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成才之路·人教A版数学选修课件2-3 2.3.2


成才之路 · 数学
人教A版 · 选修2-3

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第二章
随机变量及其分布

第二章

随机变量及其分布

成才之路 · 高

中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3

第二章 2.3 离散型随机变量的均值与方差
2.3.2 离散型随机变量的方差

第二章

随机变量及其分布

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1

自主预习学案

2

典例探究学案

3

巩固提高学案

4

备 选 练 习

第二章

2.3

2.3.2

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自主预习学案

第二章

2.3

2.3.2

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通过实例,理解离散型随机变量方差的概念,会计算简单 离散型随机变量的方差,体会离散型随机变量的方差在实际生 活中的意义和应用,提高数学应用意识,激发学习兴趣.

第二章

2.3

2.3.2

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重点:离散型随机变量方差的概念与计算.

难点:对方差刻画随机变量稳定性的理解与方差的计算.

第二章

2.3

2.3.2

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离散型随机变量的方差 温故知新 回顾复习样本方差(标准差)的定义及应用.
思维导航 1.设一组数据有 3 个 1,2 个 2,1 个 3,若其均值为 E(X), 将其各数据记作 xi(i=1,2,?,6),且 p(xi)=pi,计算其样本方 差S , 并计算 D(X)= ? (xi-E(X))2pi 的值, 比较 S2 与 D(X)的值,
2 i=1 n

你发现了什么?
第二章 2.3 2.3.2

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2.A、B 两台机床加工同一种零件的次品率如下表: A 机床 次品数 X1 P B 机床 次品数 X2 P 0 0.8 1 0.06 2 0.04 3 0.10 0 0.7 1 0.2 2 0.06 3 0.04

计算 E(X1)与 E(X2),能用期望值比较两台机床的产品质量 吗?参照样本方差的定义与应用想一想可以用怎样的统计量来 比较两机床的加工质量.
第二章 2.3 2.3.2

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新知导学

1.随机变量的方差、标准差的定义:
设离散型随机变量的分布列如下表.o X x1 x2 ? xi ? xn

P

p1

p2
n

?

pi

?

pn

2 ( x - E ( X )) i 则____________ 描述了 xi(i=1,2,?,n)相对于均值 E(X)
2 ? x - E ? X ?? pi为这些偏离程度的加权 ? i 的偏离程度,而 D(X)= i =1

平均偏离程度 . 平均, 刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的________________ 我
们称 D(X)为随机变量 X 的方差,其算术平方根 D?X?为随机变

标准差 . 量 X 的__________
第二章 2.3 2.3.2

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数学期望 2.离散型随机变量与样本相比较,随机变量的_________
的含义相当于样本均值,随机变量取各个不同值,相当于各个 概率 相当于各个样 不同样本点,随机变量取各个不同值的 _______ 本点在刻画样本方差时的权重.

3 .随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的取值偏
均值 的平均程度,方差(或标准差 )越小,则随机变量 离于________ 越小 . 偏离于均值的平均程度________

第二章

2.3

2.3.2

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4.方差的性质

a2D(X) . 若 a、b 为常数,则 D(aX+b)=__________
设离散型随机变量 X 的分布列为 X P 分布列为 x1 p1 x2 p2 ? ? xi pi ? ? xn pn

由 Y=aX+b(a,b 为常数)知 Y 也是离散型随机变量.Y 的

第二章

2.3

2.3.2

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Y P

ax1+ ax2+ b p1
n

b p2

? ?

axi+ b pi

? ?

axn+ b pn

由数学期望的线性性质得 E(Y)=aE(X)+b,于是 D(aX+b)=D(Y)= ? (axi+b-E(Y))2pi
i=1

= ? (axi+b-aE(X)-b) pi= ? (axi-aE(X))2pi
2 i=1 i=1

n

n

a ? (xi-E(X))2pi 2D(X) a = i 1 =______________________=__________.
2

n

第二章

2.3

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二项分布的方差 思维导航 3 .依据二项分布列的特征和方差的定义,你能求出二项

分布B(n,p)的方差吗?

第二章

2.3

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新知导学 5.若X服从两点分布B(1,p),则D(X)=__________ p(1-p) .

设随机变量X~B(1,p),则由两点分布随机变量数学期望
的计算公式得 E(X) = p ,于是 D(X) = (0 - p)2(1 - p) + (1 - p)2p = p(1-p)(p+1-p)=p(1-p).

