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探究芝诺悖论——阿喀琉斯能否追上乌龟


2 0 1 2年第 l 2期 

l 7  

探  究  芝  诺  悖  论  
— —

阿 喀琉斯 能 否追 上 乌龟 
金 禹 含 
( 北京四中高二 ( 1 3 ) 班, 1 0 0 0 3 4 )  

中图分类号 : 01 4 4 . 2  
<

br />文献标识码 : A  

文章编号 :1 0 0 5— 6 4 1 6 ( 2 0 1 2 ) 1 2— 0 0 1 7一 叭 

在 人 教 版高 中数学 标 准 实验 教 材 … 中,  

判 断人 和乌龟 的位 置 关 系 , 不妨 假 设 在 人 的 

介 绍 了古 希 腊数 学 家 芝诺 提 出 的一 个 悖 论 :   阿 喀琉斯 追不 上 乌龟 ( 阿 喀琉 斯 是 希腊 传 说  中的擅 于跑 步者 ) .   芝诺 提 出 , 如果 让乌龟 先 跑一段 路程 , 阿 
喀 琉斯将 永远 追不 上乌龟 .  

身后 有 一匹 马 , 马、 人 和 乌龟 在 一 条 直线 上 ,  
向同一 方 向跑 ; 马的速度 和人一 样 , 马和人 之 

间的距 离一 直 为 . 这样 , 马一 直 在 人 身 后 ,   马也在 追乌龟 , 马 和 乌龟 之 间 的初 始 距 离 为 
+ d ( 女 口图 1 ) .  

这是 因为 , 阿喀 琉斯要 想追 上乌 龟 , 就 必  须 先跑 到乌 龟 开始 起 跑所 在 的位 置 , 无 论 阿  喀 琉斯跑 得 多快 , 当他 追 到 乌龟 起 跑 的位 置  时, 乌龟 又 已经跑到 前 面去 了 , 这样 的 问题 无  限次地 出现. 因此 , 阿喀琉 斯 和乌龟 之 间的距 

簿  
d  
1  

如 前所述 马 要 想 追 上 乌龟 , 必 须 先 到 达  乌龟开 始起 跑 所 在 的位 置 , 并 且 马 能够 到 达 
乌龟开 始起 跑所 在 的位 置.  

离尽管越来越短 , 却一直存在.   很 多人 力 图证 明 芝诺 的论 证 是 错 误 的 ,  
但 一直 没能解 决.  
在数 学 上 , 直 到用 了 “ 无 穷 级 数 的 和 是 

由假设 知乌 龟 和 人 、 乌 龟 和 马 的速 度 之 
比都为 k ( 0<k <1 ) . 当 马跑 到乌 龟开 始起 跑  所在的位置时, 马跑 过 的路 程 为  +d , 同一 

有 限 的” 这一方 法 , 才 证 明 了 阿 喀 琉 斯 跑 过  的路程 之和是 一个 有 限的数. 因而 , 可 以在有  限 的时间 内跑完并 追上 乌龟.   解 决此 悖论 实 质 上是 要 回答 问 题 : 阿喀  琉 斯如 何 能 够 经 过无 穷 多 段 路 程 而 追 上 乌  龟. 那么, 除 了采用 “ 无 穷级 数 ” 的方法 外 , 是 
否 还有其 他 的数学方 法 呢?   要 回答此 问题必 须从芝 诺 给出 的前提 条 

时间 内, 人 跑 过 的路 程 为  +d , 乌龟 跑 过 的 

路程为 k (  + d ) . 此时 , 人和乌龟 之 间的距  离 为 
Y = d+   (  + d ) 一 (  + d ) =( k 一 1 ) x+ k d.   显然 , y是 关 于  的 一 次 函数 , k一1 、 k d  

件 出发. 芝 诺认 为 , 阿喀琉斯 要想 追上 乌龟 就  必 须先 到达 乌龟开 始起跑所 在 的位置 .  
假定 人 和 乌龟 之 间 的初 始 距 离 为 d , 乌 

龟 和人 的速度 之 比为 k ( o<k<1 ) . 为 了清 晰 
收稿 日期 : 2 0 1 2— 0 8—1 6 修 回日期 : 2 0 1 2~1 0— 2 0  

都是常数 , 定义域为 > 0 .   又根 据一 次 函数 的性 质及 一1< k一1< 0   和k d> 0 , 知 当  增 大时 , Y减小 ; 当  为某 一  正 数 。 时, Y为 0 ; 当  >   时, Y为 负.   这表明 , 必存 在某一正数 ‰, 当人 和 马  之 间 的距 离 为 ‰ 时 , 则在 马跑 到 乌龟 开始 起  跑 的位 置那一 时 刻 , 人 刚好追 上 了乌龟.   ( 下转 第 2 5页)  

