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【海淀三模】北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学(理)试题(含答案)


2013 年海淀区高三查漏补缺题

数学(理)试题(2013.05.23)
1.函数 y ? c o s( 4 x ? A.
π 8

?
3

)

图象的两条相邻对称轴间的距离为 B.
π 4

C.

π 2

D. π

2.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A. y ? e x B. y ? sin 2 x C. y ? ? x 3 D. y ? lo g 1 x
2

3.若向量 a , b 满足 | a |? | b |? 2 ,且 a ? b ? b ? b ? 6 ,则向量 a , b 的夹角为 A.30° B.45°
π 11 )

C.60°
f , f ( ? 1) , ( ? π 3

D.90°
)的大小关系为 π π 11 ) ? f ( ? 1)

4.已知函数 f ( x ) ? x sin x ,则 f ( A. f ( ? ) ? f ( ? 1) ? f (
3 π π 11 π 3 ) )

B. f ( ? 1) ? f ( ? ) ? f (
3

)

C. f (

π 11

) ? f ( ? 1) ? f ( ?

D. f ( ? ) ? f (
3

π

π 11

5.某空间几何体三视图如右图所示,则该几何体的表面积为_____, 体积为_____________.
6

6.设 m 、n 是不同的直线,? 、 ? 、? 是不同的平面,有以下四个命题: ① 若 ? / / ? , ? / /? , 则 ? / /? ③ 若 m ? ? , m / / ? ,则 ? ? ? 其中所有真命题的序号是_____
?x ? 2y ? 0 ? 7.设不等式组 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ?y ? 0 ?

6 5
主视图 左视图

5

②若 ? ? ? , m / / ? ,则 m ? ? ④若 m / / n ,
n ??

,则 m / / ?
俯视图

表示的平面区域为 D,若直线 2 x ? y ? b 上存在区域 D 上的点,

则 b 的取值范围是_____.
?0 ? x ? 2, ? 8.已知不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0 , ?3x ? 2 y ? 4 ? 0 ?

所表示的平面区域为 W ,则 W 的面积是_____;

2 2 设点 P ( x , y ) ? W ,当 x ? y 最小时,点 P 坐标为_____.

9. ( x ?

3 x
2

)

5

的展开式中的常数项为

-1-

10. 计算 ? ( 2 x ?
1

e

1 x

)d x ?
? x ? 1 ? t,

.

11.若直线 l 的参数方程为 ?

? y ? 1 ? 2 t,

其中 t 为参数,则直线 l 的斜率为_______.
A

12.如图,已知 P A 是圆 O 的切线,切点为 A , P O 交圆 O 于 B , C 两点,
P
B

O

C

PA ?

3 , P B ? 1 ,则 A B ? _ _ _ _ , ? A C B ? _ _ _ _ .

13.如图所示,正方体 A B C D ? A ? B ?C ?D ? 的棱长为 1, E , F 分别是棱 A A ? , C C ? 的中点,过直 线 E , F 的平面分别与棱 B B ? 、 D D ? 交于 M , N , 设 B M ? x , x ? [0,1] ,给出以下四个命题: ①平面 M E N F ? 平面 B D D ?B ? ; ②四边形 M E N F 周长 L ? f ( x ) , x ? [0,1] 是单调函数; ③四边形 MENF 面积 S ? g ( x ) , x ? [0,1] 是单调函数;
E D M C A' D' N B' F C'

④四棱锥 C ? ? M E N F 的体积 V ? h ( x ) 为常函数;
A

B

以上命题中正确命题的个数( A.1 B.2 C.3 D.4
1 4



14.直线 y ? a x ? b 与抛物线 y ? 小值为 . 的前 n

x ? 1 相切于点 P
2

. 若 P 的横坐标为整数,那么 a 2 ? b 2 的最

15.已知数列 { a n }

? 2 ? 1, ? 项和 S n ? ? 2 ? ? n ? ( a ? 1) n , ?
n

n ? 4, n ? 5.

若 a 5 是 { a n } 中的最大值,则实数

a 的取值范围是_____.