第二章

2.3

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np(1-p) . 6.若X~B(n,p),则D(X)=__________
∵E(X)= ?iCinpi(1-p)n i=np,


n

i =0

i(i-1)Cin=i· (i-1)·

n! i!?n-i?!

n?n-1?· ?n-2?! =i(i-1)· i· ?i-1?· ?i-2?![?n-2?-?i-2?]!
i 2 C =n(n-1)__________. n-2


第二章

2.3

2.3.2

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∴ ?i(i-1)Cinpi(1-p)n
i=0

n

-i

= ?i(i-1)Cinpi(1-p)n
i=2 n

n

-i

2 i-2+2 (n-2)-(i-2) = ?n(n-1)Cin- p (1 - p ) -2 i=2 n-2 i=0

=n(n-1)p2 ?Cin-2pi(1-p)n-2-i =n(n-1)p2.
第二章 2.3 2.3.2

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∴D(X)= ? (i-E(X))2Cinpi(1-p)n
i= 0 n

n

-i

= ? (i2-2npi+(np)2)Cinpi(1-p)n-i
i=0

= ?i
i=0

n

2

Cin pi(1 - p)n - i - 2np

n i i n-i 2 iC n p (1 - p) + (np) C in pi(1- i=0 i=0

?

n

?

p)n

-i

= ?i2Cinpi(1-p)n i-2(np)2+(np)2


n

i=0

= ?i2Cinpi(1-p)n-i-(np)2,
i=0

n

第二章

2.3

2.3.2

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又 ?i2Cinpi(1-p)n-i
i=0

n

= ? (i(i-1)+i)Cinpi(1-p)n
i=0

n

-i

n i i n-i = i(i-1)Cnp (1-p) + iCinpi(1-p)n-i i=0 i=0

?

n

?

=n(n-1)p2+np-(np)2=np-np2=np(1-p). ∴D(X)=np(1-p).

第二章

2.3

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牛刀小试
1 .甲、乙两个运动员射击命中环数 ξ 、 η 的分布列如下 表.其中射击比较稳定的运动员是( 环数k P(ξ=k) 8 0.3 9 0.2 ) 10 0.5

P(η=k)
A.甲 [答案] B [解析] B.乙

0.2

0.4

0.4
D.无法比较

C.一样

E(ξ)=9.2,E(η)=9.2=E(ξ),D(ξ)=0.76,D(η)=

0.56<D(ξ),乙稳定.
第二章 2.3 2.3.2

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2.设随机变量 X 服从二项分布 ( ) 4 A.3 8 C.9
[答案] C

? 1? B?4,3?,则 ? ?

D(X)的值为

8 B.3 1 D.9

[解析]

1 1 8 D(X)=4×3×(1-3)=9.

第二章

2.3

2.3.2

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3.设 X~B(n,p),且 E(X)=12,D(X)=4,则 n 与 p 的值 分别为( ) 2 B.12,3 1 D.12,3 1 A.18,3 2 C.18,3
[答案] C

第二章

2.3

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[解析]

? ?E?X?=12 由? ? ?D?X?=4

? ?np=12, 得? ? ?np?1-p?=4,

2 则 p=3,n=18.

第二章

2.3

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4.(2014· 哈师大附中高二期中)设 ξ 的分布列为 P(ξ=k)=
k 1 k 2 5-k C5( ) ( ) ,(k=0、1、2、3、4、5),则

3 3

D(3ξ)=(

)

A.10 C.15
[答案] A

B.30 D.5

1 [解析] 由 ξ 的分布列知 ξ~B(5,3), 1 1 10 ∴D(ξ)=5×3(1-3)= 9 , ∴D(3ξ)=9D(ξ)=10,故选 A.
第二章 2.3 2.3.2

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5.随机变量 X 的分布列如下表: X P 0 x 1 y 2 z

1 其中 x、y、z 成等差数列,若 E(X)=3,则 D(X)的值是 ________________.

[答案]

2 9

第二章

2.3

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1 [解析] E(X)=0×x+1×y+2×z=y+2z=3, 2 1 又 x+y+z=1,且 2y=x+z,∴x=3,y=3,z=0, 12 2 12 1 12 2 ∴D(X)=(0-3) ×3+(1-3) ×3+(2-3) ×0=9.

第二章

2.3

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典例探究学案

第二章

2.3

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求离散型随机变量的方差、标准差
设 ξ 是一个离散型随机变量,其分布列如表所示: ξ P 试求 E(ξ)、D(ξ). -1 1 2 0 1-2q 1 q2

[分析]

分布列中含有参数 q,依据分布列的性质可确定 q

的值,然后按期望,方差的定义可求E(ξ)、D(ξ).
第二章 2.3 2.3.2

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[解析] 由于离散型随机变量的分布列满足: (1)Pi≥0(i=1,2,?);(2)p1+p2+?=1. ? ?1+?1-2q?+q2=1, ?2 故?0≤1-2q≤1, ? 2 ? q ? ≤1. 故 ξ 的分布列为 ξ P -1 1 2 0 2-1 1 3 2- 2 2 解之得 q=1- 2 .

