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轨迹方程(实用)


1.曲线与方程 一般地,在平面直角坐标系中,如果某曲线C上的 点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关 系: (1)曲线上点的坐标都是 这个方程的解 . (2)以这个方程的解为坐标的点是 曲线上的点 .那么 这个方程叫做 曲线的方程 ,这条曲线叫做 方程的曲线 .

[思考探究] 如果只满足第(2)个条件,会出现什么情况? 提示:若只满足“以这个方程的解为坐标的点都是 曲线上的点”,则这个方程可能只是部分曲线的方

程,而非整个曲线的方程.

1.方程x2+xy=x的曲线是 ( C ) A.一个点 B.一条直线 C.两条直线 D.一个点和一条直线 2. 已知椭圆的焦点是F1、F2,P是椭圆上的一 个动点,如果延长F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|, 那么动点Q的轨迹是( A ) A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线的一支 D. 抛物线

例 1 设 A 、 B 两点的坐标是 (-1,-1) 、 (3,7) ,求到 A,B 距离相 等的点的轨迹方程。 解:根据定义我们知道线段的垂直平分线 为一条直线:

y
B

k AB

7 ? (?1) 8 ? ? ?2 3 ? (?1) 4

.M
o
A

1 ? kl ? ? 2

x

且直线过AB的中点M(1,3)

?直线的方程为:x ? 2 y ? 7 ? 0 .

定 义 法

总结:
定义法:适用于可以直接根据 曲线的定义求出方程。

PA 2 例2:PAB中,A(-10,0),B(10,0),其中 = , PB 3 y 求顶点的P的轨迹方程。
解:设P( x, y) y ? 0
2 x ? 10 ? y ? ? 2

PA 2 由 = ,? PB 3
P

? x ? 10 ?

2

?y

2

2 ? 3

.
A

o

. B

x

9[( x ? 10)2 ? y2 ] ? 4[( x ?10)2 ? y 2 ] x2 ? y 2 ? 52x ? 100 ? 0



因为PAB为三角形,所以y ? 0
所以p的轨迹方程是:x ? y ? 52x ? 100 ? 0( y ? 0)
2 2




PA 2 例2:PAB中,A(-10,0),B(10,0),其中 = , PB 3 求顶点的P的轨迹方程。
所以p的轨迹方程是:x2 ? y 2 ? 52x ? 100 ? 0( y ? 0)
2 (x+26) ? y 2 ? 242 ( y ? 0)






总结:
直接法(直译法):适用于动点的关系式 非常明确时,可以直接建立x与y的关系式

例3:如图,已知点P是圆x2+y2=16 上的一个动点,点A是x轴上的定点, 坐标为(12,0).当点P在圆上运动时, 求线段PA的中点M的轨迹方程。
Y P
o

A X

Y P
o

A X

代入法(相关点法):当所求动点的运 动,很明显地依赖于一已知曲线上的动 点的运动时,可利用代入法,其关键是找 出两动点的坐标的关系。

巩固练习、

x y P在双曲线 ? ? 1上运动,F1、F2为其 16 9
两焦点,则△PF1F2的重心G的轨迹方程 是

2

2

9x 2 ? y ? 1( y ? . 0) 16

2

练习1:
(1)已 知?ABC的 一 边 BC的 长 为 6, 周 长 为 16,则 顶 点 A的 2 2 x y 轨迹方程是什么? ? ? 1( y ? 0)

25 16 (2)若A(?2,0), B(2,0),且 MA ? MB ? 2,则点M的轨迹 2

方程是什么?

y x ? ? 1( x ? 0) 3
2

( 3)过 点(1,0)且 与 方 程 x ? ?1相 切 的 圆 的 圆 心 的 轨 迹 2 方程是什么? y ? 4x

2. 已知圆x 2+y2 =4,过点A(4,0)作圆的 割线ABC,求弦BC中点M的轨迹方程。
解 : 在Rt ?AMO中,| MD |?| OD |? 2,

y C

·

M

? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4.
B
D
2 2 ? ( x ? 2) ? y ?4 ? ? x ? 2 x ?1 ? 2 x ?y ?4 ? ? A ? 所求轨迹方程为 :

o

( x ? 2) ? y ? 4(0 ? x ? 1)
2 2

3.抛物线y2 =4x的焦点为F,准线与 x轴交于A,P是抛物线上除去

顶点外的动点,O为顶点.连接FP并延长至Q,使 |FP| = |PQ|,
OQ与AP交于M,求点M的轨迹.
[思路分析1]本题中的动点M是由两条动直线相交而得,

y
M A O P F

Q

而它们的运动又都依赖于动点P ,因此选择P的坐标为 参数,写出两直线的方程,解方程组,得点M的轨迹的参 数方程,再化为普通方程,从而得出M的轨迹.(交轨法) [思路分析2]既然M的运动依赖于P的运动,可否

x

用相关点法,用M的坐标表示P的坐标,而P又 在已知曲线上运动,代入已知曲线得出M的方 程.M和P是什么关系?回到图中仔细分析,连 接AQ会怎么样?点M与Δ AFQ是什么关系?
本题答案: y 2 ?

