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北师大版必修一复习2.5 简单的幂函数


[读教材· 填要点] 1.幂函数的定义 如果一个函数,底数是自变量 x,指数是常量 α,即 y=xα,这样的函数称为幂函数. 1 [提醒] 在中学时段只要求关注 α=-1, ,1,2,3,共 5 种幂函数的性质. 2 2.函数的奇偶性 (1)奇函数: 一般地,图像关于原点对称的函数叫作奇函数,在奇函数 f(x)中,f(x)和 f(-x)的绝对值 相等,符号相反,即 f(-x)=-

f(x);反之,满足 f(-x)=-f(x)的函数 y=f(x)一定是奇函数. (2)偶函数: 一般地,图像关于 y 轴对称的函数叫作偶函数,在偶函数 f(x)中,f(x)和 f(-x)的值相等, 即 f(-x)=f(x);反之,满足 f(-x)=f(x)的函数 y=f(x)一定是偶函数. (3)奇偶性: 当函数 f(x)是奇函数或偶函数时,称函数具有奇偶性. [小问题· 大思维] 1.具有奇偶性的函数其定义域有何特点? 提示: 具有奇偶性的函数, 其定义域关于原点对称, 由奇函数的定义可知 f(-x)=-f(x), 故变量 x,-x 均在定义域中,同理,对于偶函数,由 f(-x)=f(x)可知,-x,x 也均在定义 域内. 2.既是奇函数,又是偶函数的函数不存在,对吗? 提示:不对.如函数 y=0(x∈R),其图像既关于原点对称,又关于 y 轴对称,所以函数 y=0(x∈R)既是奇函数又是偶函数. 3.定义在 R 上的奇函数 f(x),f(0)的值是多少? 提示:f(0)=0.

[研一题] [例 1] 已知幂函数 f(x)=(m2-m-1)xm2-2m-3,当 x∈(0,+∞)时为减函数. (1)求函数 y=f(x)的解析式; (2)用描点法作出 f(x)的图像; (3)给出 y=f(x)的单调区间及其值域,并判断其奇偶性. [自主解答] (1)∵f(x)=(m2-m-1)xm2-2m-3 为幂函数, ∴m2-m-1=1,解之得 m=-1 或 m=2. 当 m=-1 时,f(x)=x0=1(x≠0),易知不符合题意.当 m=2 时.f(x)=x 3(x≠0),易知 在(0,+∞)上为减函数.∴f(x)=x 3(x≠0); (2)列表: x y … … -2 - 1 8 -1 -1 - 1 2 0 不存在 1 2 8 1 1 2 1 8 … …
- -

-8

作图:

(3)由(2)可知 f(x)的单调减区间为(0,+∞)及(-∞,0), f(x)的值域为(-∞,0)∪(0,+∞),f(x)为奇函数. [悟一法] (1)幂函数 y=xα 要满足三个特征: ①幂 xα 的系数为 1; ②底数只能是自变量 x,指数是常数; ③项数只有一项. 只有满足这三个特征,才是幂函数. (2)幂函数的图像可用描点法得到,其性质可由图像得到. [通一类] 1.(1)若函数 f(x)既是幂函数又是反比例函数,则 f(x)= ________. (2)已知幂函数 y=f(x)的图像过点(2,4),则 f(-1)=________. 解析:(1)∵f(x)为反比例函数,

k - ∴设 f(x)= =k· 1(k≠0). x x 又∵f(x)为幂函数, ∴k=1,∴f(x)=x 1. (2)设 y=xα,把点(2,4)代入得 4=2α,∴α=2, ∴解析式为 y=x2,∴f(-1)=(-1)2=1. 答案:(1)x
-1 -

(2)1

[研一题] [例 2] 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=x3+x; (2)f(x)=(x-1)· x+1 ; x-1

(3)f(x)= x2-4+ 4-x2;

?2x +1 (4)f(x)=? 1 ?-2x -1
1
2 2

(x>0), (x<0).

