1   / X c 。 s   2   一1  

- s i n ( 2   一 詈 卜 

3 6  

中 等 数 学 

( 1 ) 由一   ≤   ≤  

D A E= 6 0 。 , 则△ A G D为正三角形.  
, ’  

j一 詈  一   < _ ~ 2 3 7 t  


于是 , G D=A G= A D :S  - , 即 
J 

9  

G A=G E=G D=÷ .  



孚  n ( 2 戈 一 詈 ) ≤   譬  n ( 2   一 詈 ) 一 ?  
) 的最小值为 一1 一   , 最大值 为 o .  

3 

从而 , G是 过 A、 E、 F 、 D 的圆的 圆心 , 且 oG  
, '  

的半径为÷ .  
j 

1 9 . ( 1 ) 一 次摸球 从 r t + 2个球 中任选 两个 ,   从而 ,  

有c   +   种选法, 其中两球颜色相同有 C : + C ; 种 
选法.  

( 2 ) 由   c ) = s i n   2 C 一 詈 ) 一 1 = 0 , 知  

于是 , 一次摸球中奖 的概率为 
C  +C   / ' t  一/ ' t +2  

s i n ( 2 c 一 詈  




 

‘  

詈 < 2   L   c 一 詈 <  

( 2 ) 若n = 3 , 则一次摸 球中 奖的 概率为 詈.  
又三次摸球是独立重复实验 , 于是 , 三次摸球 
中恰有一次 中奖的概率为 

2  c 一 詈 = 詈   c = 詈 .  
又向量  、 卢共线 , 从而 , s i n   B= 2 s i n   A .  
由正 弦定 理 得 
b=2 a .  

P 3 ( 1 ) = C  ̄ P ( 1 - P )  =   .  
( 3 ) 设一次摸球 中奖的概率为 P , 则 三次摸球 

① 

由余 弦定理得 


中恰 有一次中奖 的概率为 

f ( p ) = c   p ( 1 一 p )  = 3 p   一 6 p   + 3 p ( o < p< 1 ) .  
注意到 ,  
I 厂   ( p): 9 p  一1 2 p+ 3= 3 ( P一1 ) ( 3 p一1 ) .  



= 0,

2+ 6  一2 a b c o s  

=  

2+b  一0 b=3
.  

② 

由式① 、 ②解得 0= 1 , b = 2 .  
1 8 . ( 1 ) 1  ̄A E=2 A B, 知B E= A B .  
_ _

于 是 , f ( P ) 在 ( 0 ,   ) 上 为 增 函 数 , 在 ( ÷ , 1 )  
上为减 函数.  

在正△ A B C中 , 由  
AD =   c   A D =BE.  

从而, 当P = ÷时,  P ) 取得最大值, 此时,  
P  
:   :  

又A B= B C ,   B A D=   C B E, 则 
△ B A D   △ C B E   A D B=   B E C .  

( L   n >2, / n∈ n   厶 z)   . ‘  

解得 n : 2 .  

故  A DF+   A E F=兀 _  

故当 n = 2 时, 三次摸球恰有一次中奖的概率 
最 大.  

从而 , A 、 E 、 F 、 D 四点共 圆.   ( 2 ) 如图 6 , 取边 A E   的中点 G , 联结 G D . 则 
AG =G E:  

A  

2 0 . ( 1 ) 当n ≥2时 ,  
3 t S   一( 2   +3 ) S   一 l = 3 t ,   3 t S   + 1 一( 2  + 3 ) S  = 3 t .  

上述两式相减得 


扣=   .  
c=2
3,  

3 t a   + 1 一( 2   + 3 ) 口   = 0  
B   C  

3 L   AD =  

图6  

j 

=  

(  

) .  

2 0 1 4年 第 5期 

3 7  

3 t ( a l + a 2 ) 一( 2 t + 3 ) a 1 = 3 t ,   解得 口   = 2   t + 3
.  

