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2015年上海市徐汇区高三一模数学试卷(文科含答案)


2014 学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷 高三数学(文科)
一.填空题

2015.1

3 ,则 cos 2? ? ; 5 2. 若实数 x , y 满足 xy ? 4 ,则 x 2 ? 4 y 2 的最小值
1. 已知 sin ? ? ? 3. 设 i 是虚数单位,复数 z 满足 (2 ? i) ? z ? 5 ,

则 | z |? 4. 函数 f ( x) ? x 2 ? 2 ( x ? 0 )的反函数 f ?1 ( x) ? 5. 若抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点与双曲线 x ?
2

; ; ;

y2 ? 1的右焦点重合,则该抛物线的准线方程 3





AD 所成角 6. 若正四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的底面边长为 2,高为 4,则异面直线 BD 1与
的大小是 ; (结果用反三角函数值表示) ;

7. 已知无穷等比数列 {an } 的各项和为 1,则首项 a1 的取值范围为

x ?1 1 8. 若全集 U ? R ,不等式 ; 1 ? 1的解集为 A ,则 CU A ? ?1 x 1 1 * 9. 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? 1 , S n ? ? an ?1 ( n ? N ) ,则 {an } 的通项公 2 2
式为 ;
2 2

10. 已知圆 C : ( x ?1) ? ( y ?1) ? 2 ,方向向量 d ? (1,1) 的直线 l 过点 P(0, 4) ,则圆 C 上 的点到直线 l 的距离的最大值为 ;

11. 如图: 在梯形 ABCD 中,AD ∥ BC 且 AD ?

1 BC ,AC 与 BD 相交于 O , B ? a , 设A 2


AD ? b ,用 a , b 表示 BO ,则 BO ?

12. 已知函数 f ( x) ? 2sin(2 x ?

?
6

) ,将 y ? f ( x) 的图像向左平移 ? ( 0 ? ? ? ? )个单位

后得到函数 y ? g ( x) 的图像,若 y ? g ( x) 的图像上各最高点到点 (0,3) 的距离的最小值 为 1,则 ? 的值为 ; 13. 在平面直角坐标系中,对于函数 y ? f ( x) 的图像上不重合的两点 A , B ,若 A , B 关

于原点对称, 则称点对 ( A, B) 是函数 y ? f ( x) 的一组 “奇点对” (规定 ( A, B) 与 ( B, A) 是

( x ? 0) ? ?x ? 4 ? 相同的“奇点对” ) ,函数 ? 1 2 的“奇点对”的组数是 x ? 2 x ( x ? 0) ? ?2



14. 设 集 合 A ? {( x1 , x2 , x3 , x4 ) | xi ?{?1,0,1}, i ? 1, 2,3, 4} , 则 集 合 A 中 满 足 条 件 “ 1 ?| x1 | ? | x2 | ? | x3 | ? | x4 |? 3 ”的元素个数为 ;

二.选择题 15. 若 1 ? 2i 是关于 x 的实系数一元二次方程 x ? bx ? c ? 0 的一个复数根,则(
2



A. b ? ?2, c ? 3 ; C. b ? ?2, c ? ?1 ;

B. b ? 2, c ? ?1 ; D. b ? 2, c ? 3 ;

16. 已知直线 l 和平面 ? ,无论直线 l 和平面 ? 具有怎样的位置关系,在平面 ? 内总存在一 条直线与直线 l ( A. 相交; ) B. 平行; C. 垂直; D. 异面;

17. 若函数 f ( x) ? loga (x ? b) 的图像如图所示(其中 a , b 为常数) ,则函数 g ( x) ? a x ? b 的大致图像是( )

A.

B.

C.

D.
*

18. 某电商“双十一”期间用电子支付系统进行商品买卖,全部商品共有 n 类( n ? N ) , 分别编号为 1,2,…,n ,买家共有 m 名( m ? N ,m ? n ) ,分别编号为,1,2,…,
*

m ,若 aij ? ?

