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n次独立重复试验的模型及二项分布


第八节

n次独立重复试验与二项分布

[备考方向要明了]

考 什 么 1.了解条件概率和两个事件相互独立 的概念. 2.理解 n 次独立重复试验的模型及二 项分布,并能解决一些简单的实际问 题.

怎 么 考 相互独立事件、 n 次独立重复试验的概率求法是每年 高考的热点, 特别是相互独立事件、 n 次独立重复试 验及二项分布的综合更是高考命题的重中之重,如 2012 年山东 T19 等.

[归纳·知识整合] 1.条件概率及其性质 条件概率的定义 设 A、B 为两个事件,且 P(A)>0,称 P(B|A)= 条件概率的性质 (1)0≤P(B|A)≤1 (2)如果 B 和 C 是两个互斥事件, 则 P(B∪

P?AB? 为在事件 A 发生条件下,事件 B 发生的 P?A?
条件概率

C|A)=P(B|A)+P(C|A)

2.事件的相互独立性 (1)定义:设 A、B 为两个事件,如果 P(AB)=P(A)·P(B),则称事件 A 与事件 B 相互独 立. (2)性质: ①若事件 A 与 B 相互独立,则 P(B|A)=P(B),P(A|B)=P(A),P(AB)=P(A)P(B). ②如果事件 A 与 B 相互独立,那么 A 与 B , A 与 B, A 与 B 也相互独立. [探究] 1.“相互独立”和“事件互斥”有何不同? 提示: 两事件互斥是指两事件不可能同时发生, 两事件相互独立是指一个事件的发生与 否对另一个事件发生的概率没有影响,两个事件相互独立不一定互斥. 3.独立重复试验与二项分布

独立重复试验

二项分布 在 n 次独立重复试验中, 用 X 表示事件 A 发生的次数,

定义

在相同条件下重复做的 n 次 试验称为 n 次独立重复试验

设每次试验中事件 A 发生的概率是 p,此时称随机变 量 X 服从二项分布,记作 X~B(n,p),并称 p 为成功 概率

Ai(i=1,2,?,n)表示第 i 计算 公式 次试验结果,则 在 n 次独立重复试验中,事件 A 恰好发生 k 次的概率 为 P(X=k)=Cnp (1-p)
k k n-k

P(A1A2A3?An)= P(A1)P(A2)?P(An)

(k=0,1,2,?,n)

[探究] 2.二项分布的计算公式和二项式定理的公式有何联系? 提示:如果把 p 看成 a,1-p 看成 b,则 Cnp (1-p)
k k n-k

就是二项式定理中的通项.

[自测·牛刀小试] 1 1.若事件 E 与 F 相互独立,且 P(E)=P(F)= ,则 P(EF)的值等于( 4 A.0 C. 1 4 B. D. 1 16 1 2 )

解析:选 B EF 代表 E 与 F 同时发生, 1 故 P(EF)=P(E)·P(F)= . 16 1 3 2.已知 P(B|A)= ,P(AB)= ,则 P(A)等于( 2 8 A. C. 3 16 3 4 B. D. 13 16 1 4 )

3 解析:选 C 由 P(AB)=P(A)P(B|A)可得 P(A)= . 4 3.有甲、乙两批种子,发芽率分别为 0.8 和 0.9,在两批种子中各取一粒,则恰有一 粒种子能发芽的概率是( A.0.26 C.0.18 ) B.0.08 D.0.72

解析:选 A P=0.8×0.1+0.2×0.9=0.26.

2 4.掷一枚不均匀的硬币,正面朝上的概率为 ,若将此硬币掷 4 次,则正面朝上 3 次的 3 概率是________.

? 2? 解析:设正面朝上 X 次,则 X~B?4, ?, ? 3?
3 1 P(X=3)=C3 . 4? ? ? ? = ?3? ?3? 81

?2? ?1?

