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8.示范教案(2.3.1 直线与平面垂直的判定)


2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定 整体设计 教学分析 空间中直线与平面之间的位置关系中, 垂直是一种非常重要的位置关系, 它不仅应用较 多,而且是空间问题平面化的典范.空间中直线与平面的垂直问题是连接线线垂直和面面垂 直的桥梁和纽带,可以说线面垂直是立体几何的核心.本节重点是直线与平面垂直的判定定 理的应用. 三维目标 1.探究直线与平面垂直

的判定定理,培养学生的空间想象能力. 2.掌握直线与平面垂直的判定定理的应用,培养学生分析问题、解决问题的能力. 3.让学生明确直线与平面垂直在立体几何中的地位. 重点难点 教学重点:直线与平面垂直的判定. 教学难点:灵活应用直线与平面垂直判定定理解决问题. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.(情境导入) 日常生活中,我们对直线与平面垂直有很多感性认识,比如,旗杆与地面的位置关系, 大桥的桥柱与水面的位置关系等,都给我们以直线与平面垂直的印象. 在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子.随着时间的变化,尽管影子 BC 的 位置在移动,但是旗杆 AB 所在直线始终与 BC 所在直线垂直.也就是说,旗杆 AB 所在直线 与地面内任意一条不过点 B 的直线 B′C′也是垂直的. 思路 2.(事例导入) 如果一条直线垂直于一个平面的无数条直线, 那么这条直线是否与这个平面垂直?举例 说明. 如图 1,直线 AC1 与直线 BD、EF、GH 等无数条直线垂直,但直线 AC1 与平面 ABCD 不垂直.

图1 推进新课 新知探究 提出问题 ①探究直线与平面垂直的定义和画法. ②探究直线与平面垂直的判定定理. ③用三种语言描述直线与平面垂直的判定定理. ④探究斜线在平面内的射影,讨论直线与平面所成的角.

⑤探究点到平面的距离. 活动:问题①引导学生结合事例观察探究. 问题②引导学生结合事例实验探究. 问题③引导学生进行语言转换. 问题④引导学生思考其合理性. 问题⑤引导学生回忆点到直线的距离得出点到平面的距离. 讨论结果:①直线与平面垂直的定义和画法: 教师演示实例并指出书脊(想象成一条直线) 、各书页与桌面的交线,由于书脊和书页底边 (即与桌面接触的一边)垂直,得出书脊和桌面上所有直线都垂直,书脊和桌面的位置关系 给了我们直线和平面垂直的形象.从而引入概念: 一条直线和平面内的任何一条直线都垂直, 我们说这条直线和这个平面互相垂直,直线叫做平面的垂线,平面叫做直线的垂面.过一点 有且只有一条直线和一个平面垂直;过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.平面的垂线 和平面一定相交,交点叫做垂足.直线和平面垂直的画法及表示如下: 如图 2,表示方法为:a⊥α.

图2 图3 ②如图 3,请同学们准备一块三角形的纸片,我们一起做一个实验:过△ ABC 的顶点 A 翻折 纸片,得折痕 AD,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD,DC 与桌面接触). (1)折痕 AD 与桌面垂直吗? (2)如何翻折才能使折痕 AD 与桌面所在的平面 α 垂直? 容易发现,当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时,AD 所在直线与桌面所在的平面 α 垂直. 如图 4.

(1)

(2)

图4 所以,当折痕 AD 垂直平面内的一条直线时,折痕 AD 与平面 α 不垂直,当折痕 AD 垂 直平面内的两条直线时,折痕 AD 与平面 α 垂直. ③直线和平面垂直的判定定理用文字语言表示为: 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.

? ? b?? ? ? 直线和平面垂直的判定定理用符号语言表示为: l ? a ? ? l⊥α. ? l ?b ? a ? b ? P? ?
直线和平面垂直的判定定理用图形语言表示为:如图 5,

a ??

图5

图6

④斜线在平面内的射影. 斜线: 一条直线和一个平面相交, 但不和这个平面垂直时, 这条直线就叫做这个平面的斜线. 斜足:斜线和平面的交点. 斜线在平面内的射影: 从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线, 过垂足和斜足的直线叫做斜 线在这个平面内的射影. 直线与平面相交,直线与平面的相互位置类同于两条相交直线,也需要用角来表示,但 过交点在平面内可以作很多条直线.与平面相交的直线 l 与平面内的线 a、b…所成的角是不 相等的.为了定义的确定性,我们必须找到一些角中有确定值的,又能准确描述其位置的一 个角,这就是由斜线与其在平面内的射影所成的锐角作为直线和平面所成的角. 平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角, 叫做这条直线和这个平面所成的 角. 特别地:如果一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角为直角. 一条直线和平面平行或在平面内,我们说它们所成的角为 0° .如图 6,l 是平面 α 的一条 斜线,点 O 是斜足,A 是 l 上任意一点,AB 是 α 的垂线,点 B 是垂足,所以直线 OB(记 作 l′)是 l 在 α 内的射影,∠AOB(记作 θ)是 l 与 α 所成的角. 直线和平面所成的角是一个非常重要的概念, 在实际中有着广泛的应用, 如发射炮弹时, 当炮筒和地面所成的角为多少度时, 才能准确地命中目标, 也即射程为多远?又如铅球运动 员在投掷时,以多大的角度投掷,投出的距离最远? ⑤点到平面的距离:经过一点向平面引垂线,垂足叫做这点在这个平面内的射影,点在平面 内的射影还是一个点. 垂线段:上述的点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段. 点到平面的距离:垂线段的长叫做点到平面的距离. 应用示例 思路 1 例 1 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于同一个平面. 解:已知 a∥b,a⊥α.求证:b⊥α.