解答题部分: 1. 已知函数 f ( x ) ? c o s 2 x ? 2 3 sin x c o s x ? sin 2 x (I)求 f ( x ) 的最小正周期和值域; (Ⅱ)在 ? A B C 中,角 A , B , C 所对的边分别是 a , b , c ,若 f ( ) ? 2 且 a 2 ? b c ,试判断 ? A B C
2 A

的形状.

-2-

2. 如图,在直角坐标系 x O y 中,点 P 是单位圆上的动点,过点 P 作 x 轴的垂线与射线 y ?
M
3x ( x ? 0)

交于点 Q ,与 x 轴交于点
M

.记 ? M O P ? ? ,且 ? ? ( ?
1 3

π π , ) 2 2



(Ⅰ)若 s in ? ?

,求 c os ? P O Q ;

(Ⅱ)求 ? O P Q 面积的最大值.

3. 已知函数 f ( x ) ? c o s 2 x ? a sin ( x ? (Ⅰ)求 a 的值.

π 2

)?1

,且 f ( ) ? 1 ?
4

π

2

(Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 [0 , π ] 上的最大和最小值.

4.数列 ? a n ? 的各项都是正数, n 项和为 S n ,且对任意 n ? N ? , 前 都有 a 13 ? a 23 ? a 33 ? ? ? a n3 ? S n2 . (Ⅰ)求证: a n2 ? 2 S n ? a n ; (Ⅱ)求数列 ? a n ? 的通项公式.

5. 已知正三角形 A C E 与平行四边形 A B C D 所在的平面互相垂直. 又 ? ACD ? 90? , C ? 且D (I) 求证: C F ? D E (Ⅱ) 求二面角 O ? D E ? C 值.
2 A ,C 2 ?

E B O F A

, O , F 分别为 A C , A D 的中点. 点

C D

6. 袋中装有大小相同的 2 个白球和 3 个黑球. (Ⅰ)采取放回抽样方式,从中依次摸出两个球,求两球颜色不同的概率; (Ⅱ)采取不放回抽样方式,从中依次摸出两个球,记 ? 为摸出两球中白球的个数,求 ? 的 期望和方差.

-3-

7. 已知函数 f ( x ) ? ? 6 ln ( a x ? 2 ) ? (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间;

1 2

x

2

在 x ? 2 处有极值.

(Ⅱ)若直线 y ? k x 与函数 f '( x ) 有交点,求实数 k 的取值范围.

8. 已知函数 f ( x ) ? e a x ? (

a x

? a ? 1)

,其中 a ? ? 1 .

(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调递减区间; (Ⅱ)若存在 x 1 ? 0 , x 2 ? 0 ,使得 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ,求 a 的取值范围.

9. 设函数 f ( x ) ?

1 3

ax ? bx ? cx (a ? b ? c )
3 2

,其图象在点 A (1, f (1) ) , B (m , f (m ) ) 处的切线的

斜率分别为 0 , ? a . (Ⅰ)求证: 0 ≤
b a ?1



(Ⅱ)若函数 f ( x ) 的递增区间为 [ s , t ] ,求 | s ? t | 的取值范围.

10. 已知椭圆 C :

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a ? b ? 0)

的离心率为

1 2

,且经过点 A (1, ) .
2

3

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) M , N 为椭圆 C 上的两个动点, 设 线段 M N 的垂直平分线交 y 轴于点 P ( 0, y 0 ) , y 0 的 求 取值范围.

N 11.如图, 已知 M ( ? 3 m , 0 )( m ? 0 ) , , P 两点分别在 y 轴和 x 轴上运动, 并且满足 M N ? N Q ? 0 ,

???? ???? ?

??? ? 1 ???? NP ? PQ 2

.
M

y N P O Q x

(Ⅰ)求动点 Q 的轨迹方程; (Ⅱ)若正方形 A B C D 的三个顶点 A ,B , C 在点 Q 的轨迹上, 求正方形 A B C D 面积的最小值.

-4-

12. 动圆过点 F ( 0, 2 ) 且在 x 轴上截得的线段长为 4 ,记动圆圆心轨迹为曲线 C . (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)已知 P , Q 是曲线 C 上的两点,且 P Q ? 2 ,过 P , Q 两点分别作曲线 C 的切线,设两条 切线交于点 M ,求△ P Q M 面积的最大值.

