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2014高考数学 黄金配套练习2-6 理


2014 高考数学(理)黄金配套练习
一、选择题 2 1.“a=1”是“函数 f(x)=x -2ax+3 在区间[1,+∞)上为增函数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 2 解析 本题为二次函数的单调性问题,取决于对称轴的位置,若函数 f(x)=x -2ax+3 2 在区间[1,+∞)上为增函数,则有对称

轴 x=a≤1,故“a=1”是“函数 f(x)=x -2ax+3 在区间[1,+∞)上为增函数”的充分不必要条件. 2 2.一次函数 y=ax+b 与二次函数 y=ax +bx+c 在同一坐标系中的图象大致是( )

答案 C 解析 若 a>0,A 不符合条件,若 a<0,D 不符合条件,若 b> 0,对 B,∴对称轴- <0, 不符合,∴选 C. α 3.函数 y=x (x≥1)的图象如图所示,α 满足条件( )

b a

A.α <-1 B.-1<α <0 C.0<α <1 D.α >1 答案 C
1

解析 类比函数 y=x2即可. 4.若函数 f( x)=ax +bx+c 满足 f(4)=f(1),那么( ) A.f(2)>f(3) B.f(3)>f(2) C.f(3)=f(2) D.f(3)与 f(2)的大小关系不确定 答案 C 解析 ∵f(4)=f(1) 5 ∴对称轴为 ,∴f(2)=f(3). 2 2 5.已知函数 y=x -2x+3 在闭区间[0,m]上有最大值 3,最小值 2,则 m 的取值范围是 ) A.[1,+∞) B.[0,2] C.[1,2] D.(-∞,2] 答案 C 解析 由函数的单调性和对称轴知,1≤m≤2,选 C.
2

(

-1-

6 设 abc>0,二次函数 f(x)=ax +bx+c 的图象可能是(

2

)

答案 D 解析 若 a>0,b<0,c<0,则对称轴 x=- >0,函数 f(x)的图象与 y 轴的交点(c,0) 2a 在 x 轴下方.故选 D. 2 7.已知 f(x)=ax +2ax+4(0<a<3),若 x1<x2,x1+x2=1-a,则( ) A.f(x1)>f(x2) B.f(x1)<f(x2) C.f(x1)=f(x2) D.f(x1)与 f(x2)的大小不能确定 答案 B x1+x2 1-a 1 解析 解法 1:设 A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),∵ = ∈(-1, ),又对称轴 x 2 2 2 =-1,∴AB 中点在对称轴右侧.∴f(x1)<f(x2),故选 B.(本方法充分运用了二次函数的对称 性及问题的特殊性:对称轴已知). 2 2 解法 2:作差 f(x1)-f(x2)=(ax1 +2ax1+4)-(ax2+2ax2+4)=a(x1-x2)(x1+x2+2)= a(x1-x2)(3-a) 又 0<a<3,∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2),故选 B. 二、填空题 2 8.已知 y=(cosx-a) -1,当 cosx=-1 时 y 取最大值,当 cos x=a 时,y 取最小值, 则 a 的范围是________. 解析 由题意知
2

b

∴0≤a≤1

9.抛物线 y=8x -(m-1)x+m-7 的顶点在 x 轴上,则 m=________. 答案 9 或 25 ? m-1?2+m-7-8·?m-1?2 解析 y=8?x- ? ? 16 ? 16 ? ? ? ? m-1?2 ? ∵顶点在 x 轴∴m-7-8·? ? =0,∴m=9 或 25. ? 16 ?
1

10.设函数 f1(x)=x2,f2(x)=x ,f3(x)=x ,则 f1(f2(f3(2010)))=________. 1 2010 2 2 2 -1 -2 解析 f3(2010)=2010 f2(2010 )=(2010 ) =2010 1 1 f1(2010-2)=(2010-2)2=2010-1= . 2010 答案 11. 在函数 f(x)=ax +bx+c 中, 若 a, b, c 成等比数列且 f(0)=-4, 则 f(x)有最________ 值(填“大”或“小”),且该值为________. 答案 大 -3
2

-1

2

-2-

解析 ∵f(0)=c=-4,a,b,c 成等比,∴b =a·c,∴a<0 ∴f(x) 有最大值,最大值为 c- =-3. 4a
1-α

2

b

2

12.已知幂函数 f(x)=x

3

在(-∞,0)上是增函数,在(0,+∞)上是减函数,那么最

小的正整数 a=________. 答案 3 2 13. 方程 x -mx+1=0 的两根为 α , β , 且 α >0,1<β <2, 则实数 m 的取值范围是________. 5 答案 2<m< 2 2 解析 令 f(x)=x -mx+1 由题意知