Y = k x + m( k #O , m#O ) .  

与 等 2 + } 2 = l 联 立 得  
为  .   J I .
x 2们 3+ 4 k 2 ) (

首项为 1 、 龇 ( 2 ) 由( 1 ) 知  ) :  
1 

 

m 

2=   0 .  

由 △ >0 得

4 . 1 }   一 m   + 3> 0 .   由根与系数关系知 

① 

:  

:  

号 .

X l +  ̄ 2 - 一 丽 8 k n? i  
故  。 =一  4 k m  
3 m 
) , 。=  
? 

b n1  




于是  

故6   = 1 + 5 -   ( 凡 一 1 )  亏 n +   1 ?  
( 3  
n   :

, ’  

一 '  


1  

理 得  

Y   : 4 x并整  将 点   ( 、   1 _   J   T - t   I t . ,   . , T . r n   1 / 代 入  
m:



 

. 

② 

7 

∑6 :   ( 6   一 6 z  )  
k =l  
n 

将式②代人式①得 



一  

f 三  6 :   :一 了 4×  

\  

1 6   k   ( 3+ 4 k   ) < 8 1 .   令  (  >   贝  
6 4   t
2+

二   4  
. 茧  圈漠 增 , 昕 以  因为当 n ≥2 时 ,n 2     + 3 n 单调递增 所 以,  
≤ 一

1   9 2


。<

t 詈 -


8   <。

4   x   5
= 一

2   0
. 

从而 , 一   <  < √ 6 - i - , 且. 1 } ≠o .  

因为 o  D 在 Y轴 右 侧 与 Y轴 相 切 , 同 时 与 
o  相外切 , 所以 , I D F : I 一  = 1 .   从而 ,  (  一 1 )  + Y   :  + 1 .   故 曲线 C的方程为 y 2 = 4 x (  > 0 ) .  

x ) =  

一 1 n ( 1 +  )  

设 g (   )   南 一 l n ( 1 +   ) (   ≥ o ) ? 则  
g   )=   一  

( 2 ) 由曲线 E为椭 圆知 C =1 .  

因 为l P F - I = 寺 , 所 以 , 戈   = 专.  
于是, I   I = ÷.  
由椭圆定义得 
_ 7  

于是 , 函数 g (  ) 在[ 0 , +。 。 ) 上为减 函数.  

故 g ( 戈 )   南 一 I n ( 1 +   ) ≤ g ( o ) = 0 ?  
从而 , f   (  ) < O .  

2 a = I   P F 1   I + I P F 2   l = 々+ 寺= 4  口 = 2 ?  
故b   = a   一 c   = 3 .  

因此 , 函数  ) 在( O , +∞) 上 为减 函数.  
( 2 ) 设h ( x )= I n ( 1 +  ) 一 a x , . 贝 0  

因 此 , 曲 线 E 的 标 准 方 程 为 等 + 等 = 1 .  
( 3 ) 设 直线 Z 与椭 圆 E 的交 点为 A(  , Y 。 ) ,  
B ( x : , Y : ) , A B的中点 M( x 。 , Y 。 ) .  

h t (   )   南 一 
若a ≥1 , 则当   ∈[ 0 , +∞) 时, ^   (   ) ≤0 .  
故 函数 h (  ) 在f 0. +∞ )匕为减 函数 .  

3 8  

中 等 数 学 

2 0 1 3年全国高中数学联赛河南赛 区预赛 
中图分 类号: G 4 2 4 . 7 9   文献标识码 : A   文章编号 :1 0 0 5— 6 4 1 6 ( 2 0 1 4 ) 0 5- 0 0 3 8— 0 4  





填空题( 每小题 8 分, 共6 4分 )  

且 △A B C 为 正 三 角 形.则 其 外 接 圆 面 积 为  8 . 如图 1 , 四棱 锥 F  


1 . 已知数组 ( a   , a   , …, a   ) 与( b 。 , b   , …, b   )   均是 l , 2 , …, n的一个排列. 则 
a l b 1 +a 2 b 2+… +a . b n  

A B C D 的底 面 A B C D  

的最大值 为— — .  

