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宝安中学2013-2014高二理科数学“王子杯”竞赛题


2013-2014 宝安中学高二年级理科数学第一届

“王子杯”数学竞赛试题
命题:许世清 审题:周晓兰 蔡毅 陈少晗 本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷为 1-8 题,共 40 分,第Ⅱ卷为 9-17 题,共 80 分。全卷共计 120 分。考试时间为 90 分钟。 注意事项: 1、答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证

号、考试科目用铅笔涂写在答题纸上。 2、第Ⅰ卷、第Ⅱ卷均完成在答题纸上。 3、考试结束,监考人员将答题纸收回。

第Ⅰ卷

(本卷共计 40 分)

一.选择题: (每小题只有一个选项,每小题 5 分,共计 40 分)
1.命题“ 若ab ? 0则a ? 0或b ? 0 ”的逆否命题是 A 若 a ? 0 或 b ? 0 则 ab ? 0 C 若 ab ? 0 则 a ? 0 或 b ? 0 B 若 a ? 0 且 b ? 0 则 ab ? 0 D 若 ab ? 0 则 a ? 0 且 b ? 0

2.等比数列 ? an ? 中,已知 a1 ? a2 ? 324 , a3 ? a4 ? 36 ,则 a5 ? a6 = A1 B2 C3
2

D4

3.条件 p :| x |? x ,条件 q : x ? x ,则

p是q 的

A、充要条件 B、既不充分也不必要条件 C、必要不充分条件 D、充分不必要条件 4.在△ABC 中,已知 2 sin A cos B ? sin C ,那么△ABC 一定是 A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形
2 2 5.设双曲线以椭圆 x ? y ? 1 的长轴的两个端点为焦点,其准线过椭圆的焦点,则双曲线的渐近 25 9 线的斜率为

A.

?2

B.

?

4 3

C.

?

1 2

D.

?

3 4

6.某工厂的年产值第二年比第一年的增长率为 p1,第三年比第二年的增长率是 p2,而这两年 中的年平均增长率为 p,在 p1+p2 为定值的情况下,p 的最大值是 A.

p1 ? p2 ? 1 3

B.

p1 ? p2 2

C.

p1 ? p2 ? 1 3

D.

p1 ? p2 2

1

7.椭圆 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 10 的准线方程是 A x??

25 3

B x??

25 4

C x??

5 3

D x??

5 4

8.已知 a ? 0 , b ? 0 ,且 ab ? 1 , ? ? a ? A、 8 B、 9 C、 10 D、 12

4 4 , ? ? b ? ,则 ? ? ? 的最小值为 a b

第Ⅱ卷

(本卷共计 80 分)

二、填空题: (每小题 5 分,共计 20 分)
9.在等差数列 ?a n ?中,公差 d =1, a 4 ? a17 =8,则 a 2 ? a 4 ? a6 ? ? ? a 20 = 10.若直线 l 过抛物线 y ? ax (a>0)的焦点, 并且与 y 轴垂直, l 被抛物线截得的线段长为 若 4,则 a=_______
2

11.对于问题: “已知关于 x 的不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集为 ?? 1,2? ,解关于 x 的不等式
2

,给出了如下一种解法: ax2 ? bx ? c ? 0 ”
2 解析:由 ax ? bx ? c ? 0 的解集为 ?? 1,2? ,得 a?? x ? ? b?? x ? ? c ? 0 的解集为 ?? 2,1? ,
2

即关于 x 的不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集为 ?? 2,1? .
2

参考上述解法, 若关于 x 的不等式

1? ?1 ? k x?b ? 则关于 x ? ? 0 的解集为 ? ?1, ? ? ? ? ,1? , 3? ? 2 ? x?a x?c ?


的不等式

kx bx ? 1 ? ? 0 的解集为 ax ? 1 cx ? 1

2 2 12.已知方程 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? k | x ? y | (k ? R ) 表示的曲线是抛物线,则实数 k 的值等



2

三、解答题: (每题 12 分,共计 60 分)
13. 在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 a+b=5,c= 7 ,且

A? B 7 ? cos 2C ? . 2 2 (1)求角 C 的大小; 4 sin 2
(2)求△ABC 的面积.

