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高二导数期末复习


导数及其应用
1:常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式:

c? ? 0(c为常数);

? x ?? ? nx
n

n ?1

,n? N

?

? sin x ?? ? cos x

? cos x ?? ? ? sin x;
1 ? log a x ?? ? log a e; x
2.运算法则
法则 1 法则 2

? e ?? ? e x ;
x

? a ?? ? a x ln a;
x

? ln x ?? ?

1 ; x

?u ( x ) ? v ( x ) ?? ? u ?( x ) ? v?( x)

?u ( x)v( x) ?? ? u ?( x )v ( x ) ? u ( x )v ?( x )
? u ( x) ?? u ?( x)v( x) ? u ( x)v?( x) ? (v( x) ? 0) 2 ? v ( x) ? v( x) ? ?

法则 3

3、几何意义:函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是过曲线 y=f(x) 上点(x0,f(x0))的__________ __ 4、导数和函数单调性的关系: (1)对于函数 y=f(x),如果在某区间上 f′(x)>0,那么 f(x)为该区间上的 ________;如果在某区间上 f′(x)<0,那么 f(x)为该区间上的________. (2)若在(a,b)的任意子区间内 f′(x)都不恒等于 0,f′(x)≥0?f(x)在(a,b) 上为____函数,若在(a,b)上,f′(x)≤0,?f(x)在(a,b)上为____函数. 5.函数的极值 (1)判断 f(x0)是极值的方法 一般地,当函数 f(x)在点 x0 处连续时, ①如果在 x0 附近的左侧________,右侧________,那么 f(x0)是极大值; ②如果在 x0 附近的左侧________,右侧________,那么 f(x0)是极小值. (2)求可导函数极值的步骤 ①求 f′(x); ②求方程___ _____的根; ③检查 f′(x)在方程________的根左右值的符号.如果左正右负,那么 f(x) 在这个根处取得 ________ ;如果左负右正,那么 f(x) 在这个根处取得 ________. 6.求函数 y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤: (1)求函数 y=f(x)在(a,b)上的________; (2)将函数 y=f(x)的各极值与__ ______比较,其中最大的一个是最大 值,最小的一个是最小值.

一、默写 1、基本初等函数的导数公式表
原函数 f(x)=C(C 为常数) f(x)=xα (α 为常数) f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=ax (a>0,a≠1) f(x)=ex f(x)=logax (a>0,a≠1,且 x>0) f(x)=ln x 2.导数运算法则 导函数 f′(x)=____ f′(x)=______ (α 为常数) f′(x)=________ f′(x)=________ f′(x)=______(a>0,a≠1) f′(x)=________ f′(x)=__________ f′(x)=________

(1)[f(x)± g(x)]′=____________; (2)[f(x)g(x)]′=________________; ? f?x? ? ?′=________________________ (3)? ?g?x?? 二、练习
1.求下列函数的导数 (1) y ? x ? 2 x ? 1
3 2

[g(x)≠0].

(2) y ? sin x ? x

(3) y ? x cos x
2

(4) y ?

x2 ?1 x

(5) y ? e x ? ln x

(6) y ? a x ? loga x ? 2

2、曲线 y ? x ? 3x ? 1 在点 (1, ?1) 处的切线方程为_______________
3 2

1 3.已知函数 y=f(x)的图象在点 M(1,f(1))处的切线方程是 y= x+2,则 f(1)+f′(1)= 2 ________ . 4、函数 f(x)=(x-3)ex 的单调递增区间为______________,函数 y ? x ln x 的单调减区间为 。

专项训练
1.设 y=x2· ex,则 y′=______________.

导数(1)

2.设函数 f(x)=ax3+3x2+2,若 f'(-1)=4,则 a 的值为_____________

3.曲线 f ? x ? ? x ? x ? 1在点 1, f ?1? 处的切线方程为
3 2

?

?



4.函数 f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 1 的单调减区间为_____________

5.函数 f ( x) ? e x ? x 在 [ ?1,1] 上的最小值是

.

6. 曲线 y=x3 在点(1,1)处的切线与 x 轴、直线 x=2 所围成的三角形的面积为__________.

7.函数 f(x)=x3+ax-2 在区间(1,+∞)上是增函数,则 a 的取值范围为______________.

8.已知函数 f(x)=mx +lnx-2x 在定义域内是增函数,则实数 m 的取值范围为________.

2

1 4 9.已知曲线 y= x3+ . 3 3 (1)求曲线在点 P(2,4)处的切线方程; (2)求满足斜率为 1 的曲线的切线方程.

4 10.若函数 f(x)=ax3-bx+4,当 x=2 时,函数 f(x)有极值- . 3 (1)求函数 f(x)的解析式; (2)若关于 x 的方程 f(x)=k 有三个零点,求实数 k 的取值范围.

11.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线 y=f(x)在点 x=1 处的切线为 l:3x-y+1=0, 2 若 x= 时,y=f(x)有极值. 3 (1)求 a,b,c 的值; (2)求 y=f(x)在[-3,1]上的最大值和最小值

12.已知 a∈R,函数 f(x)=(-x2+ax)ex(x∈R,e 为自然对数的底数). (1)当 a=2 时,求函数 f(x)的单调递增区间; (2)若函数 f(x)在(-1,1)上单调递增,求 a 的取值范围; (3)函数 f(x)能否为 R 上的单调函数,若能,求出 a 的取值范围;若不能,请说明理由.

专项训练 1. 曲线 y=- 2.

导数(2)

1 3 2 x +2x -6 在 x=2 处的导数为_____________ 4

2.函数 y ?

1 ? 2 ln x 的单调减区间为___________. x

3.函数 f(x)=x3+ax2+3x-9,已知 f(x)在 x=-3 时取得极值,则 a=________.

4.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+a2 在 x=1 处取极值 10,则 f(2)=________

5. 过原点作曲线 y=ex 的切线,则切点的坐标为___

,切线的斜率为

___.

4 6.设 p:f(x)=x3+2x2+mx+1 在(-∞,+∞)内单调递增,q:m≥ , 3 则 p 是 q 的_______ _条件.

7.函数 f(x)=-x3+x2+tx+t 在(-1,1)上是增函数,则 t 的取值范围是________.

8 .若函数 f(x) = ________.

4x 在区间 (m,2m + 1) 上是单调递增函数,则实数 m 的取值范围为 x2+1

9.已知曲线 y = x + x-2 在点 P0 处的切线 l1 平行于直线 4x-y-1=0,且点 P0 在第三 象限, ⑴求 P0 的坐标; ⑵若直线 l ? l1 , 且 l 也过切点 P0 ,求直线 l 的方程.

3

15.某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为 3 元,并且每件产品需向总公司交 3 元 的管理费,预计当每件产品的售价为 x 元( 7 ? x ? 11 )时,一年的销售量为 (12 ? x) 2 万件. (1)求该分公司一年的利润 L (万元)与每件产品的售价 x 的函数关系式; (2)当每件产品的售价为多少元时,该分公司一年的利润 L 最大?并求出 L 的最大值.

10.(14 分)(2010· 湖北)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗, 房屋的屋顶和外墙需要 建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万 元.该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位:万元)与隔热层厚度 x(单位:cm)满足关系:C(x) k = (0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为 8 万元,设 f(x)为隔热层建造费 3x+5 用与 20 年的能源消耗费用之和. (1)求 k 的值及 f(x)的表达式; (2)隔热层修建多厚时,总费用 f(x)达到最小,并求最小值.


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