当前位置:首页 >> 数学 >> 高二数学解三角形精讲精练

高二数学解三角形精讲精练


贾老师数学

高中数学精讲精练系列

第一课时:正余弦定理及解三角形
1.课本知识梳理:
1.1.正弦定理:设 ? ABC 的三个内角 A、B、C 的对边分别为 a 、b、c,R 是 ? ABC 的外接圆半径。 1.1.1.正弦定理: = = =2R。 1.1.2.证明正弦定理成立 1.1.2.1.证明正弦定理在直角三角形中成立

1.1.2.2.证明正弦定理在锐角三角形中成立

1.1.2.3.证明正弦定理在钝角三角形中成立

1.1.3.正弦定理的三种变形形式: ① a ? 2 R sin A , b ? ,c= ② sin A ?
a , sin B ?

。 , sin C ? 。

2R ③a :b :c ?

。 。 第三边。 , sin 2 ( A ? B ) = ; 。 = 。
电话: 15379046622 1

1.1.4.三角形中常见结论: ①A+B+C= 。② a < b ? ③任意两边之和 第三边,任意两边之差 ④ sin
A? B 2

=

, sin( A ? B ) ?



1.1.5. 运用正弦定理可以解决两类解三角形问题: ①已知两边和其中一边的对角,求 ②已知两角和其中一角的对边,求 1.1.6. S ? ABC = =

地址: 兰州市西固区福利路十二街区兰炼一中后面天憬缘小区 1#403

贾老师数学
1.2.余弦定理: 1.2.1.余弦定理:三角形中任何一边的 倍,即 a = 1.2.2.证明余弦定理成立
2

高中数学精讲精练系列
等于其他两边的 ,c =
2



减去这两边与它们的 。







,b =

2

1.2.3.余弦定理的推论: cos A ?

, cos B ?

, cos C ?



1.2.4.运用余弦定理可以解决两类解三角形问题: ①已知三边,求 ②已知 和它们的 ; ,求第三边和其他两个角。

1.3.正弦定理和余弦定理综合问题 1.3.1.利用正、余弦定理可判断三角形的形状,其途径通常有两种: ①将已知条件统一化成 ②将已知条件统一化成 1.3.2.三角形中常用面积公式: ①S ? ②S ?
1 2 1 2 ah a ( h a 表示 ab sin C ?

的关系,用代数方法求解; 的关系,用三角方法求解。

) ; = 。

1.3.3.解斜三角形通常有下列四种情形: ①已知“一边和二角(如 a , B , C ),则可由 A+B+C=180°,求角 A,再由 ” 此时 S ? ?
1 2 ac sin B 在有解时只有

定理求出 b 与 c。

解。 定理求第三边 c,再由
1 2 ab sin C 在有解时只有

②已知“两边及夹角(如 a , b , C ) ” ,则可由 角,再由 A+B+C=180°求出另一角。其中 S ? ? ③已知“三边(如 a , b , c ) ” ,可用
S? ? 1 2 ab sin C 在有解时只有

定理求出小边所对的 解。 求出角 C。其中

定理求出角 A,B,再利用 解。

④已知“两边和其中一边的对角(如 a , b , A ) ” ,可由 再利用 定理求出边 c。其中 S ? ?
1 2 ab sin C 可有

定理求出角 B,由 A+B+C=180°,求出角 C 解、 解或 解。
电话: 15379046622 2

地址: 兰州市西固区福利路十二街区兰炼一中后面天憬缘小区 1#403

贾老师数学
1.4.基本知识回顾:回顾必修四知识点 1.4.1.特殊角的三角函数值 角度 弧度 Sin? Cos? Tan? cot? 1.4.2.三角函数诱导公式 2k ? + ? Sin Cos 1.4.3.两角和与差的三角函数、倍角公式与半角公式 Sin(A+B)= Cos(A+B)= Tan(A+B)=
a sin A ? b cos B ?

高中数学精讲精练系列

0?

30?

45?

60?

90?

120?

135?

150?

180?

-60?

-30?

? -?

? +?

-?

?
2

+?

?
2

-?

? -

?
2

3? 2

+?

3? 2

-?