是菱 形 , 对角线 A C=2 ,   E  

2 . 若长方体 的一条体对角线与从 同一个顶点  出发 的三条棱 所成 的角分别为 O l 、 』 B 、  , 则 
!   ! 垦: 竺   !  +   :   +  !  :  ! 旦   C O S   。   C O S 卢   ’   C O S  

B D=   , A E、 C F均 垂直 
平面 A B C D, A E=1 , C F=   A  

2 . 则 四棱锥 E— A B C D与  四棱锥 F— A B C D公共部  分 的体积为— — .   二、 解答题 ( 共7 6 分)  
冈1  

C  

的最小值为— — .   3 . 设 、 Y 为实数. 则 


Y ) =   +   + Y   一  一 Y  

9 . ( 1 6分 ) 证 明: 方程 
3  + 9 ( 1 +   )   +l 8 ( 1 +   )  +l 2+ l 0   = 0  

的最小值为—

.  

4 . 在△ A B C中, 已知三边长分别 为 A B= √ 7,  
B C: √ 3 , C A=   . 则 
— — — —

有唯一实根.   1 0 . ( 2 0分 ) 已知 
内角 , 向量 


、 / B、   C为△ A B C三 



— — — 



— — —



—— —  



— — —— 

— — —— 

A 8? B C+ √ 2 B C? C A+√ 3   c A? A B=  

.  

5 . 已 知 a、 b 、 C∈ R+ , 且 a+3 6+c=9 . 则 

( c o s   ,   s i n  

- =  .  
的最大值.  

a+ b   + c   的最小值为一 一 .   6 . 从 不超 过 2   0 1 3的 正 整 数 确 定 的 集 合  { 1 , 2 , …, 2   0 1 3 } 中任意取 出两个 正 整数. 则恰 为  方程  + Y   = 2 2 y   的解 的概率为
. 


若当/ C最大 时 , 存 在动 点 M, 使得 I   M A   l 、   I   l 、   l l 成等差数列 , 求  1 1 . ( 2 O分 ) 在数列 {  } 中,  
p  十q “,  l=1,  3=4.  

7 . 在平 面直角 坐标 系 x O y中, 点 A( 一1 ,  


1 ) , 设 B、 c 是 曲线 x y =1 (  > 0 ) 上不 同的两点 ,  
因此 , I n ( 1+  )一a ;<h 2 ( 0)=0在 ( 0, +∞ )  

( 1 ) 证明:  + 2 =  + l +  ;  

故h ( x ) = I n ( 1 +  ) 一 a ; 2 > 0 , 不符合题意.  
综上 , a≥1 .  

上 恒 成 立.  

从而 , 当   ∈( 0 , +∞) 时, I n ( 1 +  ) < a ; 2 .   若口 ≤0 , 则h   (  ) > 0 .   于是 , 函数 h (  ) 在[ 0 , +∞) 上为增 函数.   故1 n ( 1 +  ) 一 似> h ( O ) = 0 , 不符合题意.  
若 0< a <1 , 则 当  (   ) = 0时 , 有 =   一1 .  

( 3 ) 由( 2 ) , 知 当  ∈( 0 , +∞) 时, 均有 

(  ±   <1
.  

故l n ( 1 +  )  <1 , 即( 1 +  ) i< e .  

取  : n , 即 可 证 得 f 、   1 +  1 n ,   < e 对 一 切 正 整  
数 n成立.  

从 而 , 当  ∈ 『 L  a 0 ,  一  1   1 ,   时 , h   (   ) > 1 0 , 此 时 ,  
函数 h (  ) 为增 函数.  

( 吴丽华

提供 )  


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