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4.2-1指数函数的图象性质


动手操作 问题1: 一张白纸对折一次得两层,对折两次得4

层,对折3次得8层,问若对折 x 次所得层数为y,
则y与x 的函数关系是什么? 分析:把对折次数x与所得层数y列出表格:
次数 层数Y 1 2 2 4 =22 3 8 =23 4 16 =24 … … x

2x

名句体验 问题2: 庄子曰:一尺之棰,日取其半 ,万世不竭。

求取出木棒的长度Y与天数X的对应关系。
分析:把天数x与取出木棒长度y列出表格:
天数 取出木棒 长度Y 1 2 3 4 … … x

1 2

1 2 1 3 1 4 ? ( ) ? ( ) ? ( ) 2 2 2

1 4

1 8

1 16

1 X ( ) 2

从解析式的角度,理解函数模型

底数是常数,自变量x在指数位置。 能否用一个统一的式子表示上面函数? y=ax 这类函数又叫什么函数呢?

指数函数!

用数学语言下定义

如何科学定义指数函数?
一般地,形如 y ? a x(a?0,且a ?1)的函数叫做指数

函数,其中x是自变量 。
在本定义中要注意要点有? ⑴自变量:x在指数位置 ⑵定义域:R

⑶a的范围:0<a<1,a>1
⑷对应法则:y ? a
x

用数学语言下定义 为什么有限制条件:a?0,且a ?1?
(1)如果 ,这时对于 等,在实数范围内函数值不存在; , , 比如

(2)如果

(3)如果



,是个常值函数;

因此,a?0,且a ?1

牛刀小试 判断下列函数是否是指数函数

y?4

x

y?x
x

4

y ? (?4)

y?4

x

2

动手实践,合作交流 指数函数的图象是怎样的呢?
请同学们分两组分别画出下列函数的图象:

1 x y ? 2 和y ? ( ) 2
x

y ?3

x

1 ? ? 和 y ?? ? ? 3?

x

取值,列表
x … … -3 0.13 8 -2 0.25 4 -1 0.5 2 -0.5 0.71 1.4 0 1 1 0.5 1.4 0.71 1 2 0.5 2 4 0.25 3 8 0.13 … … …

y ? 2x
x

?1? … y?? ? ?2?
… … …

x

-2.5 0.06 15.6

-2 0.1 9

-1 0.3 3

-0.5 0.6 1.7

0 1 1

0.5 1.7 0.6

1 3 0.3

2 9 0.1

2.5 15.6 0.06

… … …

y ?3

x

1 x y?( ) 3

x

… … …

-3 0.13 8

-2 0.25 4

-1 0.5 2

-0.5 0.71
8

0 1 1

0.5 1.4 0.71

1 2 0.5

2 4 0.25

3 8 0.13

… … …

y ? 2x
?1? y?? ? ?2?
x

1.4
7

6

5

y?2

x

g?x? = 0.5x

4

3

2

1

-6

-4

-2

2

4

6

y ?3

x

x
x



-2.5

-2

-1

-0.5
16

0

0.5

1

2

2.5





?1? y ?? ? … ? 3?

0.06
15.6

0.1
9

0.3
3

0.6
14

1
1

1.7
0.6

3
0.3

9
0.1

15.6
0.06




1.7
12

10

1x g?x? = 3

()
-5

8

6

f?x? =

x 3

4

2

-10

5

10

数形结合,深入理解 ?思考:这两组图象有何共同特征?

1.定义域: 2.值域:

R

(0,+∞) 3.过定点 (0,1) 即x=0 时,y=1 4.a>1,R上是 增 函数 0<a<1,在R上是 减 函数

推广
对一般指数函数y=ax,其图象与性质有什么规律呢? 0<a<1
6

a>1
6

图 象
1
-4 -2

5
5

4
4

3
3

2
2

1

1
2 4 6
-4 -2

1

0
-1

0
-1

2

4

6

性 1.定义域: R 质 (0,+∞) 2.值域: 3.过点 (0,1)

即x=0 时,y=1

4.在 R上是 减 函数 在R上是 增 函数

0 . 8 ? 0 .1

例题学习,初步应用模型

例1.比较下列各题中两个值的大小 :
① ②

1.7 ,1.7

2.5

3

; ;

0.8?0.1 ,0.8?0.2

分析:运用对指数函数的图象及性质进行解答:直 接用性质,数形结合方法。

例题学习,初步应用模型

例2.某种放射性物质不断衰变为其他物质,
每经过一年它剩余的质量约是原来的84%,

画出这种物质的剩余量随时间变化的图象,
并从图象上求出经过多少年,剩余量是原

来的一半。(结果保留1位有效数字)
分析: 首先要找出剩留量与时间的函数关系,通过 恰当假设以及由特殊到一般的归纳得到

解:设这种物质最初的质量是1,经过x年, 剩余量是y: 则y ? 0.84x
x 0 1 0.84 2 0.71 3 0.59 4 0.50 5 0.42

y 1 0.5 0

y 1

由图象可以看出 y=0.5 只需x≈4。

4

x

1 答:大约经过4年剩余量是原来的 。 2

小结反思 本节课学习了哪些知识?
定义:y=ax (a>0,且a≠1)

指 数 函 数

图像与性质

当a>1时,增 当0<a<1时,减

应用 比较大小 实际应用


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