32

32 答案: 81 5.某人一周晚上值班 2 次,在已知他周日一定值班的条件下,则他在周六晚上值班的 概率为________. 解析:设事件 A 为“周日值班”,事件 B 为“周六值班”, C6 1 P?AB? 1 则 P(A)= 2,P(AB)= 2,故 P(B|A)= = . C7 C7 P?A? 6 1 答案: 6
1

条件概率

[例 1] (1)甲、乙两地都位于长江下游,根据天气预报的记录知,一年中下雨天甲市 占 20%,乙市占 18%,两市同时下雨占 12%.则甲市为雨天,乙市也为雨天的概率为( A.0.6 C.0.8 B.0.7 D.0.66 )

(2)市场上供应的灯泡中, 甲厂产品占 70%, 乙厂产品占 30%, 甲厂产品的合格率是 95%, 乙厂产品的合格率是 80%,则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是________. [自主解答] (1)甲市为雨天记为事件 A,乙市为雨天记为事件 B,则 P(A)=0.2,P(B) =0.18,P(AB)=0.12, 故 P(B|A)=

P?AB? 0.12 = =0.6. P?A? 0.2

(2)记 A=“甲厂产品”,B=“合格产品”,则 P(A)=0.7,P(B|A)=0.95.故 P(AB)=

P(A)·P(B|A)=0.7×0.95=0.665.
[答案] (1)A (2)0.665

在本例 2 中条件改为“甲厂产品的合格率是 95%,其中 60%为一级品”,求甲厂产品中 任选一件为一级品的概率. 解:设甲厂产品合格为事件 A,一级品为事件 B,则甲厂产品中任一件为一级品为 AB, 所以 P(AB)=P(A)P(B|A)=95%×60%=0.57.

—————

—————————————— 条件概率的求法

(1)定义法:先求 P(A)和 P(AB),再由 P(B|A)=

P?AB? 求 P(B|A); P?A?

(2)基本事件法:借古典概型概率公式,先求事件 A 包含的基本事件数 n(A),再求事件

n?AB? AB 所包含的基本事件数 n(AB),得 P(B|A)= . n?A?

1.在 5 道题中有 3 道理科题和 2 道文科题.如果不放回地依次抽取 2 道题,求: (1)第 1 次抽到理科题的概率; (2)第 1 次和第 2 次都抽到理科题的概率; (3)在第 1 次抽到理科题的条件下,第 2 次抽到理科题的概率. 解:设第 1 次抽到理科题为事件 A,第 2 次抽到理科题为事件 B,则第 1 次和第 2 次都 抽到理科题为事件 AB. (1)从 5 道题中不放回地依次抽取 2 道的事件数为

n(Ω )=A2 5=20;
根据分步乘法计数原理,n(A)=A3×A4=12; 于是 P(A)=
1 1

n?A? 12 3 = = . n?Ω ? 20 5
2

(2)因为 n(AB)=A3=6,所以

n?AB? 6 3 P(AB)= = = . n?Ω ? 20 10
(3)法一:由(1)(2)可得,在第 1 次抽到理科题的条件下,第 2 次抽到理科题的概率 3

P?AB? 10 1 P(B|A)= = = . P?A? 3 2
5 法二:因为 n(AB)=6,n(A)=12,所以 P(B|A)=

n?AB? 6 1 = = . n?A? 12 2

相互独立事件的概率

[例 2] 某果园要用三辆汽车将一批水果从所在城市 E 运至销售城市 F,已知从城市 E 到城市 F 有两条公路.统计表明: 汽车走公路Ⅰ堵车的概率为 1 9 3 ,不堵车的概率为 ;走公路Ⅱ堵车的概率为 ,不堵车 10 10 5

2 的概率为 ,若甲、乙两辆汽车走公路Ⅰ,第三辆汽车丙由于其他原因走公路Ⅱ运送水果, 5 且三辆汽车是否堵车相互之间没有影响. (1)求甲、乙两辆汽车中恰有一辆堵车的概率; (2)求三辆汽车中至少有两辆堵车的概率. [自主解答] 记“汽车甲走公路Ⅰ堵车”为事件 A, “汽车乙走公路Ⅰ堵车”为事件 B. “汽车丙走公路Ⅱ堵车”为事件 C. (1)甲、乙两辆汽车中恰有一辆堵车的概率为

P1=P(A· B )+P( A ·B)= × + × = .
(2)甲、乙、丙三辆汽车中至少有两辆堵车的概率为

1 10

9 10

9 1 10 10

9 50

P2 = P(A·B· C ) + P(A· B ·C) + P( A ·B·C) + P(A·B·C) =
3 9 1 3 1 1 3 59 × + × × + × × = . 5 10 10 5 10 10 5 500 ————— —————————————— 求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解; (2)正面计算较繁或难以入手时,可从其对立事件入手计算.