13.已知椭圆 C :

x

2

?

y

2

?1

的左右两个顶点分别为 A, B ,点 M 是直线 l : x ? 4 上任意一点,

4

3

直线 M A , M B 分别与椭圆交于不同于 A, B 两点的点 P ,点 Q . (Ⅰ)求椭圆的离心率和右焦点 F 的坐标; (Ⅱ) (i)证明 P , F , Q 三点共线; (Ⅱ)求 ? P Q B 面积的最大值。

-5-

2013 年最后阶段高三数学复习参考资料答案
理科
题号 答案 题号 答案 题号 答案 1 B 6 ①③ 11 -2 2 C 7
[0, 8]

2013 年 5 月
4 A 9 5
3 3π , 3 0 π

3 C 8
5, ( 12 24 , ) 13 39

10
e
2

15 14 1

12
1, 3 0
?

13 B

15
a ? 53 5

解答题部分: 1. 解:﹙Ⅰ﹚ f ( x ) ? c o s 2 x ? 2 3 sin x c o s x ? sin 2 x
? 3 sin 2 x ? c os 2 x

? 2 sin ( 2 x ?

?
6

)

所以 T ? ? , f ( x ) ? [ ? 2, 2 ] ﹙Ⅱ﹚由 f ( ) ? 2 ,有 f ( ) ? 2 sin ( A ?
2 2 A A

?
6

)? 2



所以 sin ( A ?

?
6

) ? 1.

因为 0 ? A ? ? ,所以 A ?

?
6

?

?
2

,即 A ?

?
3

.

由余弦定理 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2 b c c os A 及 a 2 ? b c ,所以 ( b ? c ) 2 ? 0 .

-6-

所以 b ? c , 所以 B ? C ?

?
3

.

所以 ? A B C 为等边三角形.

2. 解:依题意 ? M O Q ? 因为 s in ? ?
1 3

π 3

,所以 ? P O Q ? ? M O Q ? ? M O P ?
π π , ) 2 2

π 3

??



,且 ? ? ( ?
π 3

,所以 c o s ? ?
π 3 c o s ? ? sin

2 3 π 3

2


2 2 ? 6 3

所以 c o s ? P O Q ? c o s(

? ? ) ? cos

sin ? ?



(Ⅱ)由三角函数定义,得 P (c os ? , sin ? ) ,从而 Q (c o s ? , 3 c o s ? )

所以 S ? P O Q ?
?
?

1 2 1 2
1 2

| c o s ? ||
2

3 c o s ? ? sin ? |

|

3 c o s ? ? sin ? c o s ? |
3 2 ? 3 c o s 2? 2 ? 1 2 sin 2 ? |? 1 2 3 2 ? sin ( π 3 ? 2? ) |

|

|

?

1 2

|

3 2

? 1 |?

3 4

?

1 2

因为 ? ? ( ?

π π , ) 2 2

,所以当 ? ? ?
3 4

π 12
? 1 2

时,等号成立 .

所以 ? O P Q 面积的最大值为

3.解: (I) a ? ? 2 (II)因为 f ( x ) ? c os 2 x ? a c os x ? 1 ? 2 c os 2 x ? 2 c os x 设 t ? c o s x , 因为 x ? [0, π ], 所以 t ? [ ? 1,1] 所以有 y ? 2 t 2 ? 2 t , t ? [ ? 1,1] 由二次函数的性质知道, y ? 2 t 2 ? 2 t 的对称轴为 t ? ? 所以当 t ? ?
1 2 1 2

,即 t ? c o s x ? ?

1 2

,x ?

2π 3

时,函数取得最小值 ?