2 0 1 2年第 1 2期 

故积 1   1 分一定能够确保进人前四名.   三、 I . ( I ) 由  

A、 D、 B、 F四点 共 圆.   同理 , A、 D、  、 E四点 共 圆.  
故 A、 D、 日、 E、 F五点 共 圆.  
由A D= A F  
DEC =   FEC 

』 Y =  ,  
消去 Y得 

【 Y =( k + 2 )  一( 2 k 一 1 ) ,  


( k+ 2 )  +( 2 k一1 )= 0 .   因 △=( k+ 2 )  一 4 ( 2  一1 )   k   - 4 k+ 8=( k一 2 )  + 4> 0 ,  


C E平分  D E F .   同理 , C F平 分  E F D .   因此 , C是 △ D E F的 内心.  

所 以, 该抛 物线 与直线 恒有 两个不 同的交点.   ( 2 ) 由( 1 ) 及根 与系 数 的关 系得 
1+戈 2=k+2, X1  2=2 k—1 .  

3 . 黑板 上剩 下 的所有数 的乘 积 的个 位数  是1 , 则从 1 0~9 9之 间 的所 有 偶 数 必 被 擦 

消去 k 得 
1  2—2  1—2 x2= 一5  

去, 个位是 5的数一定也被擦去.   从而 , 剩 下 的数 的个 位 一 定 是 1 、 3 、 7 、 9  
之一 .  

(  1 — 2 ) (   2 — 2 ):一1 .   不 妨设 l <   2 . 则 

注意 到 , l 1   X   1 3   X   1 7×1 9的个 位 数 字是  9 . 同理 , 2 1   x 2 3   x 2 7 ̄ 2 9 , …, 9 1   x 9 3   x 9 7   x 9 9的 

f 【  2 = - 1 , j』 -  l ,  
2 — 2= 1   【   2 = 3 .  
于是 , k= 2 .  

个位 数字也 是 9 . 于是 , 上述 所 有 数乘 积 的个  位数 字 为 9 .  

2 . 如图 4 , 联结 A D、 A F、 B D、 B E .  

因此 , 为了使黑板上所有数乘积的个位 
数字 为 1 , 至少 还应 该擦 去一个数 .   又 只要 擦 去 l 0— 9 9之 间 的所 有 偶 数 和  个位 数字 是 5的数 以及  个个 位数 字是 9的  数, 比如 1 9 , 就 能 使 所 剩 下 的数 的乘 积 的个  位数 字是 1 .  

图4  

则  A F C=   A C F=1 8 0 。 一   A C B  


因为 1 0~ 9 9之间的所有偶数共 4 5个 ,   个 位数 字是 5的数 共 有 9个 , 所以 , n的 最小  值为 
4 5 +9+1=5 5 .  

1 8 0。一  

ADB 

j 

AF B+   A DB =1 8 0 e  

( 李昌勇 提供)  
证 明 了阿喀 琉斯可 以追 上乌龟 .  
参考文献 :  
[ 1 ] 高存 明, 万庆炎 , 王人伟
教育 出版社 . 2 0 0 7 .  

( 上接 第 1 7页 )  

虽 然按 照芝诺 所说 人追 乌龟必 须经 过无  穷多段路程 , 但这无穷多段路程的和 , 与同一  时 间 内马跑 到乌龟 开始起 跑 的位置 所跑 过 的  路 程相 等 , 这 段路 程 的长 度是 ‰ + d .   对 于这样 一 段 有 限 的路 程 , 人 当然 可 以  在有 限 的时 间 内跑 完并追 上 乌龟.  
JL  

等.普通高 中课 程标准实 

验教科 书数学 5 必修 B版( 第 2版) [ M] . 北京 : 人民   [ 2 ]   高存 明, 李建才 , 陈宏伯 教育 出版社 , 2 0 0 7 .  
[ 3] 贝尔.E .T .   著, 徐 源 译.数学 大师从芝诺 到  庞加莱 [ M] .上海科技教育出版社 , 2 0 0 4 .  

等.普通高 中课 程标准实 

验教科书数学 l 必修 B 版( 第3 版) [ M] . 北京 : 人民  

于是, 令Y = 0 , 计算出  。 =   .   1 一 
综上, 通过 “ 假设存在 一匹马” 的方法 ,   将求 无 穷级 数 的 和转 化 为求 一 个 有 限 的数 ,  

[ 4 ] 莫里斯 ? 克莱 因 著, 张理京 , 张锦 炎 , 江 泽涵
衬 = 。 2 0 0 2 .  

译.  

古今数学 思想 ( 第一 册 ) [ M] .上 海科 学技 术 出版 


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