三、解答题 2 7 m 14.已知函数 f(x)= -x ,且 f(4)=- . x 2 (1)求 m 的值; (2)判断 f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给予证 明. 答案 (1)m=1 (2)递减 7 解析 (1)∵f(4)=- , 2 2 7 m ∴ -4 =- .∴m=1. 4 2 2 (2)f(x)= -x 在(0,+∞)上单调递减,证明如下:

x

任取 0<x1<x2,则 2 2 f(x1)-f(x2)=( -x1)-( -x2)

x1

x2

=(x2-x1)(

2

x1x2

+1). 2 +1>0.

∵0<x1<x2,∴x2-x1>0,

x1x2 ∴f(x1)-f(x2)>0,∴f(x1)>f(x2),
2 即 f(x)= -x 在(0,+∞)上单调递减.

x

15.已知对于任意实数 x,二次函数 f(x)=x -4ax+2a+12(a∈R)的值都是非负的,求 函数 g(a)=(a+1)(|a-1|+2)的值域. 9 答案 [- ,9] 4 2 解 由条件知 Δ ≤0,即(-4a) -4(2a+12)≤0, 3 ∴- ≤a≤2. 2 3 ①当- ≤a<1 时, 2 g(a)=(a+1)(-a+3)=-a2+2a+3=-(a-1)2+4, ∴由二次函数图象可知, 9 - ≤g(a)<4. 4
-3-

2

②当 1≤a≤2 时,g(a)=(a+1) , ∴当 a=1 时,g(a)min=4; 当 a=2 时,g(a)max=9; ∴4≤g(a)≤9. 9 综上所述,g(a)的值域为[- ,9]. 4

2

16.函数 f(x)=2 和 g(x)=x 的图象的示意图如图所示. 设两函数的图象交于点 A(x1, y1)、B(x2,y2),且 x1<x2. (1)请指出示意图中曲线 C1、C2 分别对应哪一个函数? (2)若 x1∈[a,a+1],x2∈[b,b+1],且 a,b∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12},指出 a、b 的值,并说明理由; (3)结合函数图象示意图,请把 f(6)、g(6)、f(2007)、g(2007)四个数按从小到大的顺序 排列. 3 x 答案 (1)C1 对应的函数为 g(x)=x ,C2 对应的函数为 f(x)=2 (2)a=1,b=9 (3)∴f(6)<g(6)<g(2007)<f(2007) 3 x 解析 (1)C1 对应的函数为 g (x)=x ,C2 对应的函数为 f(x)=2 . (2)a=1,b=9. 理由如下: x 3 令 φ (x)=f(x)-g(x)=2 -x ,则 x1、x2 为函数 φ (x)的零点. ∵φ (1)=1>0,φ (2)=-4<0, 9 3 10 3 φ (9)=2 -9 <0,φ (10)=2 -10 >0, ∴方程 φ (x)=f(x)-g(x)的两个零点 x1∈(1,2),x2∈(9,10),∴整数 a=1,b=9. (3)从图象上可以看出,当 x1<x<x2 时,f(x)<g(x), ∴f(6)<g(6). 当 x>x2 时,f(x)>g(x),∴g(2007)<f(2007). ∵g(6)<g(2007),∴f(6)<g(6)<g(2007)<f(2007). 拓展练习·自助餐 1.若函数 f(x)=log1(x -6x+5)在(a,+∞)上是减函数,则 a 的取值范围是(
2 2

x

3

)

A.(-∞,1] B.(3,+∞) C.(-∞,3) D.[5,+∞) 答案 D 解析 f(x)的减区间为(5,+∞),若 f(x)在(a,+∞)上是减函数,则 a≥5,故选 D. 2 2 2.设 b>0,二次函数 y=ax +bx+a -1 的图象为下列图象之一,则 a 的值为( )

-4-

A.1 B.-1 -1- 5 - 1+ 5 C. D. 2 2 答案 B 解析 ∵b>0,∴不是前两个图形, 从后两个图形看- >0,∴a<0. 2a 故应是第 3 个图形. 2 ∵过原点,∴a -1=0.结合 a<0.∴a=-1. 3.

b

如图所示,是二次函数 y=ax +bx+c 的图象,则|OA|·|OB|等于( A.