M ( x, y )为?AFQ的重心. 1 ? 3x ? x ? ? ? P 2 ?? ?y ? 3 y P ? ? 2

轨迹为以(-1/3,0)顶点,开口向右的抛物线(除去顶点).

8 1 ( x ? ). 3 3

定义法: 适用于目标动点的运动规律合乎某种 曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线) 的定义时
直接法 适用于目标动点满足的等量关系 (直译法): 易于建立时 代入法: 适用于目标动点的运动,很明显地 依赖于一已知曲线上的动点的运动 时

1.已知圆C:(x+2)2+y2=49,A(2,0),P为圆 上任意一点,线段AP的垂直平分线l和直 线OP相交于点Q,求Q的轨迹方程。
P Q C A

变式:若A为(8,0), 则Q的轨迹是什么呢?

2.一动圆M与圆O1: (x+3)2+y2=4和 圆O2: : (x-3)2+y2=9均外切,求动 圆圆心M的轨迹方程。
变式1,若动圆与圆O1外切, 与圆O2内切呢? 变式2,若动圆与圆O1和圆O2 均内切呢?

练习:
一动圆与圆O 1 : (x ? 3) ? y
2 2 2 2

? 4外 ? 100

切,同时与圆O 2 : (x ? 3) ? y

内切,求动圆圆心的轨迹方程 。
y

P

O1

O2

x

2. 过点 P(2 , 4) 作两条互相垂直的直线 l1 ,l2 ,若 l1 交 x 轴于A,l2 交 y 轴于B,

求线段 AB 中点 M 的轨迹方程 .
设 M ( x,y) ,连 结PM 解: 则 A(2x, 0) ,B(0 , 2 y)

y

B
o

? l1 ? l2

? ?PAB为Rt?

P . . M

l2

A

? PM ? 1 AB 2

l1

x



( x ? 2)2 ? ( y ? 4)2 ? 1 4x2 ? 4 y2 2



化简得:x ? 2 y ? 5 ? 0 即为所求 M 的轨迹方程 .




过点 P(2 , 4)作两条互相垂直的直线 例3: l1 ,l2 ,若 l1 交 x 轴于A,l2 交 y 轴于B,



求线段 AB 中点 M 的轨迹方程 .


y

解:设M ( x, y), 当l1的斜率存在且不为0时设为k
1 设l1 : y ? 4 ? k ( x ? 2) 则l2 : y ? 4 ? ? ( x ? 2) k 4 2 ? A(2 ? ,0), B (0, ? 4) M 为A,B的中点 k k 2 ? x ? 1? ? ? k ?? 消去k得 : x ? 2 y ? 5 ? 0 ?y ? 1 ? 2 (消参) ? k ?

B
o

P . . M

l2



A

l1

x

当l1的斜率不存在时, A(2,0), B(0,4) 此时M (1,2)满足方程x ? 2 y ? 5 ? 0

? x ? 2 y ? 5 ? 0 即为所求 M 的轨迹方程 .

参数法:当所求动点的运动受一些几何量(距离、角 度、 斜率、坐标等)制约时,可考虑用参数法求解

即:当动点P的坐标x,y之间的直接关系不易建 立时,可适当地选取中间变量t(通常是引发动 点P运动的几何量),并用t表示x,y,即 , 消去参数t,便得到动点的轨迹方程。
? x ? f (t ) ? ? y ? g (t )

过点 P(2 , 4)作两条互相垂直的直线 例3: l1 ,l2 ,若 l1 交 x 轴于A,l2 交 y 轴于B,



求线段 AB 中点 M 的轨迹方程 .


y

解: 设M( x, y),
AP ? (2 ? a, 4)

设A(a,0),则B(0,b)

BP ? (2, 4 ? b)

B
o

AP ? BP ? 0?10 ? a ? 2b ? 0(1)
又A,B的中点是M
? x? ? ? ? ?y ? ? ? a (2) 2 b (3) 2

P . . M

l2



A

l1

x

把(2)(3)两式代入(1)

? x ? 2 y ? 5 ? 0 即为所求 M 的轨迹方程 .

解:设动直线方程为:y=x+b,

和椭圆方程联立得:
x2+4y2-4x=0 ①

y
B

y=x+b
5x2+8bx-4x+4b2=0 设中点M(x,y),则


o
A

x

x=(x1+x2)/2=(2-4b)/5,与②联立消b, 得:x+4y-2=0 (椭圆内的一段)

2.已知动圆C的方程为 x2+y2+(2m-4)x+(6-4m)y+4=0,求圆 心C的轨迹方程。

轨迹方程的求法
1.当动点所满足的几何条件能直接用其坐标代入 时,可用直接法.
2.当目标动点的运动规律合乎某种曲线(如圆、椭圆、 双曲线、抛物线)的定义时,可用定义法。

3.当所求动点的运动很明显地依赖于一已知曲线 上的动点的运动时,可利用代入法。
4.当所求动点的运动受一些几何量(距离、角度、 斜率、坐标等)制约时,可考虑用参数法求解.