?1, 第i名买家购买第j类商品 ?0, 第i名买家不购买第j类商品


, 1 ? i ? m , 1 ? j ? n ,则同时购买第 1

类和第 2 类商品的人数是(

A. a11 ? a12 ? ... ? a1m ? a21 ? a22 ? ... ? a2m ; B. a11 ? a21 ? ... ? am1 ? a12 ? a22 ? ... ? am2 ; C. a11a 12 ?a21a22 ? ... ? am1am2 ; D. a11a 21 ?a12a22 ? ... ? a1ma2m ;

三.解答题 19. 已知函数 f ( x ) ? A sin( x ? (1)求 A 的值; (2)若 f (? ) ? f ( ?? ) ?

?
4

) , x ? R ,且 f (

5 3 ?) ? ; 12 2

3 ? 3 , ? ? (0, ) ,求 f ( ? ? ? ) ; 2 2 4

20. 已知函数 f ( x) ? 2x ? k ? 2? x ( k ? R ) ; (1)若函数 f ( x ) 为奇函数,求 k 的值; (2)若函数 f ( x ) 在 ( ??, 2] 上为减函数,求 k 的取值范围;

21. 如图所示,某传动装置由两个陀螺 T1 ,T2 组成,陀螺之间没有滑动,每个陀螺都由具有 公共轴的圆锥和圆柱两个部分构成,每个圆柱的底面半径和高都是相应圆锥底面半径的 且 T1 , T2 的轴相互垂直,它们相接触的直线与 T2 的轴所成角 ? ? arctan 锥的底面半径为 r ( r ? 0 ) ; (1)求陀螺 T2 的体积; (2)当陀螺 T2 转动一圈时,陀螺 T1 中圆锥底面圆周上一点 P 转动到点 P1 ,求 P 与 P1 之间 的距离;

1 , 3

2 ,若陀螺 T2 中圆 3

22. 已知椭圆 ? : ? y ? 1 的右焦点为 F ,左顶点为 R ,点 A(2,1) , B(?2,1) , O 为坐标
2

x2 4

原点; (1)若 P 是椭圆 ? 上任意一点, OP ? mOA ? nOB ,求 m ? n 的值;
2 2

(2)设 Q 是椭圆 ? 上任意一点, S (t , 0) , t ? (2,5) ,求 QS ? QR 的取值范围; ( 3)过 F 作斜率为 k 的直线 l 交椭圆 ? 于 C , D 两点,交 y 轴于点 E ,若 EC ? ?1 CF ,

ED ? ?2 DF ,试探究 ?1 ? ?2 是否为定值,说明理由;
23. 已知有穷数列 {an } 各项均不相等,将 {an } 的项从大到小重新排序后相应的项数构成新 数列 { pn } ,称 { pn } 为 {an } 的“序数列” ,例如数列: a1 , a2 , a3 满足 a1 ? a3 ? a2 ,则其序数

列 { pn } 为 1,3,2;

x2 ? y 2 的序数列并说明理由; 2 (2)求证:有穷数列 {an } 的序数列 { pn } 为等差数列的充要条件是有穷数列 {an } 为单调数
(1)若 x, y ?R ? , x ? y ? 2 且 x ? y ,写出数列:1, xy , 列;
* (3)若项数不少于 5 项的有穷数列 {bn } 、 {cn } 的通项公式分别是 bn ? n ? ( ) ( n ? N ) ,
n

3 5

,且 {bn } 的序数列与 {cn } 的序数列相同,求实数 t 的取值范围; cn ? ?n2 ? tn ( n ? N * )

答案: 一、填空题 1、

7 25

2、 16

3、 5 4、 ? x ? 2 ( x ? ?2) 5、 x ? ?2 6、 arctan 5 8、 [?1, 0] 9、 3
n ?1

7、 (0,1) 13、 2

(1, 2)
14、 64

10、 3 2

11、 ?

2 2 ? a ? b 12、 3 3 6

二、选择题 15、 A 三、解答题 19、(1) 3 ; (2) 16、C 17、D 18、C

30 4

20、(1) k ? ?1 ; (2) k ? 16 21、(1)

29 3 3 3 ?r ; (2) r 54 2 1 (t ? 1)2 , 0] ; ; (2) [? (3)为定值 ?8 2 3

22、(1)

23、 (1)

x2 ? y 2 ? 1 ? xy ,序数列为 3,1,2; 2

(2)略; (3) 4 ? t ? 5 ;


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