1 1 2 1 9 × × + × 10 10 5 10 10

2.红队队员甲、乙、丙与蓝队队员 A、B、C 进行围棋比赛,甲对 A、乙对 B、丙对 C 各一盘,已知甲胜 A、乙胜 B、丙胜 C 的概率分别为 0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独 立. (1)求红队至少两名队员获胜的概率; (2)求红队队员获胜总盘数为 1 的概率. 解:(1)设甲胜 A 为事件 D,乙胜 B 为事件 E,丙胜 C 为事件 F,则 D , E , F 分别表 示事件甲不胜 A、事件乙不胜 B、事件丙不胜 C. 因为 P(D)=0.6, P(E)=0.5, P(F)=0.5, 由对立事件的概率公式知 P( D )=0.4, P( E )

=0.5,P( F )=0.5. 红队至少两人获胜的事件有:DE F ,D E F, D EF,DEF. 由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立, 因此红队至少两人获胜的概率为

P=P(DE F )+P(D E F)+P( D EF)+P(DEF)
=0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.55. (2)由题意知 ξ 可能的取值为 0,1,2,3. -- 又由(1)知 D] E]F、 D E F 、D E F 是两两互斥事件,且各盘比赛的结果相互独立.

P(ξ =1)=P( D E F)+P( D E F )+P(D E F )
=0.4×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.35. 即红队队员获胜 1 盘的概率为 0.35.

--

独立重复试验与二项分布

[例 3] 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件,已知甲、乙、丙三台机床加 工的零件是一等品的概率分别为 0.7、0.6、0.8,乙、丙两台机床加工的零件数相等,甲机 床加工的零件数是乙机床加工的零件数的二倍. (1)从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一件检验,求至少有一件一等品的概率; (2)将甲、乙、丙三台机床加工的零件混合到一起,从中任意地抽取一件检验,求它是 一等品的概率; (3)将甲、乙、丙三台机床加工的零件混合到一起,从中任意地抽取 4 件检验,其中一 等品的个数记为 X,求 X 的分布列. [自主解答] (1)设从甲、乙、丙三台机床加工的零件中任取一件是一等品分别为事件

A,B,C,
则 P(A)=0.7,P(B)=0.6,P(C)=0.8. 所以从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一件检验,至少有一件一等品的概率为

P1=1-P( A )P( B )P( C )=1-0.3×0.4×0.2=0.976.
(2)将甲、乙、丙三台机床加工的零件混合到一起,从中任意地抽取一件检验,它是一 等品的概率为

P2=

2×0.7+0.6+0.8 =0.7. 4

(3)依题意抽取的 4 件样品中一等品的个数 X 的可能取值为 0,1,2,3,4,则

4 P(X=4)=C0 4×0.7 =0.2401, 3 P(X=3)=C1 4×0.3×0.7 =0.4116, 2 2 P(X=2)=C2 4×0.3 ×0.7 =0.2646, 3 P(X=1)=C3 4×0.3 ×0.7=0.0756, 4 P(X=0)=C4 4×0.3 =0.0081.

∴X 的分布列为:

X P

4 0.2401

3 0.4116

2 0.2646

1 0.0756

0 0.0081

—————

—————————————— 二项分布满足的条件

(1)每次试验中,事件发生的概率是相同的. (2)各次试验中的事件是相互独立的. (3)每次试验只有两种结果:事件要么发生,要么不发生. (4)随机变量是这 n 次独立重复试验中事件发生的次数.