2

)

c a

B.-

c a

C.±

c a c a

D.无法确定

答案 B 解析 ∵|OA|·|OB|=|OA·OB|=|x1x2|=| |=- (∵a<0,c>0).
? ? x>0? , ?-2 4.设函数 f(x)=? 2 ?x +bx+c ? x≤0? , ?

c a

若 f(-4)=f(0),f(-2)=0,则关于 x 的

不等式 f(x)≤1 的解集为________. 答案 -3≤x≤-1 或 x>0 解析 由 f(-4)=f(0)得 b=4. 又 f(-2)=0,可得 c=4, ∴?
? ?x≤0, ?x +4x+4≤1 ?
2

? ?x>0, 或? ?-2≤1, ?

可得-3≤x≤-1 或 x>0. 2 5.设 f(x)=x +bx+c,且 f(-1)=f(3),则( ) A.f(1)>c>f(-1) B.f(1)<c<f(-1) C.f(1)>f(-1)>c D.f(1)<f(-1)<c 答案 B b -1+3 解析 由 f(-1)=f(3)得- = =1, 2 2 所以 b=-2, 则 f(x)=x2+bx+c 在区间(-1,1)上 单调递减, 所以 f(-1)>f(0)>f(1), 而 f(0)=c,所以 f(1)<c<f(-1). 2 2 6.函数 y=-x -2ax(0≤x≤1)的最大值是 a ,则实数 a 的取值范围是( )
-5-

A.0≤a≤1 B.0≤a≤2 C.-2≤a≤0 D.-1≤a≤0 答案 D 2 2 2 解析 f(x)=-x -2ax=-(x+a) +a 2 若 f(x) 在[0,1]上最大值是 a , 则 0≤-a≤1,即-1≤a≤0,故选 D. 教师备选题 1.已知函数 f(x)=x -2x+2 的定义域和值域均为[1,b],则 b=( ) A.3 B.2 或 3 C.2 D.1 或 2 答案 C 解析 函数在[1,+∞)上单增 2 ∴b=b -2b+2 解之得:b=2 或 1(舍). 2.若二次函数 f(x)满足 f(x+1)-f(x)=2x,f(0)=1,则 f(x)=________. 2 答案 x -x+1 2 解析 设 f(x)=ax +bx+c,∵f(0)=1,∴c=1,f(x+1)-f(x)=2ax+a+b=2x ∴a=1,b=-1. 2 ∴f(x)=x -x+1. 2 2 3.若函数 f(x)=(a-1)x +(a -1)x+1 是偶函数,则在区间[0,+∞)上 f(x)是( ) A.减函数 B.增函数 C.常函数 D.可能是减函数,也可能是常函数 答案 D 2 解析 函数 f(x)是偶函数,∴a -1=0 当 a=1 时,f(x)为常函数 2 当 a=-1 时,f(x)=-x +1 在[0,+∞)为减函数,选 D. 4.已知 f(x)=(x-a)(x-b)-2(a<b),并且 α 、β 是方程 f(x)=0 的两个根(α <β ), 则实数 a、b、α 、β 的大小关系可能是( ) A.α <a<b<β B.a<α <β <b C .a<α <b<β D.α <a<β <b 答案 A 解析 设 g(x)=(x-a)(x-b),则 f(x)=g(x)-2,分别作出这 两个函数的图象,如图 所示,可得 α <a<b<β ,故选 A.
2

5.对一切实数 x,若不等式 x +(a-1)x +1≥0 恒成立,则 a 的取值范围是( A.a≥-1 B.a≥0 C.a≤3 D.a≤1 答案 A 2 2 解析 令 t=x ≥0,则原不等式转化为 t +(a-1)t+1≥0, 当 t≥0 时恒成立. 2 令 f(t)=t +(a-1)t+1 则 f(0)=1>0

4

2

)

-6-

≤0 即 a≥1 时恒成立 2 a-1 (2)当- >0 即 a<1 时. 2 2 由 Δ =(a-1) -4≤0 得-1≤a≤3 ∴-1≤a<1,综上:a≥-1. 2 6.若二次函数 f(x)=ax +bx+c 满足 f(x1)=f(x2),则 f(x1+x2)等于________. 答案 c (1)当- 解析 ∵f(x2)= f(x1),∴x2+x1=- ,∴f(x1+x2)=f(- )=c.

a-1

b a

b a

-7-


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