[自主解答] (1)∵函数的定义域为 R,且 f(-x)=(-x)3+(-x)=-x3-x=-f(x), ∴f(x)为奇函数; (2)∵定义域为{x|x>1 或 x≤-1},定义域不关于原点对称, ∴f(x)为非奇非偶函数; (3)∵定义域为{-2,2},任取 x∈{-2,2}, 则-x∈{-2,2}.f(-x)=0=f(x)=-f(x), ∴f(x)既是奇函数又是偶函数; (4)法一:可知函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称, ①设 x>0,则-x<0, 1 1 f(-x)=- (-x)2-1=-( x2+1)=-f(x), 2 2 ②设 x<0,则-x>0, 1 f(-x)= (-x)2+1 2 1 = x2+1 2 =-f(x), ∴f(x)为奇函数.

法二:作出函数 f(x)的图像,如图,由图像可知,f(x)的图像关于原点对称, ∴f(x)为奇函数. [悟一法] 判断函数的奇偶性常用的方法: (1)定义法:若定义域不关于原点对称,则函数为非奇非偶函数;若关于原点对称,则 进一步判断 f(-x)与 f(x)的关系,注意当解析式中含有参数时,要对参数进行分类讨论. (2)图像法:若函数图像关于原点对称,则此函数为奇函数;若函数图像关于 y 轴对称, 则此函数为偶函数. [通一类] 2.判断下列函数是奇函数还是偶函数. 3 (1)f(x)= x2; (2)f(x)=x3-2x; (3)f(x)=|x+1|-|x-1|;
2 ? ?-x +2x-3,x>0, (4)f(x)=? 2 ? ?x +2x+3,x<0.

解:(1)函数的定义域为(-∞,+∞),关于原点对称. 3 3 又∵f(-x)= (-x)2= x2=f(x), 3 ∴f(x)= x2是偶函数; (2)定义域为 R,关于原点对称, 又 f(-x)=(-x)3-2(-x) =-x3+2x=-(x3-2x)=-f(x), ∴函数 f(x)是奇函数; (3)函数的定义域为(-∞,+∞), ∵f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x), ∴f(x)=|x+1|-|x-1|是奇函数; (4)法一:可知函数 f(x)的定义域关于原点对称. 当 x<0 时,-x>0, f(-x)=-(-x)2+2(-x)-3=-x2-2x-3=-f(x);

当 x>0 时,-x<0, f(-x)=(-x)2+2(-x)+3=x2-2x+3 =-(-x2+2x-3)=-f(x),

综上可知,f(x)为奇函数.
?-(x-1)2-2,x>0, ? 法二:f(x)=? 2 ? ?(x+1) +2,x<0,

作出 f(x)的图像,由图像知,函数 f(x)是奇函数.

[研一题] [例 3] 已知函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数, x>0 时, 当 f(x) =x -2x, (1)求 f(-2); (2)求出函数 f(x)在 R 上的解析式; (3)在坐标系中画出函数 f(x)的图像. [自主解答] 由于函数是定义在(-∞, +∞)上的奇函数, 因此 对于任意的 x 都有 f(-x)=-f(x), 而 f(x)=-f(-x). (1)f(-2)=-f(2); 而 f(2)=22-2× 2=0,∴f(-2)=0; (2)①由于函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数, 则 f(0)=0; ②当 x<0 时,-x>0, ∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x). ∴f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x.
2

?x -2x(x>0), ? 综上:f(x)=?0(x=0), ?-x2-2x(x<0); ?
(3)图像如下图:

2

[悟一法] (1)已知函数的奇偶性和其在某一区间上的解析式,利用奇偶性,可求另一关于原点对 称的区间上的函数值及解析式. (2)已知函数的奇偶性和其在某一区间上的图像、单调性,利用奇偶性可知另一关于原

点对称的区间上的图像、单调性. (3)已知函数的奇偶性,利用 f(-x)与 f(x)的恒等关系,可求解析式中字母的值. [通一类] 3.已知 f(x)=ax2+bx+3a+b 是偶函数,且其定义域为[a-1,2a],求 a,b 的值. 1 解:定义域应关于原点对称,故有 a-1=-2a,得 a= . 3 又对于所给的函数 f(x),要使其为偶函数, 需 f(-x)=f(x)恒成立, 1 1 b 即 x2-bx+1+b= x2+bx+1+b,得 b=0.(或者二次函数 f(x)的图像的对称轴 x=- 3 3 2a =0,得 b=0).