3.如图,一圆形靶分成 A,B,C 三部分,其面积之比为 1∶1∶2.某同 学向该靶投掷 3 枚飞镖,每次 1 枚.假设他每次投掷必定会中靶,且投中靶 内各点是随机的. (1)求该同学在一次投掷中投中 A 区域的概率; (2)设 X 表示该同学在 3 次投掷中投中 A 区域的次数,求 X 的分布列; (3)若该同学投中 A,B,C 三个区域分别可得 3 分,2 分,1 分,求他投掷 3 次恰好得 4 分的概率. 1 解:(1)设该同学在一次投掷中投中 A 区域的概率为 P(A),依题意,P(A)= . 4

? 1? (2)依题意识,X~B?3, ?,从而 X 的分布列为: ? 4?
X P
0 27 64 1 27 64 2 9 64 3 1 64

(3)设 Bi 表示事件“第 i 次击中目标时,击中 B 区域”,Ci 表示事件“第 i 次击中目标 1 1 1 时,击中 C 区域”,i=1,2,3.依题意知 P=P(B1C2C3)+P(C1B2C3)+P(C1C2B3)=3× × × = 4 2 2 3 . 16

? 1 个技巧——抓住关键词求解相互独立事件的概率 在应用相互独立事件的概率公式时, 要找准关键字句, 对含有“至多有一个发生”, “至 少有一个发生”,“恰有一个发生”的情况,要结合对立事件的概率求解. ? 1 个明确——明确常见词语的含义 解题过程中要明确事件中“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发 生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词的意义.已知两个事件 A,B,则

(1)A,B 中至少有一个发生的事件为 A∪B; (2)A,B 都发生的事件为 AB; (3)A,B 都不发生的事件为 A

B;

(4)A,B 恰有一个发生的事件为 A B ∪ A B; (5)A,B 至多一个发生的事件为 A B ∪ A B∪ A

B.

易误警示——独立事件概率求法中的易误点

2 [典例] (2012·珠海模拟)某射手每次射击击中目标的概率是 ,且各次射击的结果互 3 不影响. (1)假设这名射手射击 5 次,求恰有 2 次击中目标的概率; (2)假设这名射手射击 5 次,求有 3 次连续击中目标,另外 2 次未击中目标的概率; (3)假设这名射手射击 3 次,每次射击,击中目标得 1 分,未击中目标得 0 分,在 3 次 射击中,若有 2 次连续击中,而另外 1 次未击中,则额外加 1 分;若 3 次全击中,则额外加 3 分,记 ξ 为射手射击 3 次后的总的分数,求 ξ 的分布列.

? 2? [解] (1)设 X 为射手在 5 次射击中目标的次数,则 X~B?5, ?.在 5 次射击中,恰有 2 ? 3?
次击中目标的概率为
2 3 P(X=2)=C2 5×? ? ×?1- ? = 3 3

?2? ? ?

? ?

2?

?

40 . 243

(2)设“第 i 次射击击中目标”为事件 Ai(i=1,2,3,4,5);“射手在 5 次射击中,有 3 次连续击中目标,另外 2 次未击中目标”为事件 A,则

P(A)=P(A1A2A3 A

4

A 5)+P( A 1A2A3A4 A 5)+P( A

1

A 2A3A4A5)

?2?3 ?1?2 1 ?2?3 1 ?1?2 ?2?3 8 =? ? ×? ? + ×? ? × +? ? ×? ? = . ?3? ?3? 3 ?3? 3 ?3? ?3? 81
(3)由题意可知,ξ 的所有可能取值为 0,1,2,3,6,

P(ξ =0)=P( A 1 A 2 A 3)=? ?3= ; 3 P(ξ =1)=P(A1 A
2 . 9
2

?1? ? ?

1 27

A 3)+P( A 1A2 A 3)+P( A 1 A 2A3)= ×? ?2+ × × +? ?2× = 3 ?3? 3 3 3 ?3? 3

2

?1?

1

2

1

?1?

2

P(ξ =2)=P(A1 A 2A3)= × × = , P(ξ =3)=P(A1A2 A 3)+P( A 1A2A3)=? ?2× + ×? ?2= , ?3? 3 3 ?3? 27 P(ξ =6)=P(A1A2A3)=? ?2= , 3
所以 ξ 的分布列为: ξ 0 1 27 1 2 9 2 4 27 3 8 27 6 8 27

2 1 3 3

2 3

4 27

?2?

1

1 ?2?

8

?2? ? ?

