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2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第三章


§ 3.1

导数的概念及运算

1. 函数 y=f(x)从 x0 到 x1 的平均变化率 Δy f?x1?-f?x0? f?x0+Δx?-f?x0? = = . Δx Δx x1-x0 2. 函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数 (1)定义 当 x1 趋于 x0,即 Δx 趋于 0 时,如果平均变化率趋于一个固定的值,那么这个值就是函

数 y=f(x)在 x0 点的瞬时变化率.在数学中,称瞬时变化率为函数 y=f(x)在 x0 点的导数, 通常用符号 f′(x0)表示,记作 f′(x0)= lim x1→x0 (2)几何意义 函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜 率.相应地,切线方程为 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0). 3. 函数 f(x)的导函数 如果一个函数 f(x)在区间(a, b)上的每一点 x 处都有导数, 导数值记为 f′(x): f′(x)= lim →
Δx 0

f?x1?-f?x0? f?x0+Δx?-f?x0? = lim . Δx Δx→0 x1-x0

f?x+Δx?-f?x? ,则 f′(x)是关于 x 的函数,称 f′(x)为 f(x)的导函数,通常也简称为导数. Δx 4. 基本初等函数的导数公式 函数 f(x)=c (c 为常数) f(x)=xα (α 为实数) f(x)=sin x 导函数 f′(x)=__0__ f′(x)=αxα
-1

f′(x)=cos_x

f(x)=cos x f(x)=tan x f(x)=cot x f(x)=ax (a>0) f(x)=ex f(x)=logax (a>0,且 a≠1) f(x)=ln x 5. 导数的运算法则 (1)[f(x)± g(x)]′=f′(x)± g′(x); (2)[f(x)· g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x); (3)? f?x? ? f′?x?g?x?-f?x?g′?x? ′= (g(x)≠0). g ? x ? ? ? [g?x?]2

f′(x)=-sin_x 1 f′(x)= 2 cos x 1 f′(x)=- 2 sin x f′(x)=axln_a f′(x)=ex 1 f′(x)= xln a f′(x)= 1 x

1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同. (2)求 f′(x0)时,可先求 f(x0)再求 f′(x0). (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点. (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线. (5)若 f(x)=a +2ax-x ,则 f′(x)=3a +2x. 1 (6)函数 f(x)=x2ln x 的导函数为 f′(x)=2x· =2. x
3 2 2

( × ( × ( √ ( × ( × ( ×

) ) ) ) ) )

2. (2013· 江西)设函数 f(x)在(0,+∞)内可导,且 f(ex)=x+ex,则 f′(1)=________. 答案 2 解析 设 ex=t,则 x=ln t(t>0),∴f(t)=ln t+t 1 ∴f′(t)= +1,∴f′(1)=2. t 3. 已知曲线 y=x3 在点(a,b)处的切线与直线 x+3y+1=0 垂直,则 a 的值是 A.-1 答案 B 解析 由 y=x3 知 y′=3x2, ∴切线斜率 k=y′|x=a=3a2. B.± 1 C.1 D.± 3 ( )

又切线与直线 x+3y+1=0 垂直, 1 ∴3a2· (- )=-1, 3 ∴即 a2=1,a=± 1,故选 B. 4.如图所示为函数 y=f(x), y=g(x)的导函数的图像, 那么 y=f(x), y=g(x)的图像可能是( )

答案 D 解析 由 y=f′(x)的图像知 y=f′(x)在(0,+∞)上单调递减, 说明函数 y=f(x)的切线的斜率在(0,+∞)上也单调递减,故可排除 A,C. 又由图像知 y=f′(x)与 y=g′(x)的图像在 x=x0 处相交, 说明 y=f(x)与 y=g(x)的图像在 x=x0 处的切线的斜率相同,故可排除 B.故选 D. 4 5.已知点 P 在曲线 y= x 上,α 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 α 的取值范围是 e +1 ________. 答案 3 [ π,π) 4

-4ex -4ex -4 4 解析 ∵y= x , ∴y′= x = . 2= 2x e +1 ?e +1? e +2ex+1 x 1 e + x+2 e 1 ∵ex>0,∴ex+ x≥2, ∴y′?[-1,0),∴tan α?[-1,0). e 3π 又 α?[0,π),∴α?[ ,π). 4

题型一 利用定义求函数的导数 例1 利用导数的定义求函数 f(x)=x3 在 x=x0 处的导数,并求曲线 f(x)=x3 在 x=x0 处的切

线与曲线 f(x)=x3 的交点. 思维启迪 掌握导数的定义,理解导数的几何意义是解决本题的关键. 解 f′(x0)= lim x→x0 f?x?-f?x0? x3-x3 0 = lim x→x0 x-x0 x-x0

2 = lim (x2+xx0+x0 )=3x2 0. x→x0

曲线 f(x)=x3 在 x=x0 处的切线方程为
2 y-x3 (x-x0), 0=3x0·



? 3 y=3x2 0x-2x0,由?