1 2

当 t ? 1 ,即 t ? c os x ? 1 , x ? 0 时,函数取得最大小值 4

-7-

4. 证明: (I)当 n ? 1 时, a 13 ? a 12 因为 a 1 ? 0 ,所以 a 1 ? 1 当 n ? 2 时, a 13 ? a 23 ? a 33 ? ? ? a n3 ? S n2
a 1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n ?1 ? S n ?1
3 3 3 3 2





①-②得, a n3 ? a n ( 2 a 1 ? 2 a 2 ? ? ? 2 a n ? 1 ? a n ) 因为 a n ? 0 所以 a n2 ? 2 a 1 ? 2 a 2 ? ? ? 2 a n - 1 ? a n , 因为 a 1 ? 1 适合上式

即 a n2 ? 2 S n- a n

所以 a n2 ? 2 S n- a n ( n ? N ? ) (Ⅱ)由(I)知 a n2 ? 2 S n -a n ( n ? N ? ) ③ 当 n ? 2 时, a n2 ? 1 ? 2 S n ? 1 ? a n ? 1 ④

③-④得 a n2 - a n2 -1 ? 2 ( S n -S n -1 ) -a n ? a n -1 ? 2 a n -a n ? a n -1 ? a n ? a n -1 因为
a n ? a n -1 ? 0

,所以 a n -a n -1 ? 1

所以数列 ? a n ? 是等差数列,首项为 1,公差为 1,可得 a n ? n

5.(I)因为在正三角形 A C E 中, O 为 A C 中点, 所以 E O ? A C 又平面 A C E ? 平面 A B C D ,且平面 A C E ? 平面 A B C D ? A C , 所以 E O ? 平面 A B C D ,所以 E O ? C F 在 R t ? A C D 中, ta n ? F C O ?
2 2 , ta n ? O D C ? 2 2

所以 ? F C O ? ? O D C ,所以 ? F C D ? ? O D C ? 9 0 ? , 即 C F ? D O ,又 D O ? O E ? O 所以 C F ? 平面 D O E ,所以 C F ? D E (Ⅱ)以 O 为坐标原点, O F , O A , O E 所在直线为坐标轴建立坐标系, 则 O ( 0, 0, 0 ), F (
2 2 , 0, 0 ), A ( 0,1, 0 ), C ( 0, ? 1, 0 ), E ( 0, 0, 0 3 )

, D ( 2 , ? 1, 0 )

-8-

由(I)得平面 D O E 的法向量为 C F ? ( 设平面 D C E 的法向量为 n ? ( x , y , z ) 因为 C D ? ( 2 , 0, 0 ), C E ? ( 0,1, 3 ),
???? ? ?C D ? n ? 0, ?x ? 0 ? ? 所以 ? ??? ? 解得 ? ? ? y ? 3z ? 0 ?C E ? n ? 0, ? ?
? ???? ??? ? ?

??? ?

2 2

,1, 0 )

,取 n ? ( 0, 3, ? 3 )

所以 c o s ? n , C F ? =

? ??? ?

2 2


π 4

所以二面角 O ? D E ? C 的值为

.

6. 解: (Ⅰ)记 “摸出一球,放回后再摸出一个球,两球颜色不同”为事件 A, 摸出一球得白球的概率为
2 5



摸出一球得黑球的概率为 ,
5

3

所以 P(A)=

2 5

× + ×
5 5

3

3

2 5


.

12 25

.

答:两球颜色不同的概率是

12 25

(Ⅱ)由题知 ? 可取 0, 1,2, 依题意得
P (? ? 0 ) ? 3 5 ? 2 4 3 10 ? 3 10 3 5 ? 2? 1 10 ? 4 5 , P ( ? ? 1) ? 3 5 ? 2 4 ? 2 5 ? 3 4 ? 3 5 , P (? ? 2 ) ? 2 5 ? 1 4 ? 1 10

则 E?

? 0?

?1?



D? ? ? 0 ?

? ?

4? 5?

2

? ?

3 10

? ?1 ?

? ?

4? 5?

2

? ?

3 5

? ?2?

? ?

4?

2

? . ? ? 5? 10 25

1

9

答: 摸出白球个数 ? 的期望和方差分别是

4 5



9 25

.

7. 解: (Ⅰ)因为 f ( x ) ? ? 6 ln ( a x ? 2 ) ? 所以 f ' ( x ) ? ? 6 ?
a ax ? 2 ? x

1 2

x

2



由 f ' ( 2 ) ? 0 ,可得 a ? 2 经检验 a ? 2 时,函数 f ( x ) 在 x ? 2 处取得极值,

-9-

f ( x ) ? ? 6 ln ( 2 x ? 2 ) ?
f (x) ?
'

1 2

x

2


? ( x ? 3)( x ? 2 ) x ?1

?6 x ?1

? x ?

x ? x?6
2

x ?1

而函数 f ( x ) 的定义域为 ( ? 1, ? ? ) , 当 x 变化时, f ' ( x ) , f ( x ) 的变化情况如下表:
x

( ? 1, 2 )
'

2

(2, ?? )
?

f (x)
f (x)

?