8 27

P

[易误辨析] 1.本题第(2)问因不明独立事件与独立重复试验的区别,误认为是 n 次独立重复试验,

?1?2 80 3?2?3 可导致求得 P=C5? ? ×? ? = 这一错误结果; 3 ? ? ?3? 243
2.本题第(2)问中因忽视连续三次击中目标,另外两次未击中导致分类不准确; 3.正确区分相互独立事件与 n 次独立重复试验是解决这类问题的关键. [变式训练] 某中学在运动会期间举行定点投篮比赛,规定每人投篮 4 次,投中一球得 2 分,没有投 1 中得 0 分,假设每次投篮投中与否是相互独立的.已知小明每次投篮投中的概率都是 . 3 (1)求小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率; (2)求小明在 4 次投篮后的总得分 ξ 的分布列. 解:(1)设小明第 i 次投篮投中为事件 Ai,则小明在投篮过程中直到第三次才投中的概 率为

P=P( A1 )·P( A2 )·P(A3)= × × = .

2 2 3 3

1 3

4 27

?2?4 16 ?1? 1 (2)由题意知 ξ 的可能取值为 0,2,4,6,8,则 P(ξ =0)=? ? = ;P(ξ =2)=C4×? ? ?3? 81 ?3? ?2?3 32 ?1?2 ?2?2 8 ?1?3 ?2? 8 ?1? 2 3 ×? ? = ;P(ξ =4)=C4×? ? ×? ? = ;P(ξ =6)=C4×? ? ×? ?= ;P(ξ =8)=? ? 3 3 3 3 3 ? ? 81 ? ? ? ? 27 ? ? ? ? 81 ?3?
4

1 = . 81 所以 ξ 的分布列为: ξ 0 16 81 2 32 81 4 8 27 6 8 81 8 1 81

P

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 1.甲、乙两人同时报考某一所大学,甲被录取的概率为 0.6,乙被录取的概率为 0.7, 两人是否被录取互不影响,则其中至少有一人被录取的概率为( A.0.12 C.0.46 B.0.42 D.0.88 )

解析:选 D 由题意知,甲、乙都不被录取的概率为(1-0.6)·(1-0.7)=0.12.故至 少有一人被录取的概率为 1-0.12=0.88. 2.(2013·济南模拟)位于直角坐标原点的一个质点 P 按下列规则移动:质点每次移动 1 2 一个单位,移动的方向向左或向右,并且向左移动的概率为 ,向右移动的概率为 ,则质点 3 3

P 移动五次后位于点(1,0)的概率是(
A. C. 4 243 40 243

) B. D. 8 243 80 243

解析:选 D 依题意得,质点 P 移动五次后位于点(1,0),则这五次移动中必有某两次

?2?3 80 2?1? 2 向左移动,另三次向右移动,因此所求的概率等于 C5? ? ·? ? = . ?3? ?3? 243 ? 1? 3.(2013·荆州质检)已知随机变量 ξ 服从二项分布 ξ ~B?6, ?,即 P(ξ =2)等于 ? 3?
( ) A. 3 16 B. 1 243

C.

13 243

D.

80 243

1 ? 1? k k n-k 解析:选 D 已知 ξ ~B?6, ?,P(ξ =k)=Cnp q ,当 ξ =2,n=6,p= 时,有 P(ξ 3 3 ? ? 1?6-2 80 2?1?2? =2)=C6? ? ?1- ? = . 243 ?3? ? 3? 4.从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数,事件 A=“取到的 2 个数之和为偶数”,事件 B =“取到的 2 个数均为偶数”,则 P(B|A)=( A. C. 1 8 2 5
2 2

) 1 4 1 2
2

B. D.

C3+C2 4 2 C2 1 解析:选 B P(A)= 2 = = ,P(A∩B)= 2= . C5 10 5 C5 10 1 P?A∩B? 10 1 由条件概率计算公式,得 P(B|A)= = = . P?A? 4 4 10 5. 将一枚硬币连掷 5 次, 如果出现 k 次正面向上的概率等于出现 k+1 次正面向上的概 率,那么 k 的值为( A.0 C.2 ) B.1 D.3