?y=x3, ?y=3x0x-2x0, ?
2 3

得(x-x0)2(x+2x0)=0,解得 x=x0,x=-2x0.
3 若 x0≠0,则交点坐标为(x0,x3 0),(-2x0,-8x0);若 x0=0,则交点坐标为(0,0).

思维升华 求函数 f(x)的导数步骤: (1)求函数值的增量 Δy=f(x2)-f(x1); Δy f?x2?-f?x1? (2)计算平均变化率 = ; Δx x2-x1 (3)计算导数 f′(x)= lim →
Δx 0

Δy . Δx

1 Δy (1)函数 y=x+ 在[x,x+Δx]上的平均变化率 =________;该函数在 x=1 x Δx 处的导数是________. (2)若函数 y=f(x)在区间(a, b)内可导, 且 x0?(a, b), 则lim →
h 0

f?x0+h?-f?x0-h? 的值为( h

)

A.f′(x0) C.-2f′(x0) 答案 解析 ∴ 1 (1)1- 0 x?x+Δx?

B.2f′(x0) D.0 (2)B

-Δx 1 1 1 1 (1)∵Δy=(x+Δx)+ -x- =Δx+ - =Δx+ . x x+Δx x+Δx x x?x+Δx?

Δy 1 Δy =1- .y′|x=1= lim =0. Δx Δx→0 Δx x?x+Δx?
h 0

(2)lim →

f?x0+h?-f?x0-h? f?x0+h?-f?x0-h? =2×lim =2f′(x0). h 2h h→0

题型二 导数的运算 例2 求下列函数的导数: (1)y=ex· ln x; 1? 2 1 (2)y=x? ?x +x+x3?; 思维启迪 求函数的导数,首先要搞清函数的结构;若式子能化简,可先化简再求导. 解 1 1 (1)y′=(ex· ln x)′=exln x+ex· =ex(ln x+ ). x x

1 2 (2)∵y=x3+1+ 2,∴y′=3x2- 3. x x

思维升华 (1)求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导, 这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错; (2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式,但在求导前利用代数或三角恒等变形将函 数先化简,然后进行求导,有时可以避免使用商的求导法则,减少运算量; 求下列函数的导数. (1)y=(x+1)(x+2)(x+3); x x (2)y=sin (1-2cos2 ); 2 4 解 (1)方法一 ∵y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6, ∴y′=3x2+12x+11.

方法二 y′=[(x+1)(x+2)]′(x+3)+(x+1)(x+2)(x+3)′ =[(x+1)′(x+2)+(x+1)(x+2)′](x+3)+(x+1)(x+2) =(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)=(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2)=3x2+12x+11. x x 1 1 1 1 (2)∵y=sin (-cos )=- sin x, ∴y′=(- sin x)′=- (sin x)′=- cos x. 2 2 2 2 2 2 题型三 导数的几何意义 例3 已知函数 f(x)=x3-4x2+5x-4. (1)求曲线 f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)求经过点 A(2,-2)的曲线 f(x)的切线方程. 思维启迪 由导数的几何意义先求斜率,再求方程,注意点是否在曲线上,是否为切点. 解 (1)∵f′(x)=3x2-8x+5,∴f′(2)=1, 又 f(2)=-2,

∴曲线 f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 y-(-2)=x-2,即 x-y-4=0.
2 2 (2)设切点坐标为(x0,x3 0-4x0+5x0-4), ∵f′(x0)=3x0-8x0+5, 2 ∴切线方程为 y-(-2)=(3x2 又切线过点(x0,x3 0-8x0+5)(x-2), 0-4x0+5x0-4), 3 2 ∴x0 -4x2 0+5x0-2=(3x0-8x0+5)(x0-2),