0

?

极小值

?

由表可知, f ( x ) 的单调减区间为 ( ? 1, 2 ) , f ( x ) 的单调增区间为 ( 2 , ? ? )

(Ⅱ)若 f '( x ) ? k x ,则有 x 2 ? x ? 6 ? k x 2 ? k x ,其中 x ? ? 1 , 所以 ( k ? 1) x 2 ? ( k ? 1) x ? 6 ? 0 有大于 ? 1 的根, 显然 k ? 1 ,设 g ( x ) ? ( k ? 1) x 2 ? ( k ? 1) x ? 6 则其对称轴为 x ? ?
1 2

,根据二次函数的性质知道,

只要 ? ? ( k ? 1) 2 ? 2 4 ( k ? 1) ? 0 解得 k ? 2 5 或 k ? 1 .

8. (Ⅰ)解: f ?( x ) ? a e a x

( x ? 1)[( a ? 1) x ? 1] x
2

① 当 a ? ? 1 时,令 f ?( x ) ? 0 ,解得 x ? ? 1
f ( x ) 的单调递减区间为 ( ? ? , ? 1) ;单调递增区间为 ( ? 1, 0 ) , ( 0 , ? ? )

当 a ? ? 1 时,令 f ?( x ) ? 0 ,解得 x ? ? 1 ,或 x ?

1 a ?1 1 a ?1 1 a ?1 , ?? )

② 当 ? 1 ? a ? 0 时, f ( x ) 的单调递减区间为 ( ? ? , ? 1) , (

单调递增区间为 ( ? 1, 0 ) , ( 0 , ③ 当 a ? 0 时, f ( x ) 为常值函数,不存在单调区间 ④ 当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调递减区间为 ( ? 1, 0 ) , ( 0 ,
1 a ?1 )

)

- 10 -

单调递增区间为 ( ? ? , ? 1) , (

1 a ?1

, ?? )

(Ⅱ)解:① 当 a ? 0 时,若 x ? ( 0, ? ? ) , f ( x ) m in ? f (

1 a ?1

a

) ? e a ? 1 ( a ? 1) ? 1
2

若 x ? ( ? ? , 0 ) , f ( x ) m a x ? f ( ? 1) ? e ? a ? 1 ,不合题意 ② 当 a ? 0 时,显然不合题意 ③ 当 ? 1 ? a ? 0 时,取 x 1 ? ?
a 2

,则 f ( x 1 ) ? e

?

a

2

2

( a ? 1) ? 0

取 x 2 ? ? 1 ,则 f ( x 2 ) ? e ? a ? 0 ,符合题意 ④ 当 a ? ? 1 时,取 x 1 ? 1 ,则 f ( x 1 ) ? ? e ? 1 ? 0 取 x 2 ? ? 1 ,则 f ( x 2 ) ? e ? a ? 0 ,符合题意 综上, a 的取值范围是 [ ? 1, 0 ) . 9.解: (Ⅰ)证明: f ?( x ) ? a x 2 ? 2 b x ? c ,由题意及导数的几何意义得
f ?(1) ? a ? 2 b ? c ? 0 ,

(1) , (2)

f ?( m ) ? a m ? 2 b m ? c ? ? a
2

又 a ? b ? c ,可得 4 a ? a ? 2 b ? c ? 4 c ,即 4 a ? 0 ? 4 c ,故 a ? 0, c ? 0, 由(1)得 c ? ? a ? 2 b ,代入 a ? b ? c ,再由 a ? 0 ,得
? 1 3 ? b a ? 1,

(3)

将 c ? ? a ? 2 b 代入(2)得 a m 2 ? 2 b m ? 2 b ? 0 ,即方程 a x 2 ? 2 b x ? 2 b ? 0 有实根. 故其判别式 ? ? 4 b 2 ? 8 a b ≥ 0 得 由(3)(4)得 0 ≤ ,
b a ?1 b a
≤ ?2

