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广东省始兴县风度中学2011-2012学年高一竞赛数学试题


风度中学 2011-2012 学年高一竞赛数学试题
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填 在题后的括号内(每小题 5 分,共 40 分). 1.已知集合 A ? {?1,1} , B ? {x | m x ? 1} ,且 A ? B ? A ,则 m 的值为 ( A.1 B.—1 C.1 或—1 2. 已知 f ( x)

? a ? x (a ? 0且a ? 1) ,且 f (?2) ? f (?3) ,则 a 的取值范围是( A. a ? 0 B. a ? 1 C. a ? 1 D. 0 ? a ? 1 ) ) D.1 或—1 或 0 )

3.直线 l1 与 l2 关于直线 x +y = 0 对称,l1 的方程为 y = ax + b,那么 l2 的方程为 ( A. y ?

x b ? a a

B. y ?

x b ? a a

C. y ?

x 1 ? a b

D. y ?

x ?b a

4.对于菱形 ABCD,给出下列各式: ① AB ? BC ③ | AB ? CD |?| AD ? BC | 其中正确的个数为 ( ) A.1 个 B.2 个 ② | AB |?| BC | ④ | AC |2 ? | BD |2 ? 4 | AB | C.3 个 D.4 个
2

5. 已知 2 sin ? ? cos ? ,则 A. 3 B. 6

cos 2? ? sin 2? ? 1 的值是( cos 2 ?
C. 12


). D.
3 2

6.函数 y ? 2 sin(2 x ? ? )cos[2( x ? ? )] 是(

? 的奇函数 4 ? C.周期为 的奇函数 2
A.周期为 7.函数 y ?

? 的偶函数 4 ? D.周期为 的偶函数 2
B.周期为 )

x , x ? ? ?? ,0? ? ? 0, ? ? 的图像可能是下列图像中的( sin x

8.下列说法中,正确的是( A、集合

) 的非空真子集的个数是 7;

B、函数 y ? ( )

1 2

x 2 ?3 x ? 2

3 的单调递减区间是 ? ??, ? ; ? ? ? 2?
4

C、已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x ,则当 x∈(0,+∞)时,

f(x)= -x-x4 2 3x ? 1 D、 、已知 f( ? 1 )=x+3,则 f (x) = 。 x x ?1
二、填空题: (请把答案填在题中横线上,每小题 5 分,共 30 分)

? e x , x ? 0. 1 9.设 g ( x) ? ? 则 g ( g ( )) ? __________. 2 ?lnx, x ? 0. 10.非零向量 a, b满足 | a |?| b |?| a ? b | ,则 a, b 的夹角为__________. π 11.已知 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) 在同一个周期内,当 x ? 时, f (x) 取得最大值为 2 ,当 3 x ? 0 时, f (x) 取得最小值为 ? 2 ,则函数 f (x) 的一个表达式为 . b?3 12. 若点 N(a,b) 满足方程关系式 a2+b2-4a-14b+45=0,则 u ? 的最大值为__________. a?2 ??? ???? ? 2 2 13 . 已 知 直 线 l : x ? 2 y ? k ? 1 ? 0 被 圆 C : x ? y ? 4 所 截 得 的 弦 长 为 2 , 则 OA? OB的 值
为 .

14.定义在(-∞,+∞)上的偶函数 f (x) 满足 f ( x ? 1) ? ? f ( x) ,且在[-1,0]上是增函数,下面是关于 f (x) 的判断:① f (x) 是周期函数;② f (x) 是图象关于直线 x = 1 对称;③ f (x) 在[0,1] 上 是 增 函 数 ; ④ f (x) 在 [1 , 2] 上 是 减 函 数 ; ⑤ f (2) ? f (0). 其 中 正 确 的 判 断 是 . (把你认为正确的判断都填上) . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
2 15. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 函 数 f ( x)? l o g ?(x ? x ? 的)定 义 域 为 集 合 A , 2 3

g ( x) ? x2 ? 2x ? 2, x ? R 的值域为集合 B , U ? [?6, ??) . (1)求 A 和 B ; (2)求 A ? B 、 CU ( A ? B) . ? ? ? ? ? 16 (本小题满分 12 分) 已知 a ? (1, 2) , b ? (?3,2) ,当 k 为何值时, (1)ka ? b 与 a ? 3b 垂直? ? ? (2) ka ? b 与 a ? 3 b 平行?平行时它们是同向还是反向?
17. (本小题满分 14 分)已知二次函数 f ?x ? 满足 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x, 且 f ?0? ? 1 . (Ⅰ)求 f ?x ? 的解析式. (Ⅱ)在区间 ??1,1? 上, f ?x ? 的图象恒在 y ? 2 x ? m 的图象上方,试确定实数 m 的范围. 18.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? 2 cos (1)求函数 f ( x ) 的最小正周期和值域; (2)若 ? 为第二象限角,且 f (? ?
2

x ? 3 sin x . 2

?
3

)?

