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通向金牌之路


年第 期 ! 期 总 第

中 学物 理 教 学参 考



通 向 金 牌 之 路






第二讲

竞 赛中涉 及的 问题

高 中物 理 竞 赛辅 导 讲 座
张 大 同 ?特 级 教 师 #

,

华东 师 大 二 附 中

运 动学


脚一 翌
名汽

?








&

?

%

一。
(

这 是 一 个 有 关 。& 夕 的
刀 一 厂 一 ) 八?




?

二次方程

其判 别 式 为

一落兰

一 + 讨石

在 中学 教 学 大 纲 中 已 详 细 介 绍 过 匀 速 运 动 匀 变 速直线 运 动 平抛 运 动 圆周 运 动 等 基 本 内 容 这 里 不 再


式 的 解、


。 一





〔 令普 于 乎 讨
,
,
&

一 一


—人




?


这 里 仅介 绍 一 些 中学 教 学 大 纲 之 外 而 竞 赛中需要 的知 识 并 着 重 讨 论 一 些 解 题 思 路

?

一 叙述
〔 # 一

(

当 二 太 小时 ! ?
,

#

式 无 解 说 明 在 此情 况 下 小 球 不

,

(

运动 的 合 成 和分 解


可能越 过 ? % 墙 当 ! 二 。 时 是 小球 能 越过 墙 顶 的 最 小 的
会 有 两 个 夕 值都 能 经 过 墙 顶
)
&

式有 解 此 时的


,

便
,

?

(

因为 如 果

?



再大 便

将 一 些 新 碰 到 的 较 复 杂 的 问 题 分 解 成 几 个 我们
,

已经 比较熟 悉 的 比 较 简 单 的 问 题 这是 研 究 物 理 学 的
,

必 典一 里


一 、 一 ()

常用方 法
(

(

料抛运 动
,

根 据 运 动 的 独 立 性 经常把 斜抛 运
,
(





作 为 未 知 数 可以 解 得
,

动分解 成 水 平 方 向 的 匀 速 直 线 运 动 和 竖 直 方 向 的 上 抛
运动来处 理 但 有 时也 可 以 用 其 它 的 分 解 方 法




一 。二

不 下 了 不
&

舍 去 不 合理 解







、 ( 人十

石不 耳下


如图
+

?

所示 从
,
,

此时

。一

点以

, 。

的初 速 度



.

&

。一 、

了?

口一

卜广


&



抛出一 个 小 球 在 离
+
、 点水平 距离 为 处 有一 堵 高 度 为 ? 的

这 种 解 法 的 数学 要 求 较 高

换 一 种坐 标 取 卜

墙?% 要 求 小 球 能
,


图 ?



别 /

法 以
3

?



魂?

方向作为
&


,

(

图 4 )

这样


5

越过 ? 点 问 小 球 以
&

取 小球 在 运动 /
&



2

方向

怎 的角度 抛 出 才 能 使 样
,

,。

最 小0
?
,
&

五 作的 都 是 匀 变 速
,

,



先用 最 一 般 的 坐 标 取 法 以 月 点 作 为 原 点 水平 方向 ( + % 方 向 ) 作为 1 轴 竖 直 方向 作 为 2 轴 小球 的
,





都要
2

正 交 分解 到
丈、


图 4


运动方程 为

向 卜去 小 球 的 运 动
6 一 7
?? ?

8
,

,#9 # :
。:

#

?

;< 。

?

‘一




,



一=

方程 为

,

告 一 合
‘一


二 、 ,



,



, 、 ,



可 得 解
少 时
,。

??

:

夕一 岁 ‘ ? 4端9
Χ

#:

Α


,

这 是一 个 有 关 Β 和 认 的 函 数 关 系 需 要 求 Β

> 为多

Η
Κ

?





,

# Ι

:

Χ ?






。: ,<

。之

>

有 极 小 值 将> 式 改 写 成
&

2



刃 ?: , < ? ‘



Ι # :



5



:

:一Ε

Φ 4

( ΧΓ



) 夕 ?Α 蕊
,

当 小球 越 过 墙 顶 时

,

2

方向 的 位 移 为 零 由
,

式可得
?



?

,劝



玉? 口

要 巧 妙地 取 某 一 个 特 殊 的 参 考 系 即 可 使 问题 明 显 简 化
,
(

沁式 代 入 矛式

不#
/

.

#

0 1 只2

+刀
&
2
?



343 2 5

‘#





8

万 乒从 9


3

,

,6


让 我 们来看 下 面
?

二 个问题
(

(

7? 2
(

4 3

尹戈二 二万二 二
几,

如图
.
,

)

所示 存 同 一 铅


口乃 丫

+二三 ,.
&
? : 5


兀? : 5 2 ; : 5

垂 面 上 向图 示 的 二 个 方 向 以


犷一

、 7?



郎 <?

。#

一 3 :> ?5
?
?

. ,。

‘。 一 + 飞 、?



的初
,

+沂

搜犷仁
&
? : 5

护=


’ ‘

0 2

。”

2 ?








、7 ?