设定义在[-2,2]上的奇函数 f(x)在区间[0,2]上是减少的,若 f(m)+f(m-1)>0,求实 数 m 的取值范围. [错解] 由 f(m)+f(m-1)>0, 得 f(m)>-f(m-1),即 f(1-m)<f(m). 又∵f(x)在[0,2]上是减少的,且 f(x)在[-2,2]上是奇函数,∴f(x)在[-2,2]上是减少 的. 1 ∴1-m>m,解得 m< . 2 [错因] 导致错误的原因是忽略了函数自身定义域对参数的限制. [正解] 由 f(m)+f(m-1)>0, 得 f(m)>-f(m-1),即 f(1-m)<f(m). 又∵f(x)在[0,2]上是减少的,且 f(x)在[-2,2]上是奇函数,∴f(x)在[-2,2]上是减少 的.

?-2≤1-m≤2, ? ?-2≤m≤2, ? ∴?-2≤m≤2, 即? ?1-m>m, ? ?m<1, ? 2
-1≤m≤3, 1 1 解得-1≤m< .即实数 m 的取值范围是[-1, ). 2 2

1.下列函数中是幂函数的是(

)

①y=axm(a,m 为非零常数,且 a≠1);
1

②y=x3+x2; ③y=x9; ④y=(x-1)3. A.①③④ C.③④ B.③ D.全不是

解析:由幂函数的定义知③为幂函数. 答案:B 1 2.f(x)=x3+ 的图像关于( x A.原点对称 C.y=x 对称 ) B.y 轴对称 D.y=-x 对称

解析:∵函数 f(x)的定义域为{x|x≠0}, f(-x)=(-x)3+ 1 =-f(x), (-x)

∴f(x)为奇函数. ∴其图像关于原点对称. 答案:A 3.(2012· 陕西高考)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( A.y=x+1 1 C.y= x B.y=-x3 D.y=x|x| )

解析:由函数的奇偶性排除 A,由函数的单调性排除 B、C,由 y=x|x|的图象可知当 x>0 时此函数为增函数,又该函数为奇函数. 答案:D 4.已知对于任意实数 x,函数 f(-x)=-f(x),若方程 f(x)=0 有 2 009 个实数解,则这 2 009 个实数解之和为________. 解析:由奇函数的图像的对称性可知,这些解之和为 0. 答案:0 7 5.函数 y=f(x)是偶函数,且在(-∞,0]上为增函数,则 f(- )与 f(1)的大小关系为 8 __________. 7 解析:∵-1<- ,且函数 y=f(x)在(-∞,0]上为增函数, 8 7 ∴f(-1)<f(- ). 8

又∵y=f(x)是偶函数, 7 ∴f(-1)=f(1).∴f(1)<f(- ). 8 7 答案:f(1)<f(- ) 8 6.若 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x<0 时,f(x)=x(1-x),求函数 f(x)的解析式. 解:∵f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴f(-x)=-f(x). 当 x>0 时,-x<0, ∴f(x)=-f(-x)=x(1+x). 当 x=0 时,f(-0)=-f(0), 即 f(0)=-f(0),∴f(0)=0.

?x(1+x),x>0, ? ∴函数 f(x)的解析式为 f(x)=?0,x=0, ?x(1-x),x<0. ?

一、选择题 1.下列幂函数中为偶函数的是( A.y=x
-1

)
1

B.y=x2 D.y=x2

C.y=x3

解析:由偶函数的性质 f(-x)=f(x)知,D 正确. 答案:D 2.若 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数,则 g(x)=ax3+bx2+cx 是( A.奇函数 C.非奇非偶函数 B.偶函数 D.既奇又偶函数 )

解析:由 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)为偶函数得 b=0, ∴g(x)=ax3+cx,(a≠0),其定义域为 R, 且 g(-x)=a(-x)3+c(-x)=-g(x), ∴g(x)为奇函数. 答案:A 1 3.已知偶函数 f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足 f(2x-1)<f( )的 x 的取值范围是 3 ( ) 1 2 A.( , ) 3 3 1 2 B.[ , ) 3 3

1 2 C.( , ) 2 3

1 2 D.[ , ) 2 3

解析:作出示意图可知: 1 1 1 1 2 f(2x-1)<f( )? <2x-1< ,即 <x< . - 3 3 3 3 3 答案:A 4.已知定义域为 R 的函数 f(x)在(8,+∞)上为减函数,且函数 y=f(x+8)为偶函数,则 ( ) A.f(6)>f(7) C.f(7)>f(9) B.f(6)>f(9) D.f(7)>f(10)

