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2012年华约自主招生全真模拟数学试卷(含答案以及详解)


数学 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的。 1. 已 知 P 为 三 角 形 ABC 内 部 任 一 点 ( 不 包 括 边 界 ) 且 满 足 , ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ??? ? ) ( PB ? PA)(PB ? PA ? 2PC) ? 0 ,则△ABC 一定为( A. 直角三角形;B. 等边三角形;C. 等腰直角三角形;D. 等腰三角形 2.圆锥的轴截面 SAB 是边长为 2 的等边三角形,O 为底面中心,M 为 SO 的中点,动点 P 在圆锥底面内(包括圆周) 。若 AM⊥MP,则 P 点 形成的轨迹的长度为______ A.
7

B.

7 2

C. 3

D. 3
2

3.设有一个体积为 54 的正四面体,若以它的四个面的中心为顶点做一个四 面体,则所作四面体的体积为______ A.1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 计算器上有一个特殊的按键,在计算器上显示正整数 n 时按下这个按键, 会等可能的将其替换为 0~n?1 中的任意一个数。如果初始时显示 2011,反 复按这个按键使得最终显示 0,那么这个过程中,9、99、999 都出现的概率 是 A. 5.已知 ? , ? ? R ,直线 B. C. D.
x y x y ? ? 1与 ? ?1 sin ? ? sin ? sin ? ? cos ? cos ? ? sin ? cos ? ? cos ?

的交点在直线 y ? ? x 上,则 sin ? ? cos ? ? sin ? ? cos ? ? A.0 B.1. C-1 6.设 f ( x) ?
1 1 1 ? ? lg x lg x 1? 2 1? 4 1 ? 8lg x
4 4

。 D.2 D4

,则 f ( x) ? f ( ) ? _________ 。 C3
??

1 x

A1 B2 1 7. 已知 cos 4? ? ,则 sin ? ? cos
5



A 4/5 B 3/5 C1 D -4/5 8. 顶点在同一球面上的正四棱柱 ABCD ? A?B?C ?D? 中,AB ? 1,AA? ? 2 , A,C 两 则 点间的球面距离为( ) A.
? ?

B.
1 ? x? y

? ?

C.

2 ? 4

D.

2 ? 2

9. 在 平 面 直 角 坐 标 系 内 , 将 适 合 x ? y, x ? 3, y ? 3, 且 使 关 于 t 的 方 程
2 ( x3 ? y 3 ) t 4? ( 3x y ) t ? ?

0 没有实数根的点 ( x, y ) 所成的集合记为 N,则由点集

N 所成区域的面积为 A 81/4

。 B 83/4

C 81/5

D 83/5

10. 已知椭圆 x A

2

4

?

y2 ? 1 的左、右焦点分别为 3

F1、F2,过椭圆的右焦点作一条 . D

直线 l 交椭圆于点 P、Q,则△F1PQ 内切圆面积的最大值是 B C

二、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 一.设 f ( x) ? x2 ? bx ? c(b, c ?R) .若 x ≥ 2 时, f ( x) ≥ 0 ,且 f ( x) 在区间 ? 2,3? 上的最大 值为 1,求 b ? c 的最大值和最小值.
2 2

二、已知椭圆 C:

x2 y 2 ,其离心率为 4 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 ) 2 5 a b

,两准线之间的距离为 25 。 (1)
2

求 a , b 之值; (2) 设点 A 坐标为(6, 0), 为椭圆 C 上的动点, A 为直角顶点, B 以 作等腰直角△ABP (字母 A,B,P 按顺 时针方向排列) ,求 P 点的轨迹方程。

三.(本小题满分 25 分)已知数列{an}中的相邻两项 a2k-1,a2k 是关于 x 的方程 x2-(3k+2k)x+3k× k =0 的两个根. 2 (1)求数列{an}的前 2n 项和 S2n. (2)记 f(n)= 1 ( | sin n | +3) n=(-1) +(-1) +(-1) +…+( - 1) ,T
2
sin n
a1 a 2 a3 a 4 a5 a6
f ( 2) f (3) f ( 4) f ( n ?1)

a 2 n ?1 a 2 n

,求证:

