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广州市中学数学青年教师解题比赛区初赛试卷(高中)


绝密★ 启用前

广州市中学数学青年教师解题比赛从化市初赛试卷(高中)
本试卷共 5 页,20 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、所在学校、考号填写在 答卷左侧的规定位置. 2.所有小题的答案必须答在答卷规定位置上,答在其他位置上的答案无效. 一、选择题:本大题共

10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 M ? {1, a 2 }, P ? {?a,?1},若 M ? P 有三个元素,则 M ? P 等于 A.{0,1} B.{0,-1} C.{0} D.{-1}

2.根据表格中的数据,可以断定方程 e x ? x ? 2 ? 0 的一个根所在的区间是

x
ex

-1 0.37 1
B. (0,1)

0 1 2

1 2.72 3
C. (1,2)

2 7.39 4

3 20.09 5
D. (2,3)

x?2
A. (-1,0)

3. 已知等差数列 {an } 的公差 d ? 0 ,它的第 1、5、17 项顺次成等比数列,则这个等比数列 的公比是 A. 4 4.若 sin( B. 3 C. 2 D.

1 2? ? ? ) ? , 则 cos( ? 2? ) 的值为 6 3 3 1 1 7 A. B. ? C. 3 3 9 5.下列命题中, p 是 q 的必要不充分条件的是 1 A. p : ? 2 , q : x ? x . x
B. p : x ? M ? N , , q : x ? M ? N ?M ? N ? ? , M ? N ?.

?

1 2

D. ?

7 9

C. p : 直 线 x ? 3ay ? 2a ? 0 与 圆 x 2 ? y 2 ? 1 相 交 , q :
D. p : ?

a2 ? a ? 2 ? 0 .

?x ? y ? 4 ?x ? 2 . , q:? ? xy ? 4 ?y ? 2

6.若正方体的棱长为 2 ,则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为

A.

2 3

B.

2 6

C.

3 3
1

D.

2 3

7.为调查某市中学生平均每人每天参加体育锻炼时间 x (单位:分 钟) ,按锻炼时间分下 列四种情况统计: 开 (1) 0 ~ 10 分钟; (2) 10 ~ 20 分钟; 始 (3) 20 ~ 30 分钟; (4) 30 分钟以上。 S ?0 有 10000 名中学生参加了此项活动,如图 1 是 此次调查中某一项的流程图,其输出的结果 是 6200,则平均每天参加体育炼时间在 0 ~ 20 T ?1 分钟内的学生的频率是 A.3800 B.6200 C.0.38 D.0.62 输入 x 相 否

8.甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,乙从该正 方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,则所得的两条直线 互垂直的概率是 A.

x ? 20 ?


3 18

B.

4 18

C.

6 18

D.

5 18

S=S+1

9 . 已 知 函 数 f ( x ) 的 定 义 域 为 (?2, 2) , 导 函 数 为

T ? T ?1


f '( x) ? 2 ? cos x, 且 f (0) ? 0 ,则满足

T ? 10000 ?
否 输 出

f (1 ? x) ? f ( x ? x ) ? 0 的实数 x 的取值范围为
2

A. (?1,1) C. (?1,1 ? 2 )

B. (1 ? 2,1) D. (1 ? 2,1 ? 2 )

S
结 束 图1

10. 如图 2 所示的三角形数阵叫 “莱布尼兹调和三角形” , 它是由整数的倒数组成的, 第n行 有 n 个数,且两端的数均为

1 n

? n ? 2? ,
1 2 1 12
1 1

每个数是它下一行左右相邻两数的和,如:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? , ? ? , ? ? , , 1 2 2 2 3 6 3 4 12 则第 10 行的第 4 个数(从左至右数)为 1 1 A. B. 360 1260 1 1 C. D. 504 840
二、填空题:本大题共 4 小题.每小题 5 分,满分 20 分. 11. 2 ?

1 5

1 4

1 3
1 20

1 6
1 30

1 2 1 12

1 3
1 20

1 4

1 5

?? 图2

?

x 展开式中不含 x 4 项的系数之和为

?