解析:y=f(x+8)为偶函数,∴f(-x+8)=f(x+8), ∴y=f(x)的对称轴为 x=8.∵f(x)在(8,+∞)为减函数,∴由对称性知 f(x)在(-∞,8)上 为增函数,故由单调性及对称轴结合图像知 f(7)>f(10). 答案:D 二、填空题 1 1 5.若点(2, )在幂函数 y=f(x)的图像上,则 f( )=____________. 2 4 1 - 解析:设 f(x)=xα(α 为常数),则 2α= =2 1, 2 1 1- - ∴α=-1,∴f(x)=x 1,∴f( )=( ) 1=4. 4 4 答案:4 6.已知 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且 f(x)+g(x)=x2+x-2,则 f(x)=__________, g(x)=__________. 解析:∵f(x)+g(x)=x2+x-2, ∴f(-x)+g(-x)=(-x)2+(-x)-2. 又∵f(x)为偶函数,g(x)为奇函数, ∴f(x)-g(x)=x2-x-2. 由①②解得 f(x)=x2-2,g(x)=x. 答案:x2-2 x
? ?2x-3(x>0), 7.如果 y=? 是奇函数,则 f(x)=________. ? ?f(x)(x<0) ?2x-3(x>0), ? 解析:设 g(x)=? 当 x<0 时,-x>0, ? ?f(x)(x<0),





则 g(-x)=2(-x)-3=-(2x+3). ∵g(x)是奇函数,∴g(-x)=-g(x), ∴当 x<0 时,g(x)=2x+3,即 f(x)=2x+3.

答案:2x+3 8.已知函数 y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,它们的定义域为[- f(x) π,π],且它们在 x∈[0,π]上的图像如图所示,则不等式 <0 的解 g(x) 集是________. 解析:作出函数 y=f(x)与 y=g(x)在[-π,π]上的图像. f(x) π π 由图像知,不等式 <0 的解集为(- ,0)∪( ,π). 3 3 g(x)

π π 答案:(- ,0)∪( ,π) 3 3 三、解答题 1 - 9.研究函数 y=x 2(即 y= 2)的奇偶性、单调性,并作出函数的图像. x 1 - 解:∵y=x 2= 2, x ∴函数的定义域为{x|x≠0}. 取任意的 x(x≠0),则-x≠0. 1 1 又∵f(-x)= = 2=f(x), (-x)2 x ∴y=x
-2

在定义域内是偶函数.

当任意 x1,x2∈(0,+∞),且 x1<x2 时, 1 1 f(x1)-f(x2)= 2- 2 x1 x2
2 x2-x2 1 = 2 2 x1x2



(x1+x2)(x2-x1) , 2 2 x1x2

∵0<x1<x2,
2 2 ∴x1x2>0,x1+x2>0,x2-x1>0.

∴f(x1)-f(x2)>0. ∴f(x1)>f(x2), 即 f(x)=x
-2

在(0,+∞)上为减函数.
-2

由偶函数的性质知 f(x)=x

在(-∞,0)上为增函数.

通过描点作图可得 y=x 2(x≠0)的图像如上图所示. m 10.已知函数 f(x)=x+ ,且 f(1)=2. x (1)求 m; (2)判断 f(x)的奇偶性; (3)函数 f(x)在(1,+∞)上是增函数还是减函数?并证明. 解:(1)因为 f(1)=2,所以 1+m=2,即 m=1; 1 (2)由(1)知 f(x)=x+ ,显然函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称, x 1 1 1 又 f(-x)=(-x)+ =-x- =-(x+ )=-f(x), x x -x 1 所以,函数 f(x)=x+ 是奇函数. x (3)函数 f(x)在(1,+∞)上是增函数,设 x1、x2 是(1,+∞)上的任意两个实数,且 x1<x2, 1 1 则 f(x1)-f(x2)=x1+ -(x2+ ) x1 x2 1 1 =x1-x2+( - ) x1 x2 x1-x2 =x1-x2- x1x2 x1x2-1 =(x1-x2) , x1x2 当 1<x1<x2 时,x1x2>1,x1x2-1>0,x1-x2<0, 从而 f(x1)-f(x2)<0, 即 f(x1)<f(x2). 1 所以函数 f(x)=x+ 在(1,+∞)上为增函数. x




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