1 cos 2? ,求 的值. 3 1 ? cos 2? ? sin 2?

· 19. (本小题满分 14 分)已知点 P(2,0) ,及○C:x2+y2-6x+4y+4=0. (1)当直线 l 过点 P 且与圆心 C 的距离为 1 时,求直线 l 的方程; · (2)设过点 P 的直线与○C 交于 A、B 两点,当|AB|=4,求以线段 AB 为直径的圆的方程.

20. (本小题满分 14 分) 设函数 y ? f (x) 是定义在 R 上的减函数,并且满足 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) , f ? ? ? 1 , (1)求 f (1) 的值, (2)如果 f ( x) ? f (2 ? x) ? 2 ,求 x 的取值范围。 (16 分
?

?1? ? 3?

高一数学答案
一、选择题 1-8 DDBCACCA 二、填空题 9、

1 2

10、120

11、 f ( x) ? 2sin(3 x ?

?
2

)

12、 2 ? 3

13、2

14、①②⑤ 三、解答题

16、解: ka ? b ? k (1, 2) ? (?3, 2) ? (k ? 3, 2k ? 2)

?

?

? ? ………………………4 分 a ? 3b ? (1, 2) ? 3(?3, 2) ? (10, ?4) ? ? ? ? (1) (ka ? b ) ? (a ? 3b ) , ? ? ? ? 得 (ka ? b )? (a ? 3b ) ? 10(k ? 3) ? 4(2k ? 2) ? 2k ? 38 ? 0, k ? 19 ………8 分 ? ? ? ? 1 (2) (ka ? b ) // (a ? 3b ) ,得 ?4(k ? 3) ? 10(2k ? 2), k ? ? 3 ? ? 10 4 1 此时 k a ? b ? (? , ) ? ? (10, ?4) ,所以方向相反 …………………12 分 3 3 3
17、解: (Ⅰ)设 f(x)=ax +bx+c,由 f(0)=1 得 c=1, 故 f(x)=ax2+bx+1. ………………………2 分
2

………………………2 分

∵f(x+1)-f(x)=2x, ∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x. 即 2ax+a+b=2x, ………………………4 分 ?2a ? 2 ?a ? 1 所以 ? ,………………………6 分 ,? ? ?a ? b ? 0 ?b ? ?1 ∴f(x)=x2-x+1. ………………………7 分 2 2 (Ⅱ)由题意得 x -x+1>2x+m 在[-1,1]上恒成立.即 x -3x+1-m>0 在[-1,1]上恒成立. 3 设 g(x)= x2-3x+1-m,其图象的对称轴为直线 x= ,………………………9 分 2 所以 g(x) 在[-1,1]上递减. 故只需 g(1)>0, 即 12-3×1+1-m>0, ………………………12 分 解得 m<-1. ………………………14 分

18、解: (1)∵ f ( x) ? 1 ? cos x ? 3sin x …………1 分

) ,……………3 分 3 ∴函数 f ( x ) 的周期为 2? ,值域为 [?1,3] .………………5 分 ? 1 1 1 (2)∵ f (? ? ) ? , ∴ 1 ? 2 cos ? = ,即 cos ? ? ? ……………7 分 3 3 3 3 2 2 cos 2? cos ? ? sin ? ? ∵ …………………9 分 1 ? cos 2? ? sin 2? 2cos 2 ? ? 2sin ? cos ?

? 1 ? 2 cos( x ?

?

?

(cos ? ? sin ? )(cos ? ? sin ? ) cos ? ? sin ? ? ,………………11 分 2 cos ? 2cos ? (cos ? ? sin ? )
2 2 .………………13 分 3
………………14 分

又∵ ? 为第二象限角, 所以 sin ? ? ∴原式 ?

cos ? ? sin ? 1 ? 2 2 ? 2cos ? 2

20、解: (1)令 x ? y ? 1 ,则 f (1) ? f (1) ? f (1) , ∴ f (1) ? 0 ……………………3 分

1 1 ?1? 3 3 ? 3? ?1? ∴ f ?x ? ? f ?2 ? x ? ? f ?x(2 ? x)? ? f ? ? , ?9?

(2)∵ f ? ? ? 1 ∴ f ? ? ? f ( ? ) ? f ? ? ? f ? ? ? 2

?1? ? 3?

?1? ?9?

?1? ? 3?

……………6 分

……………………9 分

1 ? ? x?2 ? x ? ? 9 ? ? 又由 y ? f (x) 是定义在 R 上的减函数,得: ? x ? 0 ……………………12 分 ?2 ? x ? 0 ? ? ? 2 2 2 2? ?。 ,1 ? 解之得: x ? ?1 ? ……………………14 分 ? 3 3 ? ? ?


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