,或

b a

≥0



(4)



(Ⅱ)由 f ?( x ) ? a x 2 ? 2 b x ? c 的判别式 ? ? ? 4 b 2 ? 4 a c ? 0 , 知方程 f ?( x ) ? a x 2 ? 2 b x ? c ? 0 ( ? ) 有两个不等实根,设为 x 1 , x 2 , 又由 f ?(1) ? a ? 2 b ? c ? 0 知, x 1 ? 1 为方程( ? )的一个实根,则由根与系数的关系得
x1 ? x 2 ? ? 2b a , x2 ? ? 2b a ? 1 ? 0 ? x1 ,

- 11 -

当 x ? x 2 或 x ? x 1 时, f ?( x ) ? 0 ,当 x 2 ? x ? x 1 时, f ?( x ) ? 0 , 故函数 f ( x ) 的递增区间为 [ x 2 , x 1 ] ,由题设知 [ x 2 , x 1 ] ? [ s , t ] , 因此 | s ? t |? | x 1 ? x 2 |? 2 ?
2b a

,由(Ⅰ)知 0 ≤

b a

?1



| s ? t | 的取值范围为 [ 2 , 4 )

.

10.解: (Ⅰ)椭圆 C 的方程为: (Ⅱ)设 M ( x 1 , y 1 ), N ( x 2 , y 2 ) ,则

x

2

? x1 4
2

y

2

? 1. y1 3
2

4 ?

3 ?1, x2 4
2

?

y2 3

2

?1.
2

依题意有 | P M | ? | P N | ,即 x 12 ? ( y 0 ? y 1 ) 2 ? 整理得 ( x 12 ? x 22 ) ? ( y 12 ? y 22 ) ? 2 y 0 ( y 1 ? y 2 ) ? 0 . 将 x 12 ? 4 ?
4 y1 3
2

x2 ? ( y0 ? y2 )
2



, x 22 ? 4 ?

4 y2 3

2

代入上式,消去 x 12 , x 22 ,

得 ( y 12 ? y 22 ) ? 6 y 0 ( y 1 ? y 2 ) ? 0 . 依题意有 y 1 ? y 2 ? 0 ,所以 y 0 ? ? 注意到 | y 1 | ? 所以 y 0 ? ( ?
3

y1 ? y 2 6

.

, | y2 |?
, 3 3 )

3

,且 M , N 两点不重合,从而 ? 2 3 ? y 1 ? y 2 ? 2 3 .

3 3

.

11. 解:(I) 设 Q ( x , y ), 因 为 N P ?

1 ???? y P Q , 所 以 N ( 0, ? ), 2 2 ???? ? y ???? 3y 又 M ( ? 3 m , 0 ), 所 以 M N ? ( 3 m , ? ), N Q ? ( x , ), 2 2 ???? ???? ? 3 由已知 M N ? N Q ? 0, 则 3 m x ? y 2 ? 0 4
y ? 4 m x ,即 Q 点 轨 迹 方 程 为 y ? 4 m x .
2 2

??? ?

(Ⅱ)如图,不妨设正方形在抛物线上的三个顶点中 A、 B 在 x 轴的下方(包括 x 轴) , 记 A、 B 、 C 的坐标分别为 ( x 1 , y 1 ), ( x 2 , y 2 ), ( x 3 , y 3 ) ,其中 y 3 ? 0 ? y 2 ? y 1
k 并设直线 A B 的斜率为 ( k < 0)

- 12 -

? y 2 ? y1 ? k ( x 2 ? x1 ) ? 则有 ? ??① 1 ? y3 ? y2 ? ? ( x3 ? x2 ) k ?

y

又因为 A、 B 、 C 在抛物线 y 2 ? 4 m x 上,故有
x1 ? y1
2

C D O

4m

, x2 ?

y2

2

4m

, x3 ?

y3

2

代入①式得 ??②

4m

B A

x

y1 ?

4m k

? y2 , y3 ? ?4m k ? y2

因为 | A B |? | B C | 即 ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y 1 ? y 2 ) 2 ? 所以 1 ?
1 k
2

( x3 ? x2 ) ? ( y3 ? y2 )
2

2

( y 2 ? y1 ) ?