整理得(x0-2)2(x0-1)=0,解得 x0=2 或 x0=1, ∴经过 A(2,-2)的曲线 f(x)的切线方程为 x-y-4=0,或 y+2=0. 思维升华 导数几何意义的应用,需注意以下两点: (1)当曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线垂直于 x 轴时,函数在该点处的导数不存在,切 线方程是 x=x0; (2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线.曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的 切线方程是 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0);求过某点的切线方程,需先设出切点坐标,再依据 已知点在切线上求解. (1)曲线 y=x+sin x 在点(0,0)处的切线方程是________. 答案 2x-y=0 解析 ∵y=x+sin x,∴y′=1+cos x,当 x=0 时,y′=1+cos 0=2,故曲线 y=x+

sin x 在点(0,0)处的切线方程是 y-0=2(x-0),2x-y=0. (2)已知函数 f(x)=x3-3x,若过点 A(0,16)且与曲线 y=f(x)相切的切线方程为 y=ax+16, 则实数 a 的值是 A.-3 答案 D 解析 先设切点为 M(x0,y0),则切点在曲线上,即 y0=x3 0-3x0,.....① y0-16 2 求导数得到切线的斜率 k=f′(x0)=3x0 -3, 又切线 l 过 A、M 两点,所以 k= , x0 y0-16 则 3x2 ,.... ② 0-3= x0 联立①、②可解得 x0=-2,y0=-2, B.3 C.6 D.9 ( )

-2-16 从而实数 a 的值为 a=k= =9. -2

一审条件挖隐含 典例:(12 分)设函数 y=x2-2x+2 的图像为 C1,函数 y=-x2+ax+b 的图像为 C2,已知过 C1 与 C2 的一个交点的两切线互相垂直. (1)求 a,b 之间的关系;(2)求 ab 的最大值.

C1 与 C2 有交点 ↓(可设 C1 与 C2 的交点为(x0,y0)) 过交点的两切线互相垂直 ↓(切线垂直隐含着斜率间的关系) 两切线的斜率互为负倒数 ↓?导数的几何意义? 利用导数求两切线的斜率: k1=2x0-2,k2=-2x0+a ↓?等价转换? (2x0-2)(-2x0+a)=-1 ↓(交点(x0,y0)适合解析式)
2 ?y0=x0 -2x0+2 ? ? ,即 2x2 0-(a+2)x0+2-b=0 2 ?y0=-x0+ax0+b ?





↓?注意隐含条件方程①②同解? 5 a+b= 2 ↓?消元? 5 ? ? 5?2 25 ab=a? ?2-a?=-?a-4? +16 5 25 当 a= 时,ab 最大且最大值为 . 4 16

规范解答 解 (1)对于 C1:y=x2-2x+2,有 y′=2x-2, [1 分] [2 分]

对于 C2:y=-x2+ax+b,有 y′=-2x+a, 设 C1 与 C2 的一个交点为(x0,y0), 由题意知过交点(x0,y0)的两切线互相垂直. ∴(2x0-2)(-2x0+a)=-1, 即 4x2 0-2(a+2)x0+2a-1=0 又点(x0,y0)在 C1 与 C2 上,
2 ? ?y0=x0-2x0+2 ? 故有 2 ?y0=-x0+ax0+b ?



?2x2 0-(a+2)x0+2-b=0



5 由①②消去 x0,可得 a+b= . 2 5 (2)由(1)知:b= -a, 2 5 ? ? 5?2 25 ∴ab=a? ?2-a?=-?a-4? +16. 5 25 ∴当 a= 时,(ab)最大值= . 4 16

[6 分]

[9 分] [12 分]

温馨提醒 审题包括两方面内容:题目信息的挖掘、整合以及解题方法的选择;本题切入点 是两条曲线有交点 P(x0,y0),交点处的切线互相垂直,通过审题路线可以清晰看到审题 的思维过程.

方法与技巧 1. f′(x0)代表函数 f(x)在 x=x0 处的导数值;(f(x0))′是函数值 f(x0)的导数,而函数值 f(x0) 是一个常量,其导数一定为 0,即(f(x0))′=0. 2. 对于函数求导,一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时,不但要重视求导法则的 应用,而且要特别注意求导法则对求导的制约作用,在实施化简时,首先必须注意变换 的等价性,避免不必要的运算失误. 失误与防范 1. 利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆. 2. 求曲线切线时,要分清在点 P 处的切线与过 P 点的切线的区别,前者只有一条,而后者 包括了前者. 3. 曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个, 这和研究直线与二次曲线相切时有差别.