Sin(A-B)= Cos(A-B)= Tan(A-B)= Sin2A= Tan2A= cos
A 2 A 2

Cos2A= Sin
A 2

=

=

tan

=

1.5. 应用举例:在解决与三角形有关的实际问题时,经常出现一些有关的名词、术语,如仰角、俯角、 方位角、方向角、铅垂平面、坡角、坡比等。 ①铅垂平面:是指与海平面 的平面。 ②仰角与俯角:在同一铅垂面内,视线与水平线的夹角,当视线在水平线之上时,称为 角;当视线在 水平线之下时,称为 角。 ③方位角:从正北方向线 时针到目标方向线的水平角,或称北偏 多少度。 ④方向角:从 方向线到目标方向线的水平角,如南偏西 60?,指以正南方向为始边,顺时针方向 向西旋转 60?。 ⑤坡角: 与水平的夹角。 h ⑥坡比:坡面的 与 之比。即 i ? ? tan ? (? 为坡角, i 为坡比) l

2.基础自测:
1.在△ABC 中,已知 a=5 2 , c=10, A=30°, 则∠B= (A) 105° (B) 60° (C) 15° (D) 105°或 15° ( )

2.在△ABC 中,若 a=2, b=2 2 , c= 6 + 2 ,则∠A 的度数是 ( ) (A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 75° 3.在△ABC 中,已知三边 a、b、c 满足(a+b+c)·(a+b-c)=3ab, 则∠C=( ) (A) 15° (B) 30° (C) 45° (D) 60° 4.边长为 5、7、8 的三角形的最大角与最小角之和为 ( ) (A) 90° (B) 120° (C) 135° (D) 150° 5.在△ABC 中,∠A=60°, a= 6 , b=4, 那么满足条件的△ABC (A) 有 一个解 (B) 有两个解 (C) 无解 (D)不能确定 6.在平行四边形 ABCD 中,AC= 3 BD, 那么锐角 A 的最大值为 (A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 75°
地址: 兰州市西固区福利路十二街区兰炼一中后面天憬缘小区 1#403

( ( )

)

电话: 15379046622

3

贾老师数学
7. 在△ABC 中,若
a co s A 2

高中数学精讲精练系列
=
b co s B 2

=

c co s C 2

,则△ABC 的形状是

(

)

(A) 等腰三角形 (B) 等边三角形 (C) 直角三角形 (D) 等腰直角三角形 8.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为( (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 由增加的长度决定



3.典型例题精讲精练:
例题 1-1.在△ABC 中,已知 a ? 5 2 , c ? 10 , A ? 30 ,则∠B 等于(
0



A. 105

0

B. 60 0

C. 15 0

D. 105 0 或15 0
13 ,则△ABC 的最小角为(

例题 1-2.在△ABC 中,已知 a ? 8 , b ? 4 3 , c ? A.



?
3

B.

?
4

C.

?
4

D.

?
12

练习 1-1.在△ABC 中,已知 b ?
6 ? 2 2 6 ? 2 2

2 , c ? 1, B ? 45 ,则 a 的值为
0





A.

B.

C. 2 ? 1

D. 3 ?

2

练习 1-2.在△ABC 中,已知 b ? 1, c ? 3, A ? 60 0 ,则 a ? _________ 例题 2.在△ABC 中,已知 a ?
6 , b ? 2 , A ? 60 ,则这样的三角形有_________个.
0

练习 2-1.在△ABC 中,已知 a ? xcm , b ? 2 cm , B ? 45 ,如果利用正弦定理解三角形有两解,则 x 的取
0

值范围是 ( A. 2<x< 2 2

) B. 2<x ? 2 2 C. x > 2 D. x < 2

练习 2-2.不解三角形,判断下列三角形解的个数 (1)a=5,b=4,A=120? ; (2)a=5,b=10,A=150? ; (3)a=9,b=10,A=60? ; (4)c=52,b=70,C=135? ; 2 sin A ? sin B 例题 3.在△ABC 中,若 a : b : c ? 1 : 3 : 5 ,求 的值. sin C 练习 3-1. 在△ABC 中,若 sinA:sinB:sinC=2:3:4,则角 B 的余弦值是_________ 练习 3-2. 在△ABC 中,角 A、B、C 对边分别为 a , b , c ,已知 b ? ac , 且 a ? c ? ac ? bc ,
2 2 2

(1)求∠A的大小; b sin B (2)求 的值. c 例题 4.在△ABC 中,AB=5,BC=6,AC=8,则△ABC 的形状是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C. 钝角三角形 D.非钝角三角形 练习 4.在△ABC 中,有 sinB=2cosCsinA,那么此三角形是( ) A.直角三角形 B.等边三角形 C. 等腰三角形 D.等腰直角三角形
地址: 兰州市西固区福利路十二街区兰炼一中后面天憬缘小区 1#403 电话: 15379046622 4

贾老师数学
0

高中数学精讲精练系列

例题 5.在△ABC 中,已知 b ? 5 , c ? 5 3 , A ? 30 ,求 a 、 B 、 C 及面积 S 练习 5. △ABC 的两边长分别为 3cm,5cm,夹角的余弦是方程 5 x 2 ? 7 x ? 6 ? 0 的根,求△ABC 的面积. 例题 6.在△ABC 中,已知 a ? 5 , B ? 105 0 , C ? 15 0 ,则此三角形的最大边长为_________ 例 题 7. 在 △ ABC 中 , ∠ A 满 足 条 件
3 sin A ? cos A ? 1, AB ? 2 cm , BC ? 2 3 cm , 则 ∠ A =

_________ ,△ABC 的面积等于_______ 例题 8-1. 海上有 A、B 两个小岛相距 10 海里,从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60°的视角,从 B 岛望 C 岛和 A 岛成 75°的视角,则 B、C 间的距离是( ) A.10 3 海里 B.
10 3 6

海里? C. 5 2 海里?

