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运用导数求切线方程


学校 授课日期:

高二年级 月 日

学科文科数学 导学案 姓名:

编制人:

审核人: 编号:第 周 号

班级:

【学习目标】 1、会应用导数的概念,公式及运算律解决问题 2、会利用导数求切线方程 【学习重难点】重点:导数的概念、公式及运算法则.求曲线

的切线方程。 难点:经过曲线外一点求切线方程 【学习过程】【基础知识梳理】 : (1).函数的平均变化率 一般地,已知函数 y=f(x),x0、x1 是定义域内不同的两点,记 Δx=x1-x0,Δy=y1 f?x0+Δx?-f?x0? -y0=f(x1)-f(x0)=f(x0+Δx)-f(x0),则当 Δx≠0 时,商 =______.称为函 Δx 数 y=f(x)从 x0 到 x1 的平均变化率.2.(1)平均速度 设物体运动路程与时间的关系是 s=f(t),在 t0 到 t0+Δt 这段时间内,物体运动的平 f?t0+Δt?-f?t0? 均速度是 v0= =___. Δt (2)瞬时速度 设物体运动路程与时间的关系是 s=f(t),当 Δt 趋近于 0 时,函数 f(t)在 t0 到 t0+Δt Δs f?t0+Δt?-f?t0? 这段时间内的平均变化率 = 趋近于常数,我们把这个常数称为 t0 时刻的 Δt Δt 瞬时速度. (3).导数 设函数 y=f(x)在 x0 处及其附近有定义, 当自变量在 x=x0 附近改变量为 Δx 时, 函数 值相应地改变量 Δy=f(x0 +Δx)-f(x0).如果当 Δx 趋近于 0 时,平均变化率 Δy = Δx

f?x0+Δx?-f?x0? 趋近于一个常数 l,那么常数 l 称为函数 f(x)在点 x0 处的瞬时变化率.函 Δx 数在点 x0 处的瞬时变化率通常称为 f(x)在 x=x0 处的导数, 又称函数 f(x)在 x=x0 处可导. f?x+Δx?-f?x? Δy 一般地,函数 y=f(x)的导数 f ′(x)=li m =li m . Δx Δx Δx→0 Δx→0 如果 f(x)在开区间(a,b)内每一点 x 都是可导的,则称 f(x)在区间(a,b)内可导.在区 间(a,b)内,f ′(x)构成一个新的函数,这个函数称为函数 f(x)的导数. (4).导数的几何意义:函数 y=f(x)在点 x0 处的导数 f ′(x0),就是曲线 y=f(x)在点 P(x0,y0)处的___________.导数的物理意义:物体的运动方程 s=s(t)在点 t0 处的导数 s′(t0),就是物体在 t0 时刻的______


1

2、导数公式 (1).常用的导数公式 C′= (C 为常数); (xm)′= (xn)′= (sinx)′= (lnx)′= (x>0,m≠0 且 m∈Q); (n∈N+) (cosx)′= (logax)′=. f(x)= x时,f ′(x)=. (ex)′= (ax)′=

1 特别 f(x)= 时,f ′(x)= x (2).两个函数的四则运算的导数 [f(x)± g(x)]′= [f(x)g(x)]′=

特别[cf(x)]′= (g(x)≠0).

(c 为常数);

?f?x??′= ?g?x?? ? ?

二、 【合作探究】 (本部分先由同学自主完成,课堂上通过与小组同学交流合作进一步完善) A 类型一:已知切点,求曲线的切线方程 此类题较为简单,只须求出曲线的导数 f ?( x) ,并代入点斜式方程即可.方法:
, 例 1 曲线 y ? x3 ? 3x2 ? 1 在点 (1 ? 1) 处的切线方程为(

) D. y ? 4 x ? 5 .

A. y ? 3x ? 4

B. y ? ?3x ? 2

C. y ? ?4 x ? 3

B 类型二:已知斜率,求曲线的切线方程 此类题可利用斜率求出切点,再用点斜式方程加以解决.方法: 例 2 与直线 2 x ? y ? 4 ? 0 的平行的抛物线 y ? x 2 的切线方程是( A. 2 x ? y ? 3 ? 0 B. 2 x ? y ? 3 ? 0 C. 2 x ? y ? 1 ? 0 )

D. 2 x ? y ? 1 ? 0

2

B 类型三:已知过曲线上一点,求切线方程 过曲线上一点的切线,该点未必是切点,故应先设切点,再求切点,即用待定切点法.
, 例 3 求过曲线 y ? x3 ? 2 x 上的点 (1 ? 1) 的切线方程.

B 类型四:已知过曲线外一点,求切线方程 此类题可先设切点,再求切点,即用待定切点法来求解. 1 0) 例 4 求过点 (2, 且与曲线 y ? 相切的直线方程. x

三、 【能力训练】
16) B 已知函数 y ? x3 ? 3x ,过点 A(0, 作曲线 y ? f ( x) 的切线,求此切线方程.

C 已知直线 l1 为曲线 y ? x 2 ? x ? 2 在点 (0, ?2) 处的切线, l 2 为该曲线的另一条切线,且

l1 ? l 2

王新敞
奎屯

新疆

(Ⅰ)求直线 l 2 的方程;
王新敞
奎屯 新疆

(Ⅱ)求由直线 l1

l 2 和 x 轴所围成的三角形的面积

王新敞
奎屯

新疆

【学习反思】

3


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