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2013年浦东新区高三数学一模(理科)试卷


浦东新区 2013 年高考预测数学试卷(理科)
注意:1. 答卷前,考生务必在答题纸上指定位置将姓名、学校、考号填写清楚. 2. 本试卷共有 23 道试题,满分 150 分,考试时间 120 分钟.

一、填空题(本大题满分 56 分,每小题 4 分) ;本大题共有 14 小题,考生应在答题纸相应编号的空格内
直接填写结果,每个空格填对得

4 分,否则一律得零分. (理)1.已知复数 z 满足 i ? z ? 1 ? i (其中 i 为虚数单位) ,则 z = 2.已知集合 A= ??2,1, 2? ,B= . .

?

a ? 1, a ,且 B ? A ,则实数 a 的值是

?

3.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 3 : 4 : 3 ,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的 学生中抽取容量为 50 的样本,则应从高二年级抽取 名学生.

4.函数 f ( x) ? 1 ? log 2 x 与 y ? g (x) 的图像关于直线 y ? x 对称,则 g (3) ?

.

2x
5.把三阶行列式 x

0 4

3 0 中第 1 行第 3 列元素的代数余子式记为 f (x) ,则关于 x 的不等式

1
f ( x) ? 0 的解集为

x ? 3 ?1
.

6. 若双曲线的渐近线方程为 y ? ?3x , 它的一个焦点是 ( 10 ,0) , 则双曲线的标准方程是______________.

7.若直线 3x ? 4 y ? m ? 0 与圆 C : ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 1 有公共点,则实数 m 的取值范围是
2 2

.

8 . 记 直 线 l n : nx ? (n ? 1) y ? 1 ? 0 ( n ? N ) 与 坐 标 轴 所 围 成 的 直 角 三 角 形 的 面 积 为 S n , 则
*
n ??

lim ( S1 ? S 2 ? S3 ? ? ? S n ) ?

.

9. ?ABC 中, A、 C 所对的边分别为 a 、b 、c , a 在 角 B、 若
5 2 3

1 ? 2, b ? c ? 7, cos B ? ? , b ? 则 4
4 5

.

(理) 若等式 x ? a0 ? a1 (1 ? x) ? a2 (1 ? x) ? a3 (1 ? x) ? a4 (1 ? x) ? a5 (1 ? x) 对一切 x ? R 都成立, 10. 其中 a0 , a1 , a2 ,?, a5 为实常数,则 a 4 = 11.方程 x cos x ? 0 在区间 ?? 3,6? 上解的个数为 . .

(理)12.某人从标有 1、2、3、4 的四张卡片中任意抽取两张.约定如下:如果出现两个偶数或两个奇数, 就将两数相加的和记为 ? ;如果出现一奇一偶,则将它们的差的绝对值记为 ? ,则随机变量 ? 的数学 期望为 .

1

13. 如果 M 是函数 y ? f (x) 图像上的点,N 是函数 y ? g (x) 图像上的点, M , N 两点之间的距离 MN 能 且 取到最小值 d ,那么将 d 称为函数 y ? f (x) 与 y ? g (x) 之间的距离.按这个定义,函数(理)

f ( x) ? x (理、文)和 g ( x) ? ? x 2 ? 4 x ? 3 之间的距离是____________.

14.数列 {a n } 满足 a n ?1 ?

4a n ? 2 ? (n? N ) . an ? 1

①存在 a 1 可以生成的数列 {a n } 是常数数列; ②“数列 {a n } 中存在某一项 a k ?

49 ”是“数列 {a n } 为有穷数列”的充要条件; 65

③若 {an } 为单调递增数列,则 a1 的取值范围是 (??,?1) ? (1,2) ; ④只要 a1 ?

3k ? 2k ?1 ? ,其中 k ? N ,则 lim an 一定存在; n?? 3k ? 2k
.

其中正确命题的序号为

二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分) 每小题都给出四个选项,其中有且只有一个选项是正确的, ; 选对得 5 分,否则一律得零分. 15. “a=1”是“直线 l1:ax+2y-1=0 与直线 l2:x+(a+1)y+4=0 平行”的( )

(A) 充分不必要条件 (C ) 充分必要条件

(B) 必要不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件


16.已知 a ? 3, b ? 4, (a ? b) ? (a ? 3b) ? 33, 则 a 与 b 的夹角为(

(A)

? 6

(B)

? 3

(C )

2? 3

(D)

5? 6

?m 1 ? x 2 , x ? ?? 1,1? x ? (理) 17. 已知以 4 为周期的函数 f ( x ) ? ? , 其中 m ? 0 .若方程 f ( x) ? 恰 ?x 3 , x ? ?1,3? ?? cos 2 ?
有 5 个实数解,则 m 的取值范围为( )

(A) (

15 8 , ) 3 3

(B) (

15 , 7) 3

? 4 8? (C ) ? , ? ? 3 3?