A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) 一、选择题 1. 设 f(x)=xln x,若 f′(x0)=2,则 x0 的值为 A.e2 答案 B 解析 由 f(x)=xln x 得 f′(x)=ln x+1. B.e ln 2 C. 2 D.ln 2 ( )

根据题意知 ln x0+1=2,所以 ln x0=1,因此 x0=e. 2. 若函数 f(x)=ax4+bx2+c 满足 f′(1)=2,则 f′(-1)等于 A.-1 答案 B 解析 f′(x)=4ax3+2bx,∵f′(x)为奇函数且 f′(1)=2,∴f′(-1)=-2. B.-2 C.2 D.0 ( )

1 3. 已知函数 f(x)= x2+4ln x, 若存在满足 1≤x0≤3 的实数 x0, 使得曲线 y=f(x)在点(x0, f(x0)) 2 处的切线与直线 x+my-10=0 垂直,则实数 m 的取值范围是 A.[5,+∞) 13 C.[4, ] 3 答案 B 解析 4 f′(x)=x+ ,当 1≤x0≤3 时,f′(x0)?[4,5], 又 k=f′(x0)=m,所以 m?[4,5]. x ( ) B.[4,5] D.(-∞,4) ( )

4. 曲线 y=x3 在点(1,1)处的切线与 x 轴及直线 x=1 所围成的三角形的面积为 1 A. 12 答案 B 1 B. 6 1 C. 3 1 D. 2

解析 求导得 y′=3x2,所以 y′=3x2|x=1=3,所以曲线 y=x3 在点(1,1)处的切线方程为 y-1=3(x-1), 结合图像易知所围成的三角形是直角三角形, 2 1 2 1 三个交点的坐标分别是( ,0),(1,0),(1,1),于是三角形的面积为 ×(1- )×1= , 3 2 3 6 5. 已知 f1(x)=sin x+cos x,fn+1(x)是 fn(x)的导函数,即 f2(x)=f1′(x),f3(x)=f2′(x),?, fn+1(x)=fn′(x),n?N+,则 f2 015(x)等于 A.-sin x-cos x C.-sin x+cos x 答案 A 解析 ∵f1(x)=sin x+cos x,∴f2(x)=f1′(x)=cos x-sin x, ∴f3(x)=f2′(x)=-sin x-cos x,∴f4(x)=f3′(x)=-cos x+sin x, ∴f5(x)=f4′(x)=sin x+cos x,∴fn(x)是以 4 为周期的函数, ∴f2 015(x)=f3(x)=-sin x-cos x,故选 A. 二、填空题 6. 已知函数 f(x)的导函数为 f′(x),且满足 f(x)=3x2+2x· f′(2),则 f′(5)=________. 答案 6 解析 对 f(x)=3x2+2xf′(2)求导,得 f′(x)=6x+2f′(2).令 x=2,得 f′(2)=-12. 再令 x=5,得 f′(5)=6×5+2f′(2)=6. B.sin x-cos x D.sin x+cos x ( )

7. 已知函数 y=f(x)及其导函数 y=f′(x)的图像如图所示,则曲线 y= f(x)在点 P 处的切线方程是__________________. 答案 x-y-2=0 解析 根据导数的几何意义及图像可知,曲线 y=f(x)在点 P 处的切 线的斜率 k=f′(2)=1,又过点 P(2,0),所以切线方程为 x-y-2=0. 1 8. 若函数 f(x)= x2-ax+ln x 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是________. 2 答案 [2,+∞)

1 1 解析 ∵f(x)= x2-ax+ln x,∴f′(x)=x-a+ . 2 x 1 1 ∵f(x)存在垂直于 y 轴的切线,∴f′(x)存在零点,x+ -a=0,∴a=x+ ≥2. x x 三、解答题 9. 求下列函数的导数. (1)y=xnlg x; 1 2 1 (2)y= + 2+ 3; x x x sin x (3)y= n ; x 解
(2)

1 1 - - (1)y′=nxn 1lg x+xn· =xn 1(nlg x+ ). xln 10 ln 10

1 2 1 - - - - - - y′=( )′+( 2)′+( 3)′=(x 1)′+(2x 2)′+(x 3)′=-x 2-4x 3-3x 4 x x x

1 4 3 (3)=- 2- 3- 4. x x x xn?sin x?′-?xn?′sin x xncos x-nxn 1sin x xcos x-nsin x sin x (3)y′=( n )′= = = . + x x2n x2n xn 1


1 4 10.已知曲线 y= x3+ . 3 3 (1)求曲线在点 P(2,4)处的切线方程; (2)求曲线过点 P(2,4)的切线方程. 解 1 4 (1)∵P(2,4)在曲线 y= x3+ 上,且 y′=x2, 3 3

∴在点 P(2,4)处的切线的斜率为 y′|x=2=4. ∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y-4=4(x-2),即 4x-y-4=0. 1 3 4? 1 4 (2)设曲线 y= x3+ 与过点 P(2,4)的切线相切于点 A? ?x0,3x0+3?, 3 3

?1 3 4? 2 则切线的斜率为 y′|x=x0=x2 0.∴切线方程为 y- 3x0+3 =x0(x-x0), ? ?