第二章

2.3

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1 3 ∴E(ξ)=(-1)×2+0×( 2-1)+1×(2- 2)=1- 2, 1 D(ξ)=[-1-(1- 2)] ×2+(1- 2)2×( 2-1)+[1-(1-
2

3 2)] ×(2- 2)= 2-1.
2

第二章

2.3

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[ 方法规律总结 ] 骤:

1. 求离散型随机变量 X 的方差的一般步

第二章

2.3

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2 .(1) 已知分布列求方差,先求期望 E(X) 再代入方差公式 求D(X),计算量大要细致. (2) 分布列中含参数时,要先利用分布列的性质求出参数 值,得出分布列.

(3)特殊分布的方差可直接按相应公式计算.

第二章

2.3

2.3.2

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(2013· 景德镇市高二质检)已知离散型随机变量 X 的分布列 如下表,若 E(X)=0,D(X)=1,则 a=________________,b =________. X P -1 a 0 b 1 c 2 1 12

[答案]

5 1 12 4

第二章

2.3

2.3.2

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[解析] 由期望、方差的定义和条件知, ? ?a+b+c+ 1 =1, 12 ? ? 1 ?-a+c+ =0, 6 ? ? 1 2 2 2 ?-1? · a+1 · c+2 ×12=1. ? ? 5 1 解之得,a=12,b=4.

第二章

2.3

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离散型随机变量的方差的性质
已知随机变量 X 的分布列是 X P 0 0.2 1 0.2 2 0.3 3 0.2 4 0.1

试求 D(X)和 D(2X-1).

[分析]

已知分布列求方差,可先求出均值,再套用公式

计算.求D(2X-1)可利用方差的性质计算.

第二章

2.3

2.3.2

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[ 解析 ]
=1.8.

E(X) = 0×0.2 + 1×0.2 + 2×0.3 + 3×0.2 + 4×0.1

∴D(X)=(0-1.8)2×0.2+(1-1.8)2×0.2+(2-1.8)2×0.3+ (3-1.8)2×0.2+(4-1.8)2×0.1=1.56. 对于D(2X-1),可用两种方法求解.

方法1:2X-1的分布列如下表: 2X-1
P

-1
0.2

1
0.2

3
0.3

5
0.2

7
0.1

第二章

2.3

2.3.2

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∴E(2X-1)=2.6.
∴D(2X - 1) = ( - 1 - 2.6)2×0.2 + (1 - 2.6)2×0.2 + (3 - 2.6)2×0.3+(5-2.6)2×0.2+(7-2.6)2×0.1=6.24. 方法2:利用方差的性质D(aX+b)=a2D(X). ∵D(X)=1.56.

∴D(2X-1)=4D(X)=4×1.56=6.24.
[方法规律总结] D(aX+b)=a2D(X)求. 求随机变量函数Y=aX+b的方差,一是 先求 Y 的分布列,再求其均值,最后求方差;二是应用公式

第二章

2.3

2.3.2

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(1)已知随机变量X满足D(X)=2,则D(3X+2)=( A.2 C.18 别是( ) B.2和2.4 D.6和5.6 B.8 D.20

)

(2) 已知随机变量 X + η = 8 ,若 X ~ B(10,0.6) ,则 Eη 、 Dη 分 A.6和2.4 C.2和5.6

[答案] (1)C (2)B

第二章

2.3

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[解析] (1)D(3X+2)=9D(X)=18. (2)∵X~B(10,0.6), ∴E(X)=10×0.6=6,D(X)=10×0.6×(1-0.6)=2.4, ∴E(η)=8-E(X)=2,D(η)=(-1)2D(X)=2.4.

第二章

2.3

2.3.2

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两点分布与二项分布的方差
已知某运动员投篮命中率 p=0.6. (1)求一次投篮命中次数 X 的期望与方差; (2)求重复 5 次投篮时,命中次数 η 的均值与方差.
[ 分析 ] (1) 投篮一次可能投中,也可能不中,投中次数 X

服从两点分布.

(2)重复五次投篮的投中次数η服从二项分布.