图7 证明:如图 7,在平面 α 内作两条相交直线 m、n,设 m∩n=A. ************ 变式训练 如图 8,已知点 P 为平面 ABC 外一点,PA⊥BC,PC⊥AB,求证:PB⊥AC.

图8 证明:过 P 作 PO⊥平面 ABC 于 O,连接 OA、OB、OC. ∵PO⊥平面 ABC,BC ? 平面 ABC, ∴PO⊥BC. 又∵PA⊥BC,∴BC⊥平面 PAO. 又∵OA ? 平面 PAO,∴BC⊥OA. 同理,可证 AB⊥OC.∴O 是△ ABC 的垂心. ∴OB⊥AC.可证 PO⊥AC. ∴AC⊥平面 PBO. 又 PB ? 平面 PBO,∴PB⊥AC. 点评:欲证线面垂直需要转化为证明线线垂直,欲证线线垂直往往转化为线面垂直.用符号 语言证明问题显得清晰、简洁. 例 2 如图 9,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,求直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角.

图9 活动:先让学生思考或讨论后再回答,经教师提示、点拨,对回答正确的学生及时表扬,对 回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路. 解:连接 BC1 交 B1C 于点 O,连接 A1O. 设正方体的棱长为 a, 因为 A1B1⊥B1C1,A1B1⊥B1B,所以 A1B1⊥平面 BCC1B1. 所以 A1B1⊥BC1. 又因为 BC1⊥B1C,所以 BC1⊥平面 A1B1CD. 所以 A1O 为斜线 A1B 在平面 A1B1CD 内的射影,∠BA1O 为直线 A1B 与平面 A1B1CD 所成 的角. 在 Rt△ A1BO 中,A1B= 2a ,BO=

1 2 a ,所以 BO= A1 B ,∠BA1O=30° . 2 2

因此,直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角为 30° . 变式训练 如图 10,四面体 A—BCD 的棱长都相等,Q 是 AD 的中点,求 CQ 与平面 DBC 所成的 角的正弦值.

图 10 解:过 A 作 AO⊥面 BCD,连接 OD、OB、OC,则可证 O 是△ BCD 的中心, 作 QP⊥OD, ∵QP∥AO,∴QP⊥面 BCD. 连接 CP,则∠QCP 即为所求的角. 设四面体的棱长为 a, ∵在正△ ACD 中,Q 是 AD 的中点,∴CQ= ∵QP∥AO,Q 是 AD 的中点, ∴QP=

3 a. 2

1 1 2 3 1 6 6 AO ? a ? ( a) 2 ? ? a? a ,得 2 2 3 2 3 6
QP 2 . ? CQ 3

sin∠QCP=

点评:求直线与平面所成的角,是本节的又一重点,作线面角的关键是找出平面的垂线. 思路 2 例 1 ( 2007 山东高考 , 文 20 )如图 11(1) ,在直四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,已知 DC=DD1=2AD=2AB,AD⊥DC,AB∥DC.

(1) (1)求证:D1C⊥AC1; (2)设 E 是 DC 上一点,试确定 E 的位置,使 D1E∥平面 A1BD,并说明理由. (1)证明:在直四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中, 连接 C1D,如图 11(2).

(2) ∵DC=DD1, ∴四边形 DCC1D1 是正方形. ∴DC1⊥D1C. 又 AD⊥DC,AD⊥DD1,DC∩DD1=D, ∴AD⊥平面 DCC1D1,D1C ? 平面 DCC1D1. ∴AD⊥D1C. ∵AD、DC1 ? 平面 ADC1,且 AD∩DC1=D, ∴D1C⊥平面 ADC1. 又 AC1 ? 平面 ADC1,∴D1C⊥AC1. (2)解:连接 AD1、AE,如图 11(3).

(3) 图 11 设 AD1∩A1D=M, BD∩AE=N,连接 MN, ∵平面 AD1E∩平面 A1BD=MN, 要使 D1E∥平面 A1BD, 需使 MN∥D1E, 又 M 是 AD1 的中点, ∴N 是 AE 的中点. 又易知△ ABN≌△EDN, ∴AB=DE, 即 E 是 DC 的中点. 综上所述,当 E 是 DC 的中点时,可使 D1E∥平面 A1BD. 变式训练 如图 12,在正方体 ABCD—A1B1C1D1,G 为 CC1 的中点,O 为底面 ABCD 的中心. 求证:A1O⊥平面 GBD.