D.5 6 海里

例题 8-2. 一树干被台风吹断折成与地面成 30°角, 树干底部与树尖着地处相距 20 米, 则树干原来的高度? 练习 8.在湖面上高 h 处,测得云彩仰角为?,而湖中云彩影的俯角为?,求云彩高.

4.课时精炼:
1.在△ABC 中,若 a=50,b=25 6 , A=45°则 B= . 2.若平行四边形两条邻边的长度分别是 4 6 cm 和 4 3 cm,它们的夹角是 45°,则这个平行四边形的两 条对角线的长度分别为 . 3.在等腰三角形 ABC 中,已知 sinA∶sinB=1∶2,底边 BC=10,则△ABC 的周长是 。 4.在△ABC 中,若∠B=30°, AB=2 3 , AC=2, 则△ABC 的面积是 . 2 5.在锐角三角形中,边 a、b 是方程 x -2 3 x+2=0 的两根,角 A、B 满足 2sin(A+B)- 3 =0,求角 C 的 度数,边 c 的长度及△ABC 的面积。

cosA b 4 6.在△ABC 中,已知边 c=10, 又知 = = ,求 a、b 及△ABC 的内切圆的半径。 cosB a 3

7.已知在四边形 ABCD 中,BC=a,DC=2a,四个角 A、B、C、D 度数的比为 3∶7∶4∶10,求 AB 的长。

7 8.在△ABC 中,已知角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,边 c= ,且 tanA+tanB= 3 tanA·tanB- 3 , 2 3 3 又△ABC 的面积为 S△ABC= ,求 a+b 的值。 2
地址: 兰州市西固区福利路十二街区兰炼一中后面天憬缘小区 1#403 电话: 15379046622 5

贾老师数学

高中数学精讲精练系列

第二课时:解三角形 测试题
一、选择题 1.已知 A,B 两地的距离为 10 km,B,C 两地的距离为 20 km,现测得∠ABC=120° ,则 A,C 两地的距 离为( A.10 km 2.在△ABC 中,若 ). B.10 3 km
a cos A 2

C.10 5 km
c cos C 2

D.10 7 km ).



b cos B 2



,则△ABC 是(

A.等腰三角形

B.等边三角形

C.直角三角形

D.等腰直角三角形 ).

3.三角形三边长为 a,b,c,且满足关系式(a+b+c)(a+b-c)=3ab,则 c 边的对角等于( A.15° B.45° C.60° D.120°

4.在△ABC 中,三个内角∠A,∠B,∠C 所对的边分别为 a,b,c,且 a∶b∶c=1∶ 3 ∶2,则 sin A∶ sin B∶sin C=( A. 3 ∶2∶1 ). B.2∶ 3 ∶1 C.1∶2∶ 3 D.1∶ 3 ∶2 ).

5.如果△A1B1C1 的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2 的三个内角的正弦值,则( A.△A1B1C1 和△A2B2C2 都是锐角三角形 B.△A1B1C1 和△A2B2C2 都是钝角三角形 C.△A1B1C1 是钝角三角形,△A2B2C2 是锐角三角形 D.△A1B1C1 是锐角三角形,△A2B2C2 是钝角三角形 6.在△ABC 中,a=2 3 ,b=2 2 ,∠B=45° ,则∠A 为( A.30° 150° 或 B.60° C.60° 120° 或 ). D.30°

7. 在△ABC 中, 关于 x 的方程(1+x2)sin A+2xsin B+(1-x2)sin C=0 有两个不等的实根, A 为( 则 A.锐角 B.直角 C.钝角 D.不存在 ). D.3 3 ,则△ABC 一定是( ).

).

8.在△ABC 中,AB=3,BC= 13 ,AC=4,则边 AC 上的高为( A.
3 2 2
3

B.
3

3 3 2
3

C.

3 2

9.在△ABC 中, A.等边三角形

a +b -c a+ b- c

=c2,sin A·sin B=

3 4

B.等腰三角形

C.直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形

10.根据下列条件解三角形:①∠B=30° ,a=14,b=7;②∠B=60° ,a=10,b=9.那么,下面判断正
地址: 兰州市西固区福利路十二街区兰炼一中后面天憬缘小区 1#403 电话: 15379046622 6

贾老师数学
确的是( ).