?1?5-k-1,即 Ck=Ck+1,故 k+(k+1)=5,即 k k?1?k?1? 5-k k+1?1? k+1 解析:选 C 由 C5? ? ? ? =C5 ? ? ·? ? 5 5 ?2? ?2? ?2? ?5?
=2. 6.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同,且在两次罚球中至多命中一次的概率 16 为 ,则该队员每次罚球的命中率为( 25 A. C. 3 5 4 5 ) B. D. 1 5 2 5
2

解析:选 A 设该队员每次罚球的命中率为 p(其中 0<p<1),则依题意有 1-p = 9 3 = .又 0<p<1,因此有 p= . 25 5 二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分)

16 2 ,p 25

7.有一批种子的发芽率为 0.9,出芽后的幼苗成活率为 0.8,在这批种子中,随机抽取

一粒,则这粒种子能成长为幼苗的概率为________. 解析:设种子发芽为事件 A,种子成长为幼苗为事件 B(发芽,又成活为幼苗)出芽后的 幼苗成活率为: P(B|A) = 0.8 , P(A) = 0.9. 根据条件概率公式 P(AB) = P(B|A)·P(A) = 0.9×0.8=0.72,即这粒种子能成长为幼苗的概率为 0.72. 答案:0.72 8.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第 18、19、20 层停靠.若该电梯在底层载有 1 5 位乘客, 且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为 , 用 ξ 表示这 5 位乘客在第 20 3 层下电梯的人数,则 P(ξ =4)=________. 解析: 考察一位乘客是否在第 20 层下电梯为一次试验, 这是 5 次独立重复试验, 故ξ ~
k 5-k B?5, ?,即有 P(ξ =k)=Ck ,k=0,1,2,3,4,5. 5? ? ×? ? 3 3 3

? ?

1?

?

?1? ? ?

?2? ? ?

?2?1 10 4?1? 4 故 P(ξ =4)=C5? ? ×? ? = . ?3? ?3? 243
10 答案: 243 9.有一批书共 100 本,其中文科书 40 本,理科书 60 本,按装潢可分精装、平装两种, 精装书 70 本,某人从这 100 本书中任取一书,恰是文科书,放回后再任取 1 本,恰是精装 书,这一事件的概率是________. 解析:设“任取一书是文科书”的事件为 A,“任取一书是精装书”的事件为 B,则 A、

B 是相互独立的事件,所求概率为 P(AB).
40 2 70 7 据题意可知 P(A)= = ,P(B)= = , 100 5 100 10 2 7 7 故 P(AB)=P(A)·P(B)= × = . 5 10 25 答案: 7 25

三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 12 分,共 36 分) 10.在一次数学考试中,第 21 题和第 22 题为选做题.规定每位考生必须且只须在其中 1 选做一题.设 4 名考生选做每一道题的概率均为 . 2 (1)求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率; (2)设这 4 名考生中选做第 22 题的学生个数为 ξ ,求 ξ 的概率分布. 解:(1)设事件 A 表示“甲选做第 21 题”,事件 B 表示“乙选做第 21 题”,则甲、乙 - - 两名学生选做同一道题的事件为“AB+ A B ”,且事件 A、B 相互独立. 故 P(AB+ A

B )=P(A)P(B)+P( A )P( B )

1 1 ? 1? ? 1? 1 = × +?1- ?×?1- ?= . 2? 2 2 2 ? 2? ? (2)随机变量 ξ 的可能取值为 0,1,2,3,4,

? 1? 且 ξ ~B?4, ? ? 2?
1?4-k k?1?4 k?1? k? 则 P(ξ =k)=C4? ? ?1- ? =C4? ? (k=0,1,2,3,4). 2 ? ? ? 2? ?2? 故变量 ξ 的分布列为: ξ 0 1 16 1 1 4 2 3 8 3 1 4 4 1 16

P

11. 下图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位: 吨)的频率分布直方图.