1 6

≤Tn≤

5 (n∈N+) 24

四、 已知椭圆

x2 y2 ? ?1 a2 b2

过定点 A (1, , 0) 且焦点在 x 轴上, 椭圆与曲线 y ? x
2 ? e2 ? 1 3

的交点为 B、C。现有以 A 为焦点,过 B,C 且开口向左的抛物线,其顶点坐 标为 M(m,0) ,当椭圆的离心率满足 时,求实数 m 的取值范围。
1 3

五、已知从“神八”飞船带回的某种植物种子每粒成功发芽的概率都为 ,某 植物研究所进行该种子的发芽实验,每次实验种一料种子,每次实验结果 相互独立。假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的,如果种子没有 发芽,则称该次实验是失败的。若该研究所共进行四次实验,设 ? 表示四 次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对值 (1)求随机变量 ? 的数学期望 E ? ; (2)记“关于 x 的不等式 ?x 2 ? ?x ? 1 ? 0 的解集是实数集 R”为事件 A,求事 件 A 发生的概率 P(A) 。

2012 年高水平大学自主选拔学业能力测试 全真模拟 数学 答案及详解 ? ? ? ? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ??? ??? ??? ? 1 . 解 : 因 为 PB ? PA ? AB, PB ? PA ? 2PC ? CB ? CA , 所 以 已 知 条 件 可 改 写 为 ???? ??? ??? ? ? 因此 选 D。 AB? ( CB? CA ? 0。容易得到此三角形为等腰三角形。 ) 2. 解:建立空间直角坐标系。设 A(0,-1,0), B(0,1,0), S (0,0, P(x,y,0). 于 是 有
3) , M (0, 0,
3 ), 2

? ? ? ?? 3 ? ? ? ?3 由 A M ( 0 , 1 , M ) P, ? ? x ? (y , , 于 AM ⊥ MP , 所 以 ) . 2 2 3 3 3 (0,1, ) ? ( x, y, ? ) ? 0 ,即 y ? ,此为 P 点形成的轨迹方程,其在底面圆盘内 4 2 2 3 7 的长度为 2 1 ? ( )2 ? 。 因此 选 B。 4 2

3. B 4.. 答:
1 106

若计算器上显示 n 的时候按下按键, 因此时共有 1~n?1 共 n 种选择, 所以 产生给定的数 m 的概率是 1 。 如果计算器上的数在变化过程中除了 2011, 999,
n

99,9 和 0 以外,还产生了 a1, a2 ,?, an ,则概率为 所以所求概率为
p?? 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ? 2011 a1 a2 an 999 99 9 1 ? ? 1 ? ? ? 2 0? 1? 0 1 ? ? ? 2?0 1 ? 1 ? ? 0 ?9

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ?? ? ? ? ? , 2011 a1 a2 an 999 99 9

?

1 ? ?1 ? 2 0 1?1

1 ? ? 1 ? ? ?1 ? ? ? ? ? 1 ? 000 ? 999 ?

998

1 ? 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ? 1? ? ?1 ? ? ? ? ?1 ? ???1 ? ? ? ? ?1 ? ???1 ? 1? ? 100 ? 99 ? 98 ? ? 10 ? 9 ? 8 ?

注意到
1? 1 ? 1 ?? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? ?1 ? ??1 ? ?? ? 1 ? ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ???1 ? 1? 2011 ? 2010 ?? 2009 ? ? 1000 ? ? 999 ? ? 998 ?
1 1 1 1 ? ? ? 1000 100 10 106

两式相除即得 p ?