第二章

2.3

2.3.2

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[解析] (1)投篮一次命中次数 X 的分布列为 X P 0 0.4 1 0.6

则 E(X)=0× 0.4+1× 0.6=0.6, D(X)=(0-0.6)2× 0.4+(1-0.6)2× 0.6=0.24. (2)由题意,重复 5 次投篮,命中次数 η 服从二项分布,即 η~B(5,0.6). 由二项分布期望与方差的计算公式,有 E(η)=5× 0.6=3,D(η)=5× 0.6× 0.4=1.2.

第二章

2.3

2.3.2

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[方法规律总结 ] 意以下两点:

求离散型随机变量的期望与方差主要注

(1)写出离散型随机变量的分布列; (2)正确应用均值与方差的公式进行计算.

对于二项分布关键是通过题设环境确定随机变量服从二项
分布,然后直接应用公式计算.

第二章

2.3

2.3.2

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(2014·辽宁理,18)一家面包房根据以往某种面包的销售记

录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示.

第二章

2.3

2.3.2

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将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售 量相互独立. (1) 求在未来连续 3 天里,有连续 2 天的日销售量都不低于 100个且另1天的日销售量低于50个的概率;

(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求
随机变量X的分布列,期望E(X)及方差D(X).

第二章

2.3

2.3.2

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[解析]

(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”,A2表

示事件“日销售量低于50个”,B表示事件“在未来连续3天是 有连续2天日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个”, 因此

P(A1)=(0.006+0.004+0.002)×50=0.6
P(A2)=0.003×50=0.15, P(B)=0.6×0.6×0.15×2=0.108.

第二章

2.3

2.3.2

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(2)X 可能取的值为 0、1、2、3,相应的概率为
3 P(X=0)=C0 · (1 - 0.6) =0.064, 3 2 P(X=1)=C1 · 0.6(1 - 0.6) =0.288. 3 2 P(X=2)=C2 · 0.6 (1-0.6)=0.432. 3 3 P(X=3)=C3 · 0.6 =0.216. 3

分布列为 X P 因为 X~B(3,0.6) 所以期望 E(X)=3×0.6=1.8, 方差 D(X)=3×0.6×(1-0.6)=0.72.
第二章 2.3 2.3.2

0

1

2

3

0.064 0.288 0.432 0.216

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方差的实际应用
A、B 是治疗同一种疾病的两种药,用若干试验 组进行对比实验.每个试验组由 4 只小白鼠组成,其中 2 只服 用 A,另 2 只服用 B,然后观察疗效.若在一个试验组中,服 用 A 有效的小白鼠的只数比服用 B 有效的多,就称该试验组为 2 甲类组.设每只小白鼠服用 A 有效的概率为3,服用 B 有效的 1 概率为2.

第二章

2.3

2.3.2

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(1)求一个试验组为甲类组的概率; (2) 观察 3 个试验组,用 ξ 表示这 3 个试验组中甲类组的个 数,求ξ的分布列和数学期望. [分析] 先弄清楚每个试验组成为甲类组的情况:即服A有

效的个数为2时,服B有效的个数可为0、1两种;当服A有效的
个数为1时,服B有效的个数只能是0个. (2)中,先确定ξ的可能取值,ξ=0、1、2、3,然后分别求 出每个变量对应的概率.

第二章

2.3

2.3.2

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[解析] 设 Ai 表示一个试验组中服用 A 有效个数为 i 的事 件(i=0、1、2),事件 Bi 表示一个试验组中服用 B 有效的个数 为 i 的事件(i=0、1、2). ∴(1)P=P(A2)P(B1)+P(A2)P(B0)+P(A1)P(B0) 4 1 4 1 4 1 4 =9×2+9×4+9×4=9.

第二章

2.3

2.3.2

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(2)∵ξ 的可能取值为:0、1、2、3 且
?5? 125 3 ? ? ∴P(ξ=0)= 9 =729, ? ?

? 4? ξ~B?3,9?, ? ?

4 5 2 100 1 P(ξ=1)=C3× ×? ? = , 9
?9?

? ?

243

5 2 4 2 ? ? P(ξ=2)=C3 × =
?9?

? ?

9

80 243,

?4? 64 3 ? ? P(ξ=3)= 9 =729, ? ?

第二章

2.3

2.3.2

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则 ξ 的分布列为 ξ P 0 125 729 1 100 243 2 80 243 3 64 729

4 4 数学期望 E(ξ)=3×9=3.

