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高中数学必修2综合测试题


高中数学必修 2 综合测试题
一、选择题(本大题共 2 道小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出 的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1、下图(1)所示的圆锥的俯视图为 ( )

?

?

图(1)

A


B


C

D

2、直线 l : 3x ? y ? 3 ? 0 的倾斜角 ? 为

A 、30 ;

B 、60 ;


C 、120 ;

D 、150 。

3、边长为 a 正四面体的表面积是 (

A、

3 3 a ; 4

B、

3 3 a ; 12

C、

3 2 a ; 4
( )

D 、 3a 2 。

4、对于直线 l : 3x ? y ? 6 ? 0 的截距,下列说法正确的是

A 、在 y 轴上的截距是 6;

B 、在 x 轴上的截距是 6; D 、在 y 轴上的截距是 ?3 。
( )

C 、在 x 轴上的截距是 3;

5、已知 a//? , b ? ? ,则直线 a 与直线 b 的位置关系是

A 、平行;

B 、相交或异面;

C 、异面;

D 、平行或异面。

6、已知两条直线 l1 : x ? 2ay ?1 ? 0, l2 : x ? 4 y ? 0 ,且 l1//l2 ,则满足条件 a 的值为

A、?

1 ; 2

B、

1 ; 2

C 、 ?2 ;

D 、2 。

7 、 在空 间四 边形 ABCD 中 , E , F , G, H 分 别 是 AB, BC 的 中点 。 若 , CD , DA

AC ? BD ? a , 且 AC 与 BD 所成的角为 60 , 则四边形 EFGH 的面积为 (



第 1 页 共 9 页

A、

3 2 a ; 8

B、

3 2 a ; 4

C、

3 2 a ; 2

D 、 3a 2 。
D1 A1 D A B M B1 C1 N C

8、在右图的正方体中,M、N 分别为棱 BC 和棱 CC1 的中点, 则异面直线 AC 和 MN 所成的角为( A.30° B.45° C.90° ( ) )

D. 60°

9、下列叙述中错误的是

A 、若 P ? ?

? 且?

? ? l ,则 P ? l ;

B 、三点 A, B, C 确定一个平面;

C 、若直线 a b ? A ,则直线 a 与 b 能够确定一个平面;
D 、若 A ? l , B ? l 且 A ? ? , B ? ? ,则 l ? ? 。
10、两条不平行的直线,其平行投影不可能是 ( )

A 、两条平行直线;

B 、一点和一条直线; D 、两个点。

C 、两条相交直线;

11、长方体的一个顶点上的三条棱长分别为 3、4、5,且它的 8 个顶点都在同一个 球面上,则这个球的表面积是 ( )

A 、 25? ;
12、给出下列命题

B 、 50? ;

C 、 125? ;

D 、都不对。

①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直 ②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行 ③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 ④过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直 其中正确命题的个数为( A.0 个 B.1 个 ) C.2 个 D.3 个

二、填空题(本大题共 4 道小题,每小题 4 分,共 16 分。把答案填在题中横线上)
13、 圆柱的侧面展开图是边长分别为 2a, a 的矩形, 则圆柱的体积为 ;

14.一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等,这时圆
第 2 页 共 9 页

柱、圆锥、球的体积之比为



M

T

15、过点(1,2) ,且在两坐标轴上截距相等的直线方程 16、已知 a , b 为直线, ? , ? , ? 为平面,有下列三个命题: (1) a//? ? b//? ,则 a//b ; (2) a ? ? , b ? ? ,则 a//b ; (3) a//b, b ? ? ,则 a//? ; (4) a ? b, a ? ? ,则 b//? ; 其中正确命题是 。

三、解答题(本大题共 6 道小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤) 17、 (本小题满分 12 分) 如下图(2), 建造一个容积为16m , 深为 2 m ,宽为 2 m 的长方体无盖水池,如果池底的造价 为 120元/m , 池壁的造价为 80元/m , 求水池的总造价。
2 2
3

2m

2m

18、 (本小题满分 12 分) 如下图(3), 在四棱锥 P ? ABCD

图 2 (2)

中 , 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 , M , N 分 别 是 AB, PC的 中 点 , 求 证 :