5.解:由已知可知,可设两直线的交点为 ( x0 , ? x0 ) ,且 sin ? , cos ? 为方程

x0 ? x0 ? ? 1, t ? sin ? t ? cos ?

的两个根,即为方程
t 2 ? (cos ? ? sin ? )t ? sin ? cos ? ? x0 (cos ? ? sin ? ) ? 0

的两个根。因此
sin ? ? cos ? ? ?(sin ? ? cos ? ) ,

即 sin ? ? cos ? ? sin ? ? cos ? ? 0。 6.解: f ( x) ? f ( ) ? 7.
4 5

1 x

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? 3。 lg x lg x lg x ? lg x ? lg x 1? 2 1? 4 1? 8 1? 2 1? 4 1 ? 8? lg x

8. B 9. 答: 81
5

令 u ? t 2 ,原方程化为 ( x3 ? y3 )u 2 ? (3x ? y)u ?
? ? (3x ? y)2 ? 4( x3 ? y 3 ) ? 1 x? y

1 ? 0. x? y



? 5 x 2 ? 2 xy ? 3 y 2 ? (5 x ? 3 y)( x ? y).

所给方程没有实根等价于方程①无实根或有实根但均为负根,所以,
? x ? y, ? x ? y, ? ? ? x ? 3, ? x ? 3, 或 ? y ? 3, ? ? ?(5 x ? 3 y )( x ? y ) ? 0, ? y ? 3, ? ?(5 x ? 3 y )( x ? y ) ? 0 ? ?3 x ? y ? 0. ?

点集 N 所成区域为图中阴影部
S ? S?ABO ? S?BCO 1 24 1 81 ? ? ?3 ? ? 6?3 ? . 2 5 2 5
9 10. 答: ? 16

分,其面积为

因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的 2 倍,且△F1PQ

的周长是定值 8, 所以只需求出△F1PQ 面积的最大值。 设直线 l 方程为 x ? my ? 1 , 与椭圆方程联立得 ? 3m2 ? 4 ? y 2 ? 6my ? 9 ? 0 ,设 P ? x1, y1 ? ,Q ? x2 , y2 ? ,则 y1 ? y2 ? ?
y1 y2 ? ? 9 3m 2 ? 4 6m 3m 2 ? 4



,于是 S?F PQ ? 1 F1F2 ? y1 ? y2
1

2

?

? y1 ? y2 ?2 ? 4 y1 y2 ? 12
1 1 ? 6 16 ?

m2 ? 1

?

3m2 ? 4

?

2



因为
2S?F1PQ 8

m2 ? 1

?

3m2 ? 4

?

2

?

1 9m2 ? 15 ? 1 2 m ?1

?

9m2 ? 9 ?

1 2 m ?1

,所以内切圆半径

r?

?

3 ,因此其面积最大值是 9 ? 4 16



二、解答题 一. 解:由题意函数图象为开口向上的抛物线,且 f ( x) 在区间 ? 2,3? 上的最大 值只能在闭端点取得, 故有 f (2) ≤ f (3) ? 1,从而 b ≥ ?5 且 c ? ?3b ? 8 . 若 f ( x) ? 0 有实根,则 ? ? b
2

? 4c ≥ 0 ,

? ? f ( ?2) ≥ 0, ? 4 ? 2b ? c ≥ 0, ? 在区间 ??2,2? 有 ? f (2) ≥ 0, 即 ?4 ? 2b ? c ≥ 0, 消去 ? ? ? ?4 ≤ b ≤ 4, b ? ? ?2 ≤ ≤ 2, ? 2

4 ? ?b ≤ ? 5 , ? c,解出 ?b ≤ ?4, ? ?4 ≤ b ≤ 4, ? ?