8

.

12. 已 知 ?A B C 和 点 M 满 足 MA ? MB ? MC ? 0 . 若 存 在 实 数

m 使 得

AB ? AC ? m AM 成立,则 m ?

.
2

13.已知双曲线

x2 y2 ? ? 1?a ? 0, b ? 0? 的左、右焦点分别为 F1 ?? c,0?, F2 ?c,0?, P 是直线 a2 b2
.

x??

a a2 上一点,且 PF 的值是 1 ? PF2 , PF 1 ? PF 2 ? 4ab ,则 b c

?x ? y ? 0 ?2 x ? y ? 2 ? 14.若不等式组 ? ,表示的平面区域是一个三角形,则 a 的取值范围是 y ? 0 ? ? ?x ? y ? a
三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. (本小题满分 12 分) 已知 f ?x ? ? 3 sin ?x cos?x ? 3 cos2 ?x ? 2 sin 2 ? ?x ? 正周期为 ? . (1) 求 f ?x ? 的单调递增区间; (2) 在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,已知 a ? 1, b ?

? ?

3 (其中 ? ? 0 )的最小 ?? 12 ? 2

??

2 , f ? A? ? 1, 求角 C .

16.(本小题满分 12 分) 在甲、 乙等 7 个选手参加的一次演讲比赛中, 采用抽签的方式随机确定每个选手的演出顺序 (序号为 1,2,……7) ,求: (1)甲、乙两个选手的演出序号至少有一个为奇数的概率; (2)甲、乙两选手之间的演讲选手个数 ? 的分布列与期望.

17. (本小题满分 14 分)
0 如图 3,在四面体 ABOC 中, OC ? OA, OC ? OB, ?AOB ? 120 , 且 OA ? OB ? OC ? 1.

(1)设 P 为 AC 的中点,证明:在 AB 上存在一点 Q ,使 PQ ? OA ,并计算 (2)求二面角 O ? AC ? B 的平面角的余弦值.

AB 的值; AQ
C

P O

B

3

A

图3

18.( 本小题满分 14 分) 某商店投入 38 万元经销某种纪念品,经销时间共 60 天,为了获得更多的利润,商店将每天获得 的利润投入到次日的经营中 , 市场调研表明 , 该商店在经销这一产品期间第 n 天的利润

?1, ? an ? ? 1 n, ? ? 25

1 ? n ? 25 26 ? n ? 60
( 单 位 : 万 元 ,

n ? N ? ), 记 第 n 天 的 利 润 率

bn ?

a3 第n天的利润 ,例如 b3 ? . 前n天投入的资金总和 38 ? a1 ? a2

(1)求 b1 , b2 的值; (2)求第 n 天的利润率 bn ; (3)该商店在经销此纪念品期间,哪一天的利润率最大?并求该天的利润率.

19.(本小题满分 14 分)

x2 y2 如图 4 所示,椭圆 C : 2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? , A1、A2、B1、B2、F1、F2 分别是其左右顶点, a b
上、下顶点和左右焦点,四边形 A1 B1 A2 B2 的面积是四边形 B1 F2 B2 F1 面积的 2 倍. (1)求椭圆 C 的离心率; (2)三角形 B1 B2 A2 的外接圆记为⊙ M ,若直线 B1 F2 被⊙ M 截得的弦长为 程.

13 ,求⊙ M 的方 4 y

20. (本小题满分 14 分)

f ?x? ? x ? a ? ln x ?a ? 0? .
(1)若 a ? 1, 求 f ?x ? 的单调区间及 f ?x ? 的最小值; (2)若 a ? 0 ,求 f ?x ? 的单调区间; 图4

x

(3) 试比较 的结论.

?n ? 1??2n ? 1? 的大小 . n ? N ? 且n ? 2 , 并证明你 ln 2 2 ln 32 ln n 2 ? ? ? ? 与 2 2 2 2?n ? 1? 2 3 n

?

?

4


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