14.若不等式(1-a)x2-4x+6>0 的解集是{x|-3<x<1}. (1)解不等式 2x2+(2-a)x-a>0; (2)b 为何值时,命题“ ?x ? a, (a-2)x2+bx+3-b<0”的是假命题?

15.定义在 (??,3] 上 的减函数f ( x)满足:f (a ? sin x) ? f (a ? 1 ? cos x) 对一切实数 x
2 2

恒成立,求实数 a 的取值范围。

3

16. 设函数 f ( x) ?

1 2 1 3 x ? x ? ,对于正数数列 ?an ? ,其前 n 项和为 S n ,且 Sn ? f (an ) , 4 2 4

(n ? N ? ) .
(1)求数列 ? an ? 的通项公式; (2) 是否存在等比数列 ?bn ? , 使得 a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn ? 2
n ?1

(2n ? 1) ? 2 对一切正整数 n

都成立?若存在,请求出数列 ?bn ? 的通项公式;若不存在,请说明理由.

17.已知点 F ? 0,1? , 直线 l :y ? ?1 ,P 为平面上的动点, 过点 P 作直线 l 的垂线, 垂足为 Q ,

QF ? FP?FQ . 且 QP?
(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)已知圆 M 过定点 D ? 0, 2 ? ,圆心 M 在轨迹 C 上运动,且圆 M 与 x 轴交于 A 、 B 两点,设 DA ? l1 , DB ? l2 ,求

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

l1 l2 ? 的最大值. l2 l1

y

P F 0 Q

x

4

答案: 选择题 BDDB 填空题:9.45

CBAC 10.

1 4

11. (?3, ?1) ? (1, 2)

12.

2 2

解答题: 13. 解:∵A+B+C=180°

A? B 7 C 7 …………1 分 ? cos 2C ? 得4 cos2 ? cos 2C ? 2 2 2 2 1 ? cosC 7 ∴4? ………………3 分 ? (2 cos2 C ? 1) ? 2 2 1 2 整理,得 4 cos C ? 4 cosC ? 1 ? 0 …………4 分 解得: cosC ? 2 ∵ 0? ? C ? 180 ? ∴C=60° ………………6 分
由 4 sin 2 (2)由余弦定理得:c2=a2+b2-2abcosC,即 7=a2+b2-2ab …………7 分 ∴ 7 ? (a ? b) ? 3ab =25-3ab ? ab ? 6
2

……5 分

10 分

∴ S ?ABC ?

1 1 3 3 3 ab sin C ? ? 6 ? ? 2 2 2 2

…………12 分

14. 【解】 (1)由根与系数的关系解得:a=3.????????3 分 所以不等式变为:2x2-x-3>0, 3 解集为: (-∞, -1)∪( , +∞).????????6 分 2 (2)由题意知: ?x ? 3, 不等式 x2+bx+3-b≥0 恒成立,??????8 分 变形得 b ? ?

x2 ? 3 , x ?1

x2 ? 3 t 2 ? 2t ? 4 4 ?? ? ?(t ? ? 2) ? ?6 ????11 分 设 x ?1 ? t ? 2 , ? x ?1 t t
所以当且仅当 t ? 2 即 x ? 3 时, (?

x2 ? 3 ) max ? ?6 ,故 b ? ?6 .????12 分 x ?1
2 2

15. 解:要使原不等式恒成立,只要 a ? 1 ? cos x ? a ? sin x ? 3 恒成立??2 分 由 a ? 1 ? cos x ? a ? sin x ? a ? a ?
2 2 2