即 b ? ?4 ,这时 c ? 4 ,且 ? ? 0 . 若 f ( x) ? 0 无实根,则 ? ? b 综上 ?5 ≤ b ≤ ?4 . 所以 b2 ? c2 ? b2 ? (?3b ? 8)2 ? 10b2 ? 48b ? 64 ,单调递减 故 (b2 ? c2 )min ? 32,(b2 ? c2 )max ? 74 . 注重分类讨论 二、 解: (1)设 c 为椭圆的焦半径,则
c 4 a 2 25 ? , ? 。 a 5 c 4
2

? 4c ? 0 ,将 c ? ?3b ? 8 代入解得 ?8 ? b ? ?4 .

于是有 a=5,b=3。

(2) 解法一:设 B 点坐标为 (s, t ) ,P 点坐标为 ( x, y ) 。于是有
??? ? ??? ? AB ? s ? 6,t), AP ? ( x ? 6,y)。 (

因为 AB ? AP ,所以有
(s ? 6,t)x ? 6,y) ? (s ? 6)( x ? 6) ? ty ? 0 。 (

??? ?

??? ?

(A1 )

又因为 ABP 为等腰直角三角形,所以有 AB=AP,即
2 2 (s ? 6) ? t 2 ? (x ? 6) ? y 2



(A2 )

由(A1)推出 s ? 6 ? ?

ty t 2 y2 ,代入(A2) ,得 ? ( s ? 6)2 ? x?6 ( x ? 6)2
2 t 2 ? x ? 6) (

2 从而有 y 2 ? s ? 6),即 s ? 6 ? y (不合题意,舍去)或 s ? 6 ? y 。 (

代入椭圆方程,即得动点 P 的轨迹方程
2 2 (x ? 6) (y ? 6) ? ? 1。 9 25

解法二: 设 B( x1 , y1 ) , P( x, y), AB ? r ,则以 A 为圆心,r 为半径的圆的参数方程 为
? x ? 6 ? r cos ? 。 ? ? y ? r sin ?

设 AB 与 x 轴正方向夹角为 ? ,B 点的参数表示为
? x1 ? 6 ? r cos ? , ? ? y1 ? r sin ?

P 点的参数表示为
? x ? 6 ? r cos(900 ? ? ) ? x ? 6 ? r sin ? ? ,即 ? . ? 0 ? y ? r sin(90 ? ? ) ? y ? ?r cos ? ?

从上面两式,得到
? x1 ? 6 ? y 。 ? ? y1 ? x ? 6

又由于 B 点在椭圆上,可得

( x ? 6)2 ( y ? 6)2 ? ?1。 9 25

此即为 P 点的轨迹方程。 三.(I)解:方程 x2 ? (3k ? 2k ) x ? 3k ?2k ? 0 的两个根为
x1 ? 3k ,x2 ? 2k ,

????????????

(5 分)
S2n ? a1 ? a2 ? ? ? a2n ? (3 ? 6 ? ? ? 3n) ? (2 ? 22 ? ?? 2n )

?

3n2 ? 3n n?1 ?2 ?2. 2

????????????

(10 分)
f ( n ?1) (Ⅱ) 证明: Tn ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? (?1) ,

a1a2

a3a4

a5a6

a2 n?1a2 n

所以 T1 ?

1 1 5 1 1 . ? ,T2 ? ? ? a1a2 a3a4 24 a1a2 6

???????????? (15 分)

当 n≥ 3 时,
1 1 ? 1 1 ? 1 1 1 (?1) f ( n?1) Tn ? ? ? ??? ≥ ? ?? ??? ? 6 a3a4 a5a6 a2 n?1a2 n 6 a3a4 ? a5a6 a2 n?1a2 n ?
1 1 1 1 1? 1 1 ? 1 ? , ≥ ? ? ? 3 ??? n ? ? ? n 2 6 6 6?2 6 ? 2 2 ? 6 6?2

????????????(20 分)

f ( n ?1) ? 1 5 1 1 ? 同时, Tn ? 5 ? 1 ? 1 ? ? ? (?1) ≤ ? ?? ?? ? ? 24 a5a6 a7 a8 a2 n?1a2 n 24 a5 a6 ? a7 a8 a2 n?1a2 n ?



