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三角函数的诱导公式(人教A版必修四)


温故而知新 1、任意角的三角函数的定义 α 的终边 sin ? ? y cos ? ? x P(x,y) y tan ? ? ( x ? 0) x 2、诱导公式一 y

O

x

sin(2k? ? ? ) ? sin ? 角函数值,转化为求0到2? cos(2k? ? ? ) ? cos ? tan(2k? ? ?

) ? tan ? (k ? Z ) 角的三角函数值。

作用:可以把任意角的三

练习:求下列三角函数值

11 (1) sin( ? ? ) 6

(2)cos585

0

11? ? ? 1 解:(1)sin() ? sin(?2? ? ) ? sin ? 6 6 6 2

(2)cos585 ? cos(360 ? 225 ) ? cos 225 =?
0 ? 0

?

知识探究(一)
角π +α 的终边与角α 的终边有什么关系?它们的 三角函数值之间有什么关系? y α 的终边

公式二:
sin( ? ? ? ) ? ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos ? tan( ? ? ? ) ? tan ?

P(x,y)

o

x
Q(-x,-y)

π+α 的终边

知识探究(二)
对于任意给定的一个角α ,-α 的终边与α 的终边 有什么关系? 那么它们之间的三角函
α的终边

y

数值有什么关系?

公式三:
P(x,y)

o
Q(x,-y) -α的终边

x

sin( ?? ) ? ? sin ? cos( ?? ) ? cos ? tan( ?? ) ? ? tan ?

知识探究(三) 你能推导出角π-α与角α之间的三角函数值吗? 公式四:
sin( ? ? ? ) ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos ? tan( ? ? ? ) ? ? tan ?
y

π-α 的终边
Q(-x,y)
o

α 的终边 p(x,y)

x

公式一:

公式二:
sin( ? ? ? ) ? ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos ? tan( ? ? ? ) ? tan ?

sin(? ? 2k? ) ? sin ? cos(? ? 2k? ) ? cos ? tan( ? ? 2k? ) ? tan ?

公式三: 函数名不变,符号看象限 公式四: sin( ? ? ? ) ? sin ? sin( ?? ) ? ? sin ?

cos( ?? ) ? cos ? tan( ?? ) ? ? tan ?

cos(? ? ? ) ? ? cos ? tan( ? ? ? ) ? ? tan ?

数值的符号。

? 的同名函数值,前面加上一个把 ? 看成锐角时原函

? ? 2k? (k ? Z)、 ? ?、 ? ? ? 的三角函数值,等于

例题1:求下列三角函数值

(1)cos 225

?

11? (2)sin 3

16 (3) sin( ? ? ) 3

(4) cos(?20400 )

例题2 化简求值: ? ? cos190 ? sin (?210 ) (1)cos(-350? ) ? tan585 ?

cos(180 ? ? ? ) ? sin( ? ? 360? ) (2 ) . ? ? sian(- ? - 180 ) ? cos(-180 - ? )
练习二:

化简:
7? 25? 25? (1) sin 6 ? cos 3 ? tan(? 4 )

(2) sin3 (?? )cos(2? ? ? ) tan(?? ? ? )

利用诱导公式一~四,可以把任意角的三角 函数转化为锐角三角函数,一般可按下面步骤进 行:
用公式一 任意正角的 任意负角的 三角函数 三角函数 或公式三

用公式一 锐角的三角 函数 用公式二 或公式四 0~2π 的角 的三角函数

这是一种化归与转化的数学思想.

知识探究:

?
2

? ? 的诱导公式

问题1:若α为一个任意给定的角,那么 的终边与角α的终边有什么对称关系?
y
?
2 ?? 的终边

?
2

??

α的终边
O

x

知识探究:

?
2

? ? 的诱导公式

问题2:根据三角函数的定义,你能获得哪些结论?

公式五:
sin(

?
2

? ? ) ? cos? ? ? ) ? sin ?

y

?
2

?? 的终边
P2(y,x)

cos(

?
2

α的终边 O
P1(x,y)

x

知识探究: 2 ? ? 的诱导公式
2

?

? ? ? ? ?? 问题3: 与 有什么内在联系?

?
2

2

?? ? ? ? (

?
2

??)
?
2 ? ?, )
cos(

问题4:根据相关诱导公式推导,sin(
分别等于什么?

?
2

??)

公式六:

? sin( ? ? ) ? cos? 2 ? cos( ? ? ) ? ? sin ? 2

公式五:
sin(

公式六:
sin(

?
2

? ? ) ? cos? ? ? ) ? sin ?

?

cos(

?
2

2

? ? ) ? cos? ? ? ) ? ? sin ?

cos(

?
2

? ? ? 的正弦(余弦)函数值,分别等于 ? 的余 2
弦(正弦)函数值,前面加上一个把

? 看成锐角时原

函数值的符号。 函数名改变,符号看象限

例3

3? 证明: (1) si n ( ? ? ) ? ? cos? 2 3? ( 2) cos( ? ? ) ? ? si n? 2

例4:化简

11? sin(2? - ? )cos(? ? ? )cos( ? ? )cos( -? ) 2 2 9? cos(? - ? )sin(3? - ? )sin(-? - ? )sin( ? ? ) 2

?


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