注意.1.求得的轨迹方程要与动点的轨迹一一对应,否则 要 “多退少补”,多余的点要剔除,不足的点要补充. 2.注意“求轨迹”和“求轨迹方程”的区别.

练习:已知椭圆 , 求斜率为2的平行弦的中点轨 迹方程;

x2 ? y2 ? 1 2

1.△ABC的顶点为A(0,-2),C(0,2),三边长a、b、c 成等差数列,公差d<0;则动点B的轨迹方程
x2 y2 ? ? 1 ? y ? 0,x ? 0 ? 为__________________________________ . 12 16

2.动点M(x,y)满足 ? x - 1?2 ? ? y - 3?2 ? 则点M轨迹是( D )

3x ? 4 y - 1 5

(A)圆

(B)双曲线

(C)椭圆

(D)抛物线

3.已知一曲线是与两个定点O(0,0)、A(3,0)距离的比为 2 2 ( x ? 1) ? y ?4 1:2的点的轨迹,则此曲线的方程是______________.
1 ? 2 2 2 ( x ? 3) ? y x2 ? y 2 ?平方化简得:( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 ( P78 )

4.已知 的顶点A,B的坐标分别为(-4,0), 5 (4,0),C 为动点,且满足 sin B ? sin A ? sin C , 4 求点C的轨迹。

5:
一动圆与圆O 1 : (x ? 3) ? y
2 2 2 2

? 4外 ? 100

切,同时与圆O 2 : (x ? 3) ? y

内切,求动圆圆心的轨迹方程 。
y

P

O1

O2

x

6.

已知?ABC的顶点B(?3,0), C (1,0),顶点A在抛物线y ? x 2上 运动,求?ABC的重心G的轨迹方程。
y

解:设重心坐标为 G( x, y) 设A( x A , y A )
则由重心坐标公式得: x A ? (?3) ? 1 yA ? 0 ? 0 x? ,y? 3 3 ? xA ? 3x ? 2, y A ? 3 y
B
?

?

A

G?
o

C

?

x

? A点在y ? x 2上运动

2 ? 重心 G的轨迹方程是 9 x ? 12 x ? 3 y ? 4 ? 0, ( x ? ? ) 3
2

2 移 即3 y ? (3x ? 2)化 简 为 9x ? 12 x ? 3 y ? 4 ? 0 ( x ? ? ) 3 法
2
2

? y A ? xA

2



6.已知三点A(-4,0),B(4,0),F(8,0)及直线l的方程:x=2.过 F作相互垂直的两条直线,分别交直线l于M、N两点,直线 AM与BN交于P点.求P点的轨迹方程. 交 解:设P(x,y), 由题意MF,NF的斜率一定存在,且不为0 1 设MF的斜率为:K 则NF的斜率为 ?
1 则MF的方程为y=k(x-8) NF的方程为y= ? (x-8) k

轨 法

k

y

6 ? M (2,?6k ), N (2, ) k 直线AM的方程为y=-k(x+4) (1)

P
M F

3 直线BN的方程为y=- (x-4) (2) k
(1).(2)得P点的轨迹方程:
2 2

A

o

B N

x

y ? 3( x ?16)

(2010广东高考理数)20.(本小题满分为14分)

x 2 一条双曲线 ? y ? 1 的左、右顶点分别为 2
A1,A2,点P(x1,y1),Q(x1,-y1)是双曲线上不同

2

的两个动点。
(1)求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程式; (2)若过点H(0, h)(h>1)的两条直线l1和l2与 轨迹E都只有一个交点,且l1⊥l2,求h的值。


8 : 已知△ABC 的顶点 A 固定,其对边 BC 为定长 2b, 高为 a ,当 BC沿一定直线L上移动时,求△ABC的外心M的轨迹方程。

解: 如图建立直角坐标系,
设 M ( x,y),A(o, a) (a为常数)

作 MN ? BC 于 N ? M是?ABC 的外心 ? MN 垂直平分BC
? BN ? NC ? 1 BC ? b(定长) 2

y

A
?

M

又 在Rt?BMN 中 BM ? BN 2 ? MN ? b 2 ? y 2
又 AM
2

B
2

oN

C

x

2

? x 2 ? ( y ? a ) 2 且 AM ? BM
2 2 2


何 法

? x ? ( y ? a) ? b ? y
2



x ? 2ay ? a ? b ? 0 为所求 M 的轨迹方程 .
2 2 2

已知椭圆 (1)求过点(0.5,0.5) 且被 平分的弦所在 直线的方程; (2)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程; (3)过 点A(2,1)引椭圆的割线,求截得 的弦的中点的轨迹方程;

x2 ? y2 ? 1 , 2

练习4:已知定点P(?2, 2), Q(0, 2),定长为 2的线段AB 动,求直线PA和QB的交点M 的轨迹方程。

(其中A点的横坐标小于B点的横坐标)在直线y ? x上移


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