1 5 5 1 1? 1 1? 5 ? ? . ? ? ? 1 ??? n ? ? n 3 24 24 9?2 9 ? 2 2 ? 24 9?2 1 5 ≤ Tn ≤ . 6 24

综上, n ? N? 时, 当 分)

???????????? (25

四、解:椭圆过定点 A(1,0) ,则 a ? 1 , c ? 1 ? b 2 , e ? 1 ? b 2 ,

∵ 2 ? e2
3

? 1 ,∴ 0 ? b ?

3 3



由对称性知,所求抛物线只要过椭圆与射线 y ? x ( x ? 0) 的交点,就必过椭 圆与射线 y ? ? x ( x ? 0) 的交点。 联立方程
? y ? x ( x ? 0) ? ? 2 y2 ?x ? 2 ? 1 b ?

,解得 x ? y ?

b 1 ? b2



∵0 ? b ?

3 3

,∴ 0 ? x ? 1 。
2

设抛物线方程为: y 2 ? ?2 p( x ? m) , p ? 0 , m ? 1 。 又 ∵ 把 令
p ? m ?1, 2 1 y ? x ,0 ? x ? 2



y 2 ? (1 ? m)(x ? m)


2

代入①得 x 2 ? 4(m ? 1) x ? 4m(m ? 1) ? 0 , m ? 1 , 0 ? x ? 1 。

1 f ( x) ? x 2 ? 4(m ? 1) x ? 4m(m ? 1) , m ? 1 , 0 ? x ? , 2



? 1? f (x) 在 ? 0 , ? 内有根且单调递增, ? 2?

? f (0) ? ?4m(m ? 1) ? 0 ?m ? 1 或 m ? 0 ? ? ∴? ?1? 1 ? ?3 ? 2 3? 2 〈m 〈 ? f ? 2 ? ? 4 ? 2(m ? 1) ? 4m(m ? 1) ? 0 ? 4 ? 4 ? ? ?

综上得: 1 ? m ? 3 ?

2

4



五、 (1)由题意知L ? 的可能取值为 0,2,4
? “? ? 0” 指的是实验成功

2 次,失败 2 次.

1 24 2 1 ? P(? ? 0) ? C 4 ( ) 3 (1 ? ) 2 ? 3 3 81
“? ? 2” 指的是实验成功

3 次,失败 1 次或实验成功 1 次,失败 3 次.

1 1 40 3 1 1 1 ? P(? ? 2) ? C 4 ( ) 3 (1 ? ) ? C 4 ( )(1 ? ) 3 ? 3 3 3 3 81
“? ? 4” 指的是实验成功

4 次,失败 0 次或实验成功 0 次,失败 4 次.

1 17 4 1 0 ? P(? ? 4) ? C 4 ( ) 4 ? C 4 (1 ? ) 4 ? 3 3 81 24 40 17 148 ? E? ? 0 ? ? 2? ? 4? ? 81 81 81 81

故随机变量 ? 的数学期望为 148 .
81

(2)由题意知: “不等式 ?x 2 ? ?x ? 1 ? 0 的解集是实数 R”为事件 A. 当? 当?
? 0 时,不等式化为

1>0,其解集是 R,说明事件 A 发生;

? 2 时,不等式化为 2 x 2 ? 2 x ? 1 ? 0

? ? ? ?4 ? 0 ,所以解集是

R,说明事件 A 发生;
1? ?, 2?

当?

? ? 4 时,不等式化为 4x 2 ? 4x ? 1 ? 0 ? (2x ? 1) 2 ? 0 其解集 ? x x ? R x ? ?

说明事件 A 不发生. ∴ P( A) ? P(?
? 0) ? P(? ? 2) ? 24 40 64 ? ? 81 81 81


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