(1)求直方图中 x 的值; (2)若将频率视为概率,从这个城市随机抽取 3 位居民(看作有放回的抽样),求月均用 水量在 3 至 4 吨的居民数 X 的分布列. 解:(1)依题意及频率分布直方图知,0.02+0.1+x+0.37+0.39=1,解得 x=0.12. (2)由题意知,X~B(3,0.1) 因此 P(X=0)=C3×0.9 =0.729,
2 P(X=1)=C1 3×0.1×0.9 =0.243, 2 P(X=2)=C2 3×0.1 ×0.9=0.027, 3 P(X=3)=C3 3×0.1 =0.001. 0 3

故随机变量 X 的分布列为:

X P

0 0.729

1 0.243

2 0.027

3 0.001

12.“石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国民间的古老游戏,其规则是:用三种不 同的手势分别表示石头、 剪刀、 布; 两个玩家同时出示各自手势 1 次记为 1 次游戏, “石头” 胜“剪刀”, “剪刀”胜“布”, “布”胜“石头”; 双方出示的手势相同时, 不分胜负. 现 假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的.

(1)求出在 1 次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率; (2)若玩家甲、乙双方共进行了 3 次游戏,其中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变量 X, 求 X 的分布列. 解:(1)玩家甲、乙双方在 1 次游戏中出示手势的所有可能结果是:(石头、石头);(石 头,剪刀);(石头,布);(剪刀,石头);(剪刀,剪刀);(剪刀,布);(布,石头);(布, 剪刀);(布,布).共有 9 个基本事件,玩家甲胜玩家乙的基本事件分别是:(石头,剪刀); (剪刀,布);(布,石头),共有 3 个. 1 所以在 1 次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率 P= . 3

? 1? (2)X 的可能取值分别为 0,1,2,3.X~B?3, ?,则 ? 3?
3 P(X=0)=C0 , 3·? ? = 3

?2? ? ? ?1? ? ? ?1? ? ? ?1? ? ?

8 27

1 2 P(X=1)=C1 , 3·? ? ·? ? = 3 3

?2? ? ? ?2? ? ?
1 27

12 27 6 27

2 1 P(X=2)=C2 , 3·? ? ·? ? = 3 3

3 P(X=3)=C3 . 3·? ? = 3

X 的分布列如下: X P
0 8 27 1 12 27 2 6 27 3 1 27

1.如图所示的电路,有 a,b,c 三个开关,每个开关开或关的概率都是 1 ,且是相互独立的,则灯泡甲亮的概率为( 2 A. C. 1 8 1 2 B. D. ) 1 4 1 16

解析:选 A 理解事件之间的关系,设“a 闭合”为事件 A,“b 闭合”为事件 B,“c 闭合”为事件 C,则灯亮应为事件 A·C· B ,且 A,C, B 之间彼此独立, 1 且 P(A)=P( B )=P(C)= . 2

1 所以 P(A· B ·C)=P(A)·P( B )·P(C)= . 8 2.将一枚硬币抛掷 6 次,则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________. 解析:由题意知,正面可以出现 6 次,5 次,4 次,所求概率
6 5 6 4 6 P=C6 6? ? +C6? ? +C6? ? = 2 2 2

?1? ? ?

?1? ? ?

?1? ? ?

1+6+15 11 = . 64 32

11 答案: 32 3.某公司是否对某一项目投资, 由甲、 乙、丙三位决策人投票决定, 他们三人都有“同 意”、“中立”、“反对”三类票各一张,投票时,每人必须且只能投一张票,每人投三类 1 票中的任何一类票的概率都为 ,他们的投票相互没有影响,规定:若投票结果中至少有两 3 张“同意”票,则决定对该项目投资;否则,放弃对该项目的投资. (1)求该公司决定对该项目投资的概率; (2)求该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票的概率. 解:(1)该公司决定对该项目投资的概率为
2 3 3 P=C2 . 3? ? · +C3? ? = 3 3

?1? ? ?

2 3

?1? ? ?

7 27

(2)该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票,有以下四种情形:

“同意” 票张数 事件 A 事件 B 事件 C 事件 D 0 1 1 0

“中立”票 张数 0 0 1 1

“反对” 票张数 3 2 1 2

3 1 3 P(A)=C3 ,P(B)=C3? ? = , 3? ? = 3 3

?1? ? ?

1 27

?1? ? ?

1 9

1 3 1 3 P(C)=C1 3C2? ? = ,P(D)=C3? ? = . 3 3

?1? ? ?

2 9

?1? ? ?

1 9

∵A、B、C、D 互斥, 13 ∴P(A+B+C+D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)= . 27


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