4 (D) ( , 7) 3

2

18.从集合 ? ,2,3,4,?,2013?中任取 3 个元素组成一个集合 A ,记 A 中所有元素之和被 3 除余数为 i 的概 1 率为 Pi (0 ? i ? 2) ,则 P0 , P , P2 的大小关系为( 1 )

( A) P0 ? P ? P2 1 (C ) P0 ? P ? P2 1

( B) P0 ? P ? P2 1 ( D) P0 ? P ? P2 1

三、解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分) ;解答下列各题必须写出必要的步骤.
19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 6 分. 如图, 已知正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的底面边长是 2 , 体积是 16 ,M , N 分别是棱 BB1 、 B1C1 的中点. (理) (1)求直线 MN 与平面 ACC1 A1 所成的角(结果用反三角函数表示); (2) 求过 A1 , B, C1 的平面与该正四棱柱所截得的多面体 AC1D1 ? ABCD 的体积. 1
M D C A A1 D1 N C1 B1

B

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 5 分,第(2)小题满分 9 分. 已知向量 m ? ?1,1? , 向量 n 与向量 m 的夹角为 (1)求向量 n ; (2)若向量 n 与 q ? (1, 0) 共线,向量 p ? ? 2cos

??

?

??

?

?? ? 3? ,且 m ? n ? ?1 . 4

?

?

? ?

? ? ? C 依次成等差数列,求 n ? p 的取值范围.

? ?

2

C ? ,cos A ? ,其中 A 、 C 为 ?ABC 的内角,且 A 、 B 、 2 ?

3

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 8 分. 设函数 f ( x) ? ( x ? a) | x | ?b (1)当 a ? 2, b ? 3 ,画出函数 f ( x) 的图像,并求出函数 y ? f ( x) 的零点; (2)设 b ? ?2 ,且对任意(理) x ?[?1,1] , (理、文) f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围.

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分,第(3)小题 满分 6 分. 已知直角 ?ABC 的三边长 a, b, c ,满足 a ? b ? c (1)在 a, b 之间插入 2011 个数,使这 2013 个数构成以 a 为首项的等差数列 ?an ? ,且它们的和为 2013 , 求 c 的最小值; (2)已知 a, b, c 均为正整数,且 a, b, c 成等差数列,将满足条件的三角形的面积从小到大排成一列

S1 , S2 , S3 ,?, Sn ,且 Tn ? ? S1 ? S2 ? S3 ? ? ? (?1) n Sn ,求(理)满足不等式 T2 n ? 6 ? 2n ?1 的所有 n
的值;

c a (3) (理、文)已知 a, b, c 成等比数列,若数列 ? X n ? 满足 5 X n ? ? ? ? ? ? ? (n ? N ? ) ,证明:数列 ? ? ? ? ?a? ? c?

n

n

?

(理)且 X n 是正整数. X n 中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形,

?

4

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分,第(3)小题 满分 8 分.

x2 y2 9 y2 2 (1)设椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1 与双曲线 C2 : 9 x ? ? 1 有相同的焦点 F、F2 , M 是椭圆 C1 与双 1 8 a b 曲线 C2 的公共点,且 ?MF1F2 的周长为 6 ,求椭圆 C1 的方程;
我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”. (2)如图,已知“盾圆 D ”的方程为 y ? ?
2

F ? 1, 0 ? 的距离为 d1 , M 到直线 l : x ? 3 的距离为 d 2 ,求证: d1 ? d2 为定值;
(3)由抛物线弧 E1 : y ? 4 x ( 0 ? x ?
2

(0 ? x ? 3) ? 4x .设“盾圆 D ”上的任意一点 M 到 ? ? 12 ( x ? 4) (3 ? x ? 4)

x2 y2 2 2 )与第(1)小题椭圆弧 E2 : 2 ? 2 ? 1 ( ? x ? a )所 3 3 a b 合成的封闭曲线为 “盾圆 E ” (理) . 设过点 F ? 1, 0 ? 的直线与 “盾圆 E ” 交于 A、B 两点, FA |? r1 , |
,试用 cos? 表示 r1 ;并求 | FB |? r2 且 ?AFx ? ? ( 0 ? ? ? ? )

r1 的取值范围. r2
y

o

3

x

5


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