1 ? k ( y3 ? y2 )
2

所以 ( y 2 ? y 1 ) ? ? k ( y 3 ? y 2 ) 将②代入可得:
y2 ? 4m k ? y2 ? ? k (?4m k ? 2 y2 ) 4m k
4mk ?
2

即 ?4m k 2 ?

? ? 2 ( ? k ? 1) y 2 ,
4m

得 y2 ?

k 2 ( ? k ? 1)

正方形的边长为 | A B |? 1 ? k 2 ( y 3 ? y 2 ) ? 1 ? k 2 ( ? 4 m k ? 2 y 2 )
4mk ?
2

4m
3

?

1 ? k (?4m k ?
2

k ) ? 4m 1 ? k 2 ??k ? k ? 1 ? ? ? ?k ? 1 k ( ? k ? 1) ? ?

? 4m

1 ? k ( k ? 1)
2 2

? k ( ? k ? 1)
( k ? 1)
2

易知

?k

? 2,

1? k

2

?k ? 1

?

2 2

,

所以 4 m

1 ? k ( k ? 1)
2 2

? k ( ? k ? 1)

? 4

2m

所以正方形 ABCD 面积的最小值为 3 2 m 2 .

12.解: (Ⅰ)设圆心坐标为 ( x , y ) ,那么 2 2 ? y ? ( y ? 2 ) 2 ? x 2 ,化简得 x 2 ? 4 y (Ⅱ)解法一:设 P ( x 1, y 1 ), Q ( x 2, y 2 )

2

- 13 -

设直线 PQ 的方程为 y ? k x ? b ,代入曲线 C 的方程得 x 2 ? 4 k x ? 4 b ? 0 , 所以 x 1 ? x 2 ? 4 k , x 1 x 2 ? ? 4 b , ? ? 1 6 k 2 ? 1 6 b ? 0 因为 P Q ? 2 ,所以 (1 ? k 2 )[( x 1 ? x 2 ) 2 ? 4 x 1 x 2 ] ? 4 ,? (1 ? k 2 )[1 6 k 2 ? 1 6 b ] ? 4 所以, 4 (1 ? k 2 )[ k 2 ? b ] ? 1,? k 2 ? b ?
1 4 (1 ? k )
2

过 P、Q 两点曲线 C 的切线方程分别为 y ? y 1 ? 两式相减,得 y 2 ? y 1 ?
? x 2 ? x1
2 2

x1 2

( x ? x 1 ), y ? y 2 ?

x2 2

( x ? x2 )

x 2

( x1 ? x 2 ) ? x 2 ? x1
2 2

x 2 ? x1
2

2

2

?

x 2

4

( x1 ? x 2 ) ?

2

, ? x 1 ? x 2 ,? x ?
x1 2 ( x1 ? x 2 2

x1 ? x 2 2 ? x1 )

? 2k

代入过 P 点曲线 C 的切线方程得, y ? y 1 ?
? y? x1 4
2

?

x1 2

(

x1 ? x 2 2

? x1 )

,? y ?

x1 x 2 4

? ?b

即两条切线的交点 M 的坐标为( 2 k , ? b ) ,所以点 M 到直线 PQ 的距离为
d ? 2k ? 2b
2

?

2 k ?b
2

?

1
3

1? k

2

1? k

2 2

2 (1 ? k ) 2

当 k ? 0 时, d m a x ?

1 2

,此时 ? P Q M 的面积的取最大值 S m a x ?

1 2

? P Q ? d m ax ?

1 2

解法二: 设 P ( x 1, y 1 ), Q ( x 2, y 2 ) ,则过 P、Q 两点曲线 C 的切线方程分别为
y ? y1 ? x1 2 ( x ? x 1 ), y ? y 2 ?
x 2

x2 2

( x ? x2 )
x 2 ? x1
2 2

两式相减得 y 2 ? y 1 ?
? x 2 ? x1
2 2

( x1 ? x 2 ) ? x 2 ? x1
2 2


x1 ? x 2 2 ? x1 )

2

?

x 2

4

( x1 ? x 2 ) ?