高中数学精讲精练系列

A.①只有一解,②也只有一解. C.①有两解,②只有一解. 二、填空题

B.①有两解,②也有两解. D.①只有一解,②有两解.

11.在△ABC 中,a,b 分别是∠A 和∠B 所对的边,若 a= 3 ,b=1,∠B=30° ,则∠A 的值是 . 12.在△ABC 中,已知 sin Bsin C=cos2
A 2

,则此三角形是__________三角形.

13.已知 a,b,c 是△ABC 中∠A,∠B,∠C 的对边,S 是△ABC 的面积.若 a=4,b=5,S=5 3 ,求 c 的长度 . .

14.△ABC 中,a+b=10,而 cos C 是方程 2x2-3x-2=0 的一个根,求△ABC 周长的最小值

15.在△ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分别为 a,b,c,且满足 sin A∶sin B∶sin C=2∶5∶6.若△ABC 的面积为
3 39 4

,则△ABC 的周长为________________. .

16.在△ABC 中,∠A 最大,∠C 最小,且∠A=2∠C,a+c=2b,求此三角形三边之比为 三、解答题 17.在△ABC 中,已知∠A=30° ,a,b 分别为∠A,∠B 的对边,且 a=4=
3 3

b,解此三角形.

18.如图所示,在斜度一定的山坡上的一点 A 测得山顶上一建筑物顶端 C 对于山坡的斜度为 15° ,向山顶 前进 100 米后到达点 B,又从点 B 测得斜度为 45° ,建筑物的高 CD 为 50 米.求此山对于地平面的倾斜角

?.

(第 18 题) 地址: 兰州市西固区福利路十二街区兰炼一中后面天憬缘小区 1#403 电话: 15379046622 7

贾老师数学
(Ⅰ)求∠B 的大小; (Ⅱ)若 b= 7 ,a+c=4,求△ABC 的面积.

高中数学精讲精练系列

19.在△ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分别为 a,b,c,若 bcos C=(2a-c)cos B,

20.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,求证:

a ?b
2

2

c

2



sin ( A ? B ) sin C



地址: 兰州市西固区福利路十二街区兰炼一中后面天憬缘小区 1#403

电话: 15379046622

8


更多相关文档:

人教版数学解三角形

人教版数学解三角形_高一数学_数学_高中教育_教育专区。必修五第一章解三角形 1.1.1 正弦定理 如图,在 Rt△ABC 中,A=30°,斜边 c=2, 问题 1:△ABC 的...

高三数学精讲精练

高三数学精讲精练_数学_高中教育_教育专区。高三数学精讲精练附有答案 .... 2、解三角形 1 f ( x ) ? 3 sin x cos x ? cos 2 x ? , x ...

解三角形

解三角形_数学_高中教育_教育专区。正余弦定理,解三角形。适合高一复习及高三一...2 2 2 【精讲精练】(一)求边的问题 1、在 ?ABC 中,角 A, B, C 的...

必修五 解三角形练习题

必修五 解三角形练习题_高二数学_数学_高中教育_教育专区。必修五 解三角形练习题一、选择题 1.在△ABC 中,AB=5,BC=6,AC=8,则△ABC 的形状是( ) A....

解三角形

解三角形_高二数学_数学_高中教育_教育专区。一、 知识点复习 1、正弦定理及其变形 a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C ( R为三角形外接圆半径) ()...

2013届高考数学二轮突破知精讲精练专题2第7讲 三角函数...

百度文库 教育专区 高中教育 数学上传文档支持以下设备:扫二维码下载 AndroidiPhone...2013届高考数学二轮突破知精讲精练专题2第7讲 三角函数模型与解三角形的实际应用...

高中数学必修四精讲精练

高中数学必修四精讲精练_数学_高中教育_教育专区。...与直角三角形的大小无关, 任意角的三角函数大小只与...x 的实数解的个数. 5、观察正弦函数的图象,以下 ...

2013高中数学精讲精练 第三章 三角函数

2013高中数学精讲精练 第三章 三角函数 隐藏>> 2013 高中数学一轮复习考点 1...5 4 考点 6:解三角形例1. 【2012 高考真题全国卷理 17】 (本小题满分 ...

2013高中数学精讲精练算法初步与框图

2013 高中数学精讲精练 算法初步与框图【知识图解】...例 2.写出解方程 x2-2x-3=0 的一个算法. ...5.已知一个三角形的三边边长分别为 2、3、4,...

2013高中数学精讲精练 算法初步与框图

2013 高中数学精讲精练 算法初步与框图【知识图解】...例 2.写出解方程 x2-2x-3=0 的一个算法. ...5.已知一个三角形的三边边长分别为 2、3、4,...
更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com