MN//?平面PAD 。

P N D

C

A

M

B

第 3 页 共 9 页

///

○ / / / / ○ // / / ○ / / / / ○

19、 (本小题满分 12 分)如下图(4) ,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, (1)画出二面角 A ? B1C ? C1 的平面角; (2)求证:面 BB1DD1 ? 面 AB1C

D A

C
B

D1


C1 B1

A1
线 答

图 (4)

20、 (本大题 8 分)求经过 M(-1,2) ,且满足下列条件的直线方程


(1)与直线 2x + y + 5 = 0 平行 ;




(2)与直线 2x + y + 5 = 0 垂直; 21、 (本小题满分 12 分) 已知三角形 ABC 的三个顶点是 A? 4,0? , B ? 6,7? , C ? 0,8?

○ 不



(1) 求 BC 边上的高所在直线的方程; (2) 求 BC 边上的中线所在直线的方程。





线

22、 (本小题满分 14 分)如下图(5) ,在三棱锥 A ? BCD 中,O, E 分别是 BD, BC 的中点, CA ? CB ? CD ? BD ? 2 , AB ? AD ? (1) 求证: AO ? 平面 BCD ; (2) 求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值;



2。

/ // / ○ / // / ○







(3) 求点 E 到平面 ACD 的距离。 A

/ // / ○

D

O
B

// / ○

E

C

图(5)
第 4 页 共 9 页

高中数学必修 2 综合测试题
一、选择题 (本大题共 2 道小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选
项中,只有一项是符合题目要求的)

题号 答案

1 B

2 C

3 D

4 A

5 D

6 C

7 A

8 D

9 B

10 D

11 B

12 B

二、填空题(本大题共 4 道小题,每小题 4 分,共 16 分。把答案填在题中横线上) 13、
a3

?



a3 ; 2?

14、3:1:2; 15、y ? 2 x, y ? x ? 3

16、 (2 ) 。

三、解答题 (本大题共 6 道小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤) 17、 (本小题满分 12 分)如下图(2), 建造一个容积为16m ,深为 2 m ,宽为 2 m 的 长方体无盖水池,如果池底的造价为 120元/m ,池壁的造价为 80元/m ,求水池 的总造价。 解:分别设长、宽、高为 am, bm, hm ; 水池的总造价为 y 元
2 2
3

2m

V ? abh ? 16, h ? 2, b ? 2 ,

? a ? 4m ———————————
2m
——3 分 则 有

图(2)

S底 ? 4 ? ? m2 ————————6

2



S壁 ? 2 ? ? 2 ? 4? ? 2 ? 24m2 —————9 分
y ? S底 ?120 ? S壁 ? 80 ? 120 ? 8 ? 80 ? 24 ? 2880 (元)———————12 分

第 5 页 共 9 页

18、 (本小题满分 12 分)如下图(3),在四棱锥 P ? ABCD 中,四边形 ABCD 是平 行四边形, M , N 分别是 AB, PC 的中点,求证: MN//?平面PAD 。 P 证明: 如图 ,取 PD 中点为 E ,连 接 AE, EN

E
D

N C

———1 分

E , N 分别是 PD, PC 的中点

? EN //
A M B

1 DC 2 1 2

———————————————4 分

图(3)

M 是 AB 的 中 点
——————7 分

?A M //

D C

? EN // AM
? AE//MN


? 四边形 AMNE 为平行四边形

—9 分

———————————————11 分

AE ? 面APD

M N? 面 A P D

?

MN //?平面 P A D 。

————————12 分 19、 (本小题满分 12 分)如下图(4) ,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,

D A

C
B E

( 1 ) 画 出 二 面 角 A ? B1C ? C1 的 平 面 角 ; (2)求证:面 BB1DD1 ? 面 AB1C 解: (1)如图,取 B1C 的中点 E , 连接 AE, EC1 。

D1

C1 B1

AC, AB1 , B1C 分别为正方形的对角线 ? AC ? AB1 ? B1C
E 是 B1C 的 中 点

A1

图 (4)

? AE ? B1C

——————2 分 又 在正方形 BB1C1C 中

? EC1 ? B1C ——————————3 分
第 6 页 共 9 页

? ?AEC1 为二面角 A ? B1C ? C1 的平面角。 ———————————4 分
(2) 证明: 又

D1D ? 面ABCD , AC ? 面ABCD
? A C? B D

? D1 D? A C ——6 分

在正方形 ABCD 中

—————————————8 分 ————————————10 分 ———————————12 分

D1D BD ? D


? AC ? 面DD1B1B
? 面 BB1DD1 ? 面 AB1C
点 M(-1,2)

AC ? 面AB1C

20、 (本小题满分 12 分) (1) k ? ?2 -----3 分 ( 2) k ?