第二章

2.3

2.3.2

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[ 方法规律总结 ]

1. 解答离散型随机变量的实际应用问题

时,一要分析题目背景,根据实际情况抽象出概率模型,特别 注意随机变量的取值及其实际意义;二是弄清实际问题是求期 望还是方差,在实际决策问题中,需先计算均值,看一下谁的 平均水平高,然后再计算方差,分析一下谁的水平发挥相对稳

定.因此,在利用均值和方差的意义去分析解决实际问题时,
两者都要分析. 2 .在求分布列时,要注意利用等可能事件、互斥事件, 相互独立事件的概率公式计算概率,并注意结合分布列的性 质,简化概率计算.
第二章 2.3 2.3.2

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(2014·长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安 中学一模)下表是某市11月10日至23日的空气质量指数统计表, 空气质量指数小于 100 表示空气质量优良,空气质量指数大于 200 表示空气重度污染.某人随机选择 11 月 10 日至 11 月 21 日中 的某一天到达该市,并停留3天(包括到达的当天). (1)求此人到达当日空气质量重度污染的概率; (2) 设 X 是此人停留期间空气质量优良的天数,求 X 的分布

列、数学期望与方差;

第二章

2.3

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日期 空气质 量指数 日期 空气质 量指数

10 85 17 85

11 30 18 95

12 56 19 150

13 153 20 124

14 221 21 98

15 220 22 210

16 150 23 179

第二章

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[解析] 设 Ai 表示事件“此人于 11 月 i 日到达该市”(i= 10,11,?,21). 1 根据题意,P(Ai)=12,且 Ai∩Aj=?(i=j) (1)设 B 为事件“此人到达当日空气重度污染”, 则 B=A14 2 1 ∪A15,所以 P(B)=P(A12∪A15)=12=6.

第二章

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(2)由题意可知,X 的所有可能取值为 0,1,2,3, 2 1 P(X=0)=P(A13∪A14)=12=6, P(X=1)=P(A12∪A15∪A18∪A19∪A20∪A21) 6 1 =12=2, 3 1 P(X=2)=P(A11∪A16∪A17)=12=4, 1 P(X=3)=P(A10)=12,

第二章

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所以 X 的分布列为: X P 0 1 6 1 1 2 2 1 4 3 1 12

1 1 1 1 5 ∴X 的期望 E(X)=0×6+1×2+2×4+3×12=4. 52 1 52 1 52 1 52 1 D(X)=(0- 4) ×6+(1- 4 ) ×2+(2- 4 ) ×4+(3- 4 ) ×12 11 =16.

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准确理解随机变量取值的含义 某人有 5 把钥匙,其中只有一把能打开某一扇 门,今任取一把试开,不能打开者除去,求打开此门所需试开 次数 X 的均值和方差.

[错解] 5 把钥匙中只有一把能打开房门, 任取一把打开房 1 1 门的概率为5,故试开次数 X~B(5,5),由二项分布均值与方 1 1 1 4 差的定义知 E(X)=5×5=1,D(X)=5×5×(1-5)=5.
第二章 2.3 2.3.2

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[辨析] 4把钥匙了.

首先这不是五次独立重复试验,从5把钥匙中取一

把试开房门,若不能打开,则除去这把后,第二次试开就只有 其次 X = k 的含义是前 k - 1 把钥匙没有打开房门,而第 k 把

钥匙打开了房门.

第二章

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[正解]

设 X 为打开此门所需的试开次数,则 X 的可能取

值为 1、2、3、4、5. X=k 表示前 k-1 次没打开此门,第 k 次才打开了此门. 1 P(X=1)=5, C1 1 41 P(X=2)=C1· =5, 4 5 C2 1 41 P(X=3)=C2· =5, 3 5 C3 1 41 P(X=4)=C3· =5, 52 C4 1 4 P(X=5)=C4· 1=5, 5
第二章 2.3 2.3.2

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故随机变量 X 的概率分布列为 X P 1 1 5 2 1 5 3 1 5 4 1 5 5 1 5

1 1 1 1 1 E(X)=1×5+2×5+3×5+4×5+5×5=3. 1 1 1 1 2 2 2 D(X)=(1-3) ×5+(2-3) ×5+(3-3) ×5+(4-3) ×5+
2

1 (5-3) ×5
2

1 =5×(22+12+02+12+22)=2.
第二章 2.3 2.3.2

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[警示] (1)弄不清随机变量 X 取值的含义是本题解题的易 错点,X=k 表示前 k-1 把钥匙是从 4 把打不开房门的钥匙中
-1 Ck 1 4 取的,故 P(X=k)= k-1· . C5 5-?k-1?

(2)本题求分布列时,可换一个思维角度思考,把 5 把钥匙 排成一列,能打开房门的钥匙排在任一位置是等可能的,因此 1 排在第 k 个位置的概率为 P(X=k)=5(k=1,2,3,4,5).

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2.3

2.3.2

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巩固提高学案
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备选练习
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