9 1 ? ?(sin x ? ) 2 恒成立 4 2

得 a2 ? a ?
2

9 1 9 ? [?(sin x ? )]max ? 0 ? a 2 ? a ? ? 0 ? ? ? ? ? ?(1) 4 2 4 ????5 分
2 2

由 a ? sin x ? 3 恒成立 ? a ? 3 ? (sin x) min ? ?1 ? a ? 3 ? ?1 ????8 分

9 ? 2 1 ? 10 ?a ? a ? ? 0 ?? ?? 2?a? 4 2 ?a 2 ? 3 ? ?1 ?
5

故所求 a 的取值范围是 [? 2 ,

1 ? 10 ] 2
????????12 分

1 1 3 ? 16. 解: (1)由 f ( x) ? x 2 ? x ? , S n ? f (an ) , (n ? N ) 4 2 4 1 2 1 3 (n ? N ? ) 得 Sn ? an ? an ? ① 4 2 4 1 2 1 3 ② Sn ?1 ? an ? 1? an ? 1 ? , 4 2 4 1 2 1 1 2 即 ………3 分 an?1 ? Sn?1 ? Sn ? (an?1 ? an ) ? an?1 ? an , 4 2 2 1 2 1 2 即 (an ?1 ? an ) ? (an ?1 ? an ) ? 0 , 4 2


(an?1 ? an )(an ?1 ? an ? 2) ? 0

∵ an > 0 ,∴ an ?1 ? an ? 2 ,即数列 ? an ? 是公差为 2 的等差数列,……5 分 由①得, S1 ? a1 ?

1 2 1 3 a1 ? a1 ? ,解得 a1 ? 3 , 4 2 4
………7 分

因此 ,数列 ? an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 1. (2)假设存在等比数列 ?bn ? ,使得对一切正整数 n 都有

a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn ? 2n?1 (2n ? 1) ? 2
n

③ ④

当 n ? 2 时,有 a1b1 ? a2b2 ? ? ? an ?1bn ?1 ? 2 (2n ? 3) ? 2 ③-④,得

anbn ? 2n ( 2 ? 1 ) n ,
n

由 an ? 2n ? 1得, bn ? 2
1

………………11 分

又 a1b1 ? 6 ? 2 (2 ?1 ? 1) 满足条件, 因此,存在等比数列 2

? ? ,使得 a b ? a b
n

1 1

2 2

? ? ? anbn ? 2n?1 (2n ? 1) ? 2 对一切正整数
…………………12 分

n 都成立.
17. (1)解:设 P ? x, y ? ,则 Q ? x, ?1? ,

QF ? FP?FQ , ∵ QP?
∴ ? 0, y ? 1?? ? x, 2 ? ? ? x, y ? 1?? x, ?2 ? . ? ?
2 即 2 ? y ? 1? ? x ? 2 ? y ? 1? ,即 x ? 4 y ,

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

2

6

所以动点 P 的轨迹 C 的方程 x ? 4 y . ??????4分
2

(2)解:设圆 M 的圆心坐标为 M ? a, b ? ,则 a 2 ? 4b . 圆 M 的半径为 MD ? a 2 ? ? b ? 2? .
2
2 圆 M 的方程为 ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? a ? ? b ? 2 ? . 2 2 2 2 2 令 y ? 0 ,则 ? x ? a ? ? b ? a ? ? b ? 2 ? , 2 2



整理得, x 2 ? 2ax ? 4b ? 4 ? 0 . 由①、②解得, x ? a ? 2 . 不妨设 A ? a ? 2, 0 ? , B ? a ? 2, 0 ? , ∴ l1 ? ∴



? a ? 2?

2

? 4 , l2 ?

? a ? 2?

2

?4 .

l1 l2 l12 ? l2 2 2a 2 ? 16 ? ? ? ????????????8分 l2 l1 l1l2 a 4 ? 64

?2

?a

2

? 8?

2

a 4 ? 64

? 2 1?

16a 2 , a 4 ? 64



当 a ? 0 时,由③得,

l1 l2 16 16 ? ? 2 1? ≤2 1 ? ?2 2. 64 l2 l1 2?8 2 a ? 2 a

当且仅当 a ? ?2 2 时,等号成立. 当 a ? 0 时,由③得,

l1 l2 ? ?2. l2 l1

故当 a ? ?2 2 时,

l1 l2 ? 的最大值为 2 2 . ??????????12分 l2 l1

7


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