2

, ? x 1 ? x 2 ,? x ?
x1 2 ( x1 ? x 2 2

代入过 P 点曲线 C 的切线方程得, y ? y 1 ?
? y? x1 4
2

?

x1 2

(

x1 ? x 2 2

? x1 )

,? y ?

x1 x 2 4 y1 ? y 2 2 y1 ? y 2 2
2

即两条切线的交点 M 的坐标为( 设 PQ 中点为 C,则 C 的坐标为(
x1 x 2 4 y1 ? y 2 2 x1 x 2 4

x1 ? x 2 2 x1 ? x 2 2

, ,

) ),所以 MC 平行于 y 轴,所以
2

MC ?

?

?

?

x1 ? x 2
2

?

( x1 ? x 2 ) 8

?

( x1 ? x 2 ) 8

2

8

- 14 -

设点 M 到直线 PQ 的距离为 d,那么 d ? M C ? 立) .

( x1 ? x 2 ) 8

2

(当且仅当 x 1 ? x 2 ? 0 时等号成

又因为 P Q ? 2 ,所以 ( x 1 ? x 2 ) 2 ? ( y 1 ? y 2 ) 2 ? 2 ,
( x1 ? x 2 ) ( x1 ? x 2 )
2 2

即 ( x1 ? x 2 ) 2 ?

? 2

16

,? ( x 1 ? x 2 ) 2 [1 ?

( x1 ? x 2 ) 16

2

] ? 2



所以 ( x 1 ? x 2 ) 2 ? 4 (当且仅当 x 1 ? x 2 ? 0 时等号成立) . 因此 d ?
1 2

, S ?PQM ?

1 2

PQ ? d ? 1 2

1 2

?2?

1 2

?

1 2



所以 ? P Q M 的面积的最大值为



13.解:(Ⅰ) a 2 ? 4 , b 2 ? 3 ,所以, c 2 ? a 2 ? b 2 ? 1 。 所以,椭圆的离心率 e ? 右焦点 F ? 1, 0 ? 。 (Ⅱ) (i) A ? ? 2 , 0 ? , B ? 2 , 0 ? 。设 M ? 4 , m ? ,显然 m ? 0 。 则MA : y ?
m 6 c a ? 1 2



?x ? 2? ,MB

: y ?

m 2

?x ? 2? 。

2 m ? ? 54 ? 2m y ? ? x ? 2?, xP ? , ? ? 2 6 ? ? 27 ? m 由? 2 解得 ? 2 ?x ? y ?1 ? y ? 18m . 2 ? 4 ? P 3 27 ? m ? ? 2 m ? ? 2m ? 6 y ? ? x ? 2?, xQ ? , ? 2 ? ? ? 2 m ?3 由? 2 解得 ? 2 ? y ? ?6m . ?x ? y ?1 2 ? Q ? 4 3 m ?3 ? ?

当 m 2 ? 9 时, x P ? x Q ? 1 , P , Q , F 三点共线。 当 m 2 ? 9 时, k F P ?
yP ? 0 xP ? 1
yQ ? 0 xQ ? 1

?

18m 2 7 ? 3m
?6m m ?9
2

2

?

6m 9?m
2



k FQ ?

?

?

6m 9?m
2



所以, k F P ? k P Q ,所以, P , Q , F 三点共线。

- 15 -

综上, P , Q , F 三点共线。 (Ⅱ)因为 P , Q , F 三点共线,所以,△PQB 的面积
9 ? ? 12 ? m ? ? m ? ? 9 ? ? ?m ? ? ? 12 m ? ?
2

S ?

1 2

? F B ? y P ? yQ ?

12m ? m ? 9 ?
2

?m

2

? 3? ? m ? 27 ?
2

?

设u ? m ?

9 m

,则 S ?

12u u ? 12
2

因为 S ' ?

24 ?6 ? u ?

?u

2

? 12 ?

2

,且 u ? m ?

9 m

? 6 ,所以, S ' ? 0

,且仅当 u ? 6 时, S ' ? 0 ,

所以, S ? 所以, S ?

12u u ? 12
2

在 [6, ? ? ) 上单调递减。
? 3 2 3 2

12 ? 6 6 ? 12
2

,等号当且仅当 u ? 6 ,即 m ? ? 3 时取得。 .

所以,△PQB 的面积的最大值为

- 16 -


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