图 12

? ? A1 A ? BD? ? ? BD ? 平面A1 AO? 证明: AC ? BD ? ? ? BD⊥A1O. A1O ? 面A1 AO ? ?
又∵A1O2=A1A2+AO2=a2+(

2 2 3 2 2 2 a 2 3 2 a ) = a ,OG2=OC2+CG2=( a ) +( ) = a , 2 2 4 2 2
a 2 9 2 )= a , 2 4

A1G2=A1C12+C1G2=( 2 a)2+(

∴A1O2+OG2=A1G2. ∴A1O⊥OG.又 BD∩OG=O,∴A1O⊥平面 GBD. 点评:判断线面垂直往往转化为线线垂直,勾股定理也是证明线线垂直的重要方法. 例 2 如图 13,ABCD 为正方形,过 A 作线段 SA⊥面 ABCD,又过 A 作与 SC 垂直的平面 交 SB、SC、SD 于 E、K、H,求证:E、H 分别是点 A 在直线 SB 和 SD 上的射影.

图 13 证明:∵

? SA ? 平面 ABCD ? ? ?SA⊥BC, BC ? 平面 ABCD ?

又∵AB⊥BC,SA∩AB=A, ∴BC⊥平面 SAB.∴BC⊥AE. ∵SC⊥平面 AHKE,∴SC⊥AE. 又 BC∩SC=C,∴AE⊥平面 SBC. ∴AE⊥SB,即 E 为 A 在 SB 上的射影.同理可证,H 是点 A 在 SD 上的射影. 变式训练 已知 Rt△ ABC 的斜边 BC 在平面 α 内,两直角边 AB、AC 与 α 都斜交,点 A 在平面 α 内的射影是点 A′,求证:∠BA′C 是钝角. 证明:如图 14,过 A 作 AD⊥BC 于 D,连接 A′D,

图 14 ∵AA′⊥α,BC ? α,∴AA′⊥BC. ∴BC⊥A′D. ∵tan∠BAD=

BD BD CD CD <tan∠BA′D= ,tan∠CAD= <tan∠CA′D= , AD A' D AD A' D

∴∠BAD<∠BA′D,∠CAD<∠CA′D.

∴∠BAC<∠BA′C,即∠BA′C 是钝角. 知能训练 如图 15,已知 a、b 是两条相互垂直的异面直线,线段 AB 与两异面直线 a、b 垂直且相 交,线段 AB 的长为定值 m,定长为 n(n>m)的线段 PQ 的两个端点分别在 a、b 上移动, M、N 分别是 AB、PQ 的中点.

图 15 求证: (1)AB⊥MN; (2)MN 的长是定值. 证明:(1)取 PB 中点 H,连接 HN,则 HN∥b. 又∵AB⊥b,∴AB⊥HN. 同理,AB⊥MH. ∴AB⊥平面 MNH.∴AB⊥MN. (2)∵

b ? AB? ? ?b⊥平面 PAB.∴b⊥PB. b?a ?
① ②

在 Rt△ PBQ 中,BQ2=PQ2-PB2=n2-PB2, 在 Rt△ PBA 中,PA2=PB2-AB2=PB2-m2, ①②两式相加 PA2+BQ2=n2-m2,∵a⊥b,∴∠MHN=90° . ∴MN= MH ? NH
2 2

? (

PA 2 BQ 2 1 2 ) ?( ) ? n ? m 2 (定值). 2 2 2

拓展提升 1.如图 16,已知在侧棱垂直于底面三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AC=3,AB=5,BC=4,AA1=4,点 D 是 AB 的中点.

图 16 (1)求证:AC⊥BC1; (2)求证:AC1∥平面 CDB1; (1)证明:∵在△ ABC 中,AC=3,AB=5,BC=4, ∴△ABC 为直角三角形.∴AC⊥CB. 又∵CC1⊥面 ABC,AC ? 面 ABC,∴AC⊥CC1. ∴AC⊥面 BCC1B1.又 BC1 ? 面 BCC1B1,∴AC⊥BC1. (2)证明:连接 B1C 交 BC1 于 E,则 E 为 BC1 的中点,连接 DE,则在△ ABC1 中,DE∥AC1. 又 DE ? 面 CDB1,则 AC1∥面 B1CD.

课堂小结 知识总结:利用面面垂直的性质定理找出平面的垂线,然后解决证明垂直问题、平行问题、 求角问题、求距离问题等. 思想方法总结:转化思想,即把面面关系转化为线面关系,把空间问题转化为平面问题. 作业 课本习题 2.2 B 组 3、4. 设计感想 线面关系是线线关系和面面关系的桥梁和纽带,尤其是线面垂直问题是立体几何的核 心, 一个立体几何问题能否解决往往取决于能否作出平面的垂线; 面面垂直的性质定理恰好 能解决这个问题,因此它是高考考查的重点,本节不仅选用了大量经典好题,还选用了大量 的 2007 高考模拟题以及 2007 年高考题, 相信能够帮助大家解决立体几何中的重点难点问题.


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