2 4 即 y=x2 x- x3 + . 0· 3 0 3

2 3 4 ∵点 P(2,4)在切线上,∴4=2x2 0- x0+ , 3 3

2 3 2 2 2 即 x3 0-3x0+4=0,∴x0+x0-4x0+4=0, ∴x0(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,

∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得 x0=-1 或 x0=2, 故所求的切线方程为 x-y+2=0 或 4x-y-4=0. B 组 专项能力提升 (时间:30 分钟) π 1. 在函数 y=x3-9x 的图像上,满足在该点处的切线的倾斜角小于 ,且横、纵坐标都为整 4 数的点的个数是 A.0 答案 A 解析 依题意得,y′=3x2-9,令 0≤y′<1 得 3≤x2< 10 , 3 B.1 C.2 D.3 ( )

显然满足该不等式的整数 x 不存在,因此在函数 y=x3-9x 的图像上,满足在该点处的 π 切线的倾斜角小于 ,且横、纵坐标都为整数的点的个数是 0,选 A. 4 2. 若函数 f(x)=x2+bx+c 的图像的顶点在第四象限,则函数 f′(x)的大致图像是 ( )

答案 A 解析 b b2 b x+ ?2- +c,由 f(x)的图像的顶点在第四象限得- >0, ∵f(x)=x2+bx+c=? ? 2? 4 2

∴b<0. 又 f′(x)=2x+b,斜率为正,纵截距为负,故选 A. 3. (2013· 广州调研)已知曲线 C:f(x)=x3-ax+a,若过曲线 C 外一点 A(1,0)引曲线 C 的两 条切线,它们的倾斜角互补,则 a 的值为________. 答案 27 8

解析 设切点坐标为(t,t3-at+a).由题意知,f′(x)=3x2-a, 切线的斜率为 k=y′|x=t=3t2-a,......① 所以切线方程为 y-(t3-at+a)=(3t2-a)(x-t).......② 3 将点(1,0)代入②式得,-(t3-at+a)=(3t2-a)(1-t),解之得,t=0 或 t= . 2 3 27 分别将 t=0 和 t= 代入①式,得 k=-a 和 k= -a, 2 4 27 由题意得它们互为相反数得 a= . 8

b 4. 设函数 f(x)=ax- ,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 7x-4y-12=0. x (1)求 f(x)的解析式; (2)曲线 f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形面积为定值,并 求此定值. 解 7 1 b (1)方程 7x-4y-12=0 可化为 y= x-3. 当 x=2 时,y= .又 f′(x)=a+ 2, 4 2 x b 1
?a=1, ? 3 解得? 故 f(x)=x- . x ? b = 3. ?

?2a-2=2, 于是? b 7 ?a+4=4,
3? y0=? ?1+x2?(x-x0),
0

3 (2)设 P(x0,y0)为曲线上任一点,由 y′=1+ 2知曲线在点 P(x0,y0)处的切线方程为 y- x 3? ? 3? 6 2 (x-x0). 令 x=0,得 y=- , 即 y-? ?x0-x0?=?1+x0 ? x0
0

6? 从而得切线与直线 x=0 的交点坐标为? ?0,-x ?. 从而得切线与直线 y=x 的交点坐标为(2x0,2x0).

令 y=x,得 y=x=2x0,

6 1 - ?|2x |=6. 所以点 P(x0,y0)处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形的面积为 S= ? 2? x0? 0 故曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0, y=x 所围成的三角形面积为定值, 且此定 值为 6. 9 5. 设有抛物线 C:y=-x2+ x-4,过原点 O 作 C 的切线 y=kx,使切点 P 在第一象限. 2 (1)求 k 的值; (2)过点 P 作切线的垂线,求它与抛物线的另一个交点 Q 的坐标. 解 (1)设点 P 的坐标为(x1,y1),则 y1=kx1, ① ②

9 y1=-x2 1+ x1-4, 2 9 ①代入②得 x2 1+(k- )x1+4=0. 2 9 17 1 ∵P 为切点,∴Δ=(k- )2-16=0 得 k= 或 k= . 2 2 2 17 当 k= 时,x1=-2,y1=-17. 2 1 当 k= 时,x1=2,y1=1. 2 1 ∵P 在第一象限,∴所求的斜率 k= . 2 (2)过 P 点作切线的垂线,其方程为 y=-2x+5.



13 将③代入抛物线方程得 x2- x+9=0. 2 设 Q 点的坐标为(x2,y2),即 2x2=9, 9 9 ∴x2= ,y2=-4.∴Q 点的坐标为( ,-4). 2 2


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