直线方程为 2 x ? y ? 0 --------5 分 直线方程为 x ? 2 y ? 5 ? 0 --------8 分

1 ---------6 分 2

21、 (本小题满分 12 分) 已知三角形 ABC 的三个顶点是 A? 4,0? , B ? 6,7? , C ? 0,8? (1) 求 BC 边上的高所在直线的方程; (2) y 求 BC 边上的中线所在直线的方程解: (1) 如图,

? 0,8? C

D E ? x0 , y0 ?

作直线 AD ? BC ,垂足为点 D 。

B ? 6,7?

k BC ?

7 ?8 1 ?? 6?0 6

—————2 分

0

A? 4,0? y ? 0 ? 6 ? x ? 4? 化简得:

BC ? AD
x

? k AD ? ?

1 ?6 4分 k BC

由直线的点斜式方程可知直线 AD 的方程为:

y ? 6x ? 2 4 6 分

(2)如图,取 BC 的中点 E ? x0 , y0 ? ,连接 AE 。

0?6 ? x0 ? ?3 ? ? ? 15 ? 2 由中点坐标公式得 ? ,即点 E ? 3, ? ? 2? ? y ? 8 ? 7 ? 15 0 ? ? 2 2

———————9 分

15 ?0 y?0 2 ? 由直线的两点式方程可知直线 AE 的方程为: x ? 4 3?0
第 7 页 共 9 页

——————11 分

化简得: y ?

5 x ? 10 2

——————————————————————12 分

22、 (本小题满分 14 分)如下图(5) ,在三棱锥 A ? BCD 中,O, E 分别是 BD, BC 的中点, CA ? CB ? CD ? BD ? 2 , AB ? AD ? (1) 求证: AO ? 平面 BCD ;

2。

(2) 求异面直线 AB 与 BC 所成角的余弦值; (3) 求点 E 到平面 ACD 的距离。

A

(1) 证明: 连接 OC

BO ? DO, AB ? AD

? AO ? BD
D

————————1 分

BO ? DO, BC ? CD
C

O
B

? CO ? BD

———————2 分

E

图(5)

在 AOC 中,由已知可得 AO ? 1, CO ? 3 , 而 AC ? 2,? AO2 ? CO2 ? AC 2

??AOC ? 90 ,即 AO ? OC

————4 分 —————5 分

BD

OC ?

O A O? 平面 B C D ?

(2) 解: 取 AC 的中点 M , 连接 OM , ME, OE A 由 E 为 BC 的中点知

M D

ME //A, B O/ E/ D C

O
B

? 直线 OE 与 EM 所成的锐角 就是异 面直线 AB 与 CD 所成的角。 ——————6 分
C 在 OME 中, EM ? 1 AB ? 2 ,OE ? 1 DC ? 1 2 2 2

E

图(5)

OM 是 Rt AOC 斜边 AC 上的中线 1 ? OM ? AC ? 1 —————————8 分 2
———————————————————10 分

? cos ?OEM ?

2 4

(3)解:设点 E 到平面 ACD 的距离为 h 。

第 8 页 共 9 页

VE ? ACD ? VA?CDE

——————12 分? h ? S

1 3

ACD

1 ? ? AO ? S 3

CDE

在 ACD 中, CA ? CD ? 2, AD ? 2

?S

ACD

? 2? 1 7 ? ? 2 ? 22 ? ? ? ? ? ? 2 2 ? 2 ?

2

而 AO ? 1, S

CDE

1 3 2 3 ? ? ?2 ? 2 4 2

?h ?

AO ? S CDE 21 ? S ACD 7

? 点 E 到平面的距离为

21 ————————14 分 7

第 9 页 共 9 页


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