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圆锥曲线离心率取值范围的九种求法(经典)


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团雒曲线离.弋率取值范围的九种求;去
天津市蓟县第一中学
包建民
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求圆锥曲线离心率取值范嗣是高考、数学竞赛中经常考查的 热点问题之一,解决这类问题的基本思路是构造关于a,c或e的 不等式。本文通过实例谈如何通过构造不等式求圆锥曲线离心率 的范围。 一、利用圆锥曲线上点的坐标范围构造不等式 例l:设椭圆≥+yF-;t(a,a㈣的左、右焦点分别为F,、F:,若椭圆上 存在点P,使£FlPF,-900,则椭圆离心率e的取值范围。 解:设点P的坐标为(x,Y)。又点F,的坐标为(-c,0),点F2的 坐标为(c,0)。则有EPto+c。y),E尸=o—c,y)由£Fleft-90。,

例4:已知双曲线;一告=lla>Lb>0)焦距为2c,直线L过点(a,
0)和(O,b),且点(1。0)到直线l的距离与点(1,0)到直线l的距离

之和s≥三c,则双曲线离心率e的取值范围。

离公式且a>l,得到点(1,o)到直线l的距离吐’i嚣,同理得到
点(一l,o)到直线I的距离也-警告,?-4+乩’二2磊ab i’2a,b。,由s≥i4 得竽2i4c即5n√;t7≥2.c2,于是5、/两,>2e2即舵4-25e2+25≤o,解
不等式,得;≤e1“,由于e>l>0,所以,?cI警.吲。
七、利用直线与圆锥曲线的位置关系满足的条件构造不等式

解:直线l的方程为i+;41,即bx+ay—ab=O。由点到直线的距

c,

可知币上面,则面.币:0,即(x+c)(x-c)+间,整理的 x2+灶2,将其与椭圆方程联立,消去y.可得一-O—z。ta_矿a。b一1由椭圆上
点的坐标的范围及£F。PFz=90。,可知,o≤x2<a2,即o s笔≥≠c一 于是有c2≥b2,fill 以上题为例。 解:由椭圆的定义可知IPF,I+lPF2l=2a,于是有IPF,I%1PF21% 21PF,¨PF21=4a2,又£FlPF:=900,可知,IPFll2+IPFf=IFIF21--.--4c2,则可 得IPFlIIPF2l=2(a'--c2),所以,IPFlI、IPF2I可看成方程x2-2ax+2(a2-e2)

例5:已知双曲线≥一若-l(a,o'6,o)的右焦点分别为F,若过F
且倾斜角为600的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则双 曲线离心率e的取值范嗣。 解:设有焦点坐标为F(c,0),则直线方程为v=、/§(x_c),将其

C2≥ak2,F2一了c-≥;,所以,tel≥3 J。
(幸)

二、利用二次方程有实根的条件构造不等式

代人双曲线方程鲁一告~,整理得(3a2-b2)x乙6玉x+a2c2+a铂2=由
当3aZ_b_z-:-O,直线与双曲线的渐近线平行,又因为直线过右焦 点,所以此时直线只与双曲线的右支有一个交点。 当3a2_bz≠0,设方程(+)的两个根为x。、x2'若使直线与双曲线 的右支有且只有一个交点,则直线与双曲线左、右两支各有一交

如的两个实根,于是有A-_4a2-8(a~z)≥o,整理的e2一与≥去,所

以,rt㈧。
三、利用焦半径的取值范围构造不等式

。2

点,所以,XI*x2<0,即j≮三:+笋c 0’即3a2一b2<0。
综上,3a2-b2≤o.即3a2

c2-a2,}24’所以,e∈【2,+∞)。

例2:已知双曲线;一告-№,¨,o)的左、右焦点分别为F,、F2,P
为双曲线右支上一点,且IPF。1=21PF:I,则双曲线离心率e的取值范 围。


(此题也可根据直线斜率与双曲线的渐近线的斜率的大小关 系进行判断,若使直线与双曲线的右支有且只有一个交点,只需



=≥,/3,即3a2一b2≤o,即3a:。<C2--a2,≥≥4?所以,eEf2。+∞o
八、利用三角形两边之和大于第三边构造不等式

解:由双曲线的定义有IPF。l—IPF21=2a,又IPF.1=21PF21,可求 IPF21=2a,又因为IPF2I≥c—a,所以,2a,>c-a,所以,eE(1,3】。 四、利用均值不等式构造不等式

例6:已知双曲线≥一号-l(a,o.6,o)的左、右焦点分别为FI、
F2,P为双曲线左支上一点,P左准线的距离为d,若d,IPF,l,IPF,I 成等比数列,则双曲线离心率e的取值范围。

例3:设椭圆≥+矿y-一l(a,6,o)的左、右焦点分别为F。、F2,若椭圆
上存在点P,使£F。PF2=120。,则椭圆离心率e的取值范围。 解:由余弦定理得IPFIl2+IPF212-21PFlllPF2leosFlPF2=IFIF212,即 4c2=_IPFIl2+IPF2I%IPF。liPF2l-(IPFlI+IPF2I)2-1pFlliPF2l,由椭网定义有

解:因为d,IPF。l,IPF:l成等比数列,所以掣-剽,根据双曲线
的第二定义有掣~案卜r,IPF。I=elPF2l,又根据第一定义,lPFlI—
IPF2I=2a,求得魍I。_12a?隅{。暑。
在APF。F2中,IPF。I+IPF2I>IF以I,当P与F1,F2共线时,有
IPFlI+IPFzI=IFlF2I。

IPFII+lPF2I=2a,于是4cq玉=4a2-IPFlIlPF2I,IPFI|IPF2l:4a2-4c2又

ml院Is坚!学蔓“,所以4柚一≤a2,^£az zi3.即一eI孚1)。
五、利用圆锥曲线重要结论构造不等式 以上题为例。 解:P为椭圆上任意一点,当P点移动到椭圆的短轴的端点B 时,£FlPF2最大。 由已知椭圆上存在点P,使£F.PF:=120。,所以一定有 /_FlPF2≥120。,/_OBF2>1600(0为坐标原点),在RtAOBF2中,

所以,IPFlI“PF2I≥IFIF21,即旦e--I+蓦>2c,e乙2e—l≤o,l一、/乏≤ e≤lⅣ2,又e>1,所以,e∈(1,1+、/21。
(此题也可根据焦半径的范围构造不等式,解法略) 九、利用求函数值域构造不等式

例7:设a>l则双曲线事一毒寺?t的离心率e的取值范围。
解:^妥。虫等业。{+!+2:(!+1)㈠,
d‘ 口‘ 口‘ a a

sinZOBF。t:2"”7-,所以,“I詈。}o
六、利用题设中的已知条件构造不等式

?.‘a>1.?.oc:tI?二2t(:+1)㈡”,即2<e2<5'...e(忻。怕)。

54数学大世界2011/1

万方数据

圆锥曲线离心率取值范围的九种求法
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 包建民 天津市蓟县第一中学 数学大世界(教师适用) SHUXUE DASHIJIE(JIAOSHI SHIYONG) 2011(1)

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