速 度抛 出



Α

两 个质 点 Β 句


、 ?

= ?,
,

2

少# 一

,

Α 相 跟 多远 Χ 这 题 可 以 取 一 个初 速 度 为 零 当 道

秒钟 后
&



?



Α

抛 出时 开 始 以 加
(






互 不 丽

? 5 & :

少 Δ 十 妙一 5. ?犷
,

速度


向下运 动的 参考 系 在这 个参 考 系 中
,

(

?
,



Α




.
?

Ε

2 ? = ? , 2 干 甲# 最 大 即 艺
,
(



有极 小值
杯 一 犷&
8
犷& 工&


? : 5 忍 ;: 5 ,


个质 点都 做 匀 速 直 线运 动 而 且 方 向互 相 垂 直 它 们之








。书 卜

Δ




Δ

万Φ , Γ





一万 ”

间的跄离
5Κ 。



了?

., ?

,

# + % ?.
,

,

Α,

# “一 + Λ

了 万>


(

Μ ++ ) >
(

尹 ?




5 ,?

犷、


在空 间 某一 点 刀 向 三 维 空间 的各 个 方 向 以 相 同
?
, 一 5 3? Χ #

甲? 3 卡5 =? 甲#
7?

8

? 3上
‘ .

少 #

#

射 出 很 多 个 小 球 求 ? 秒 之 后 这 些 小球 中离 得 最 远 的 二 个 小球 之 间 的 距 离 是 多少 ?假 设 ? 秒 之 内
的速 度 所有 小球都未 与 其 它 物 体 碰 撞 # Χ 这 道 题 初 看是 一 个 比 较 复杂 的 问 题 要 考 虑 向各 个 方向射 出 的小球 的情 况
,
(

Ν。

(

Δ 一 了订 气

Δ Δ

二 寸

Δ

?










? 4 Η

Ι%

了Ι

十产
(

#

(

但 如 果 我 们 取一 个 在 小 球 射 出 的 同 时 开 始 自1 点 自 由 下落 的 参 考 系 所 有 小球 就 都 始 终在 以
,

比 较 两 种 解 法 的 认 可 知 两 种 解 法 的 结 果是 相 同

1

点 为球 心

的 第 二 种 解 法对 数 学 的 要 求 略 低 意义 也明确 一些
再换

(

(



些 而 巳求 极 渡的
,
(

(

的球 面 上 球 的 半 径 是
,

.

? Λ

,

那 么 离 得 最 远 的两 个 小 球
( + 脚?

之 间 的 距 离 自然就 是球 的 直 径
.

种 观 念 将 斜抛 运 动 看 成 是

力 向的 匀 速
(

4

&

相 关的速度
,

当 绳端

育线 运 动 和 另 一 个 自 由落 体运 动 的合 运 动 在 位 移 兰 角形 ? ? Α 中 用 正 弦 定 理

在 做 既 不 沿绳 方 向 又 不 垂 直 于 绳 方 向 的运 动 时 一 般 要 将 绳 端 的 运 动分解 为 沿 绳
,




Φ

;<

?

、 <

;



Μ

;< (

?

一 月 ; 夕)

>
Α /
,、

方 向 和 垂 直 于 绳 方 向二 个分

由> 式 中 第 一 个 等 式 可 得 二

: 一 Χ? Ο <

运动 如 图
八?





所示 的 情 况 绳 。 拉 着物 体 在水平 面 上运
,

&

Φ

&



式代 入 > 式 中第 二 个 等
Χ
:

Ν



,

+

端 以 速度



做 匀 速运 动

,

Φ Α , 乙; < ? Ε Φ ?矛夕 ?

; < ( 。 Γ 月)






做什 么 运 动 0 有 的 同 学 会
?,
,

4诉
Θ

月 : < ; ( ? 十 召 Φ ?Χ ? ) , Χ: ;< 书 月
一9
# : 。Σ Φ

Χ: ; <

Π

。 将 绳 的 速 度 分 解成竖 直 分 速 ? : ,< ? 9 ‘ : ? 。 度 和 水 平 分速 度
,


&

水 弋


9 # ,



Τ


二9 # : ?


(
Τ









&

当 值
,

一 ?

(
,

) 夕一 尽 Α? 牛 月 有 极 大 )
Ρ一


( 4?

Δ

图 .
,

?

)

&

这 是 错误 的
? )。

? 时 即 4 Γ夕 ?


时 叭 有 极 小值
,

因 为 实 际 上 木 块 并 没 有 一 个 向 上 的 分速 应 该将 绳 端
?
,

实 际 上 的 水 平速 度
一,
,

分 解成 沿 绳 方 向 的分 速
, ?
Θ

一 因 为4 十 尽
‘ 一



5

&

4 斗





妙粤 4







? Ι# : ?

和 垂 直 于 绳 的分速
, ?

Χ 一 如:

< ?

,

, 二

使 绳子
二?

所以

缩短 所以


? 协
)
,



Θ

使 绳 子 围 绕滑 轮 转动 因 此
二。

&



万 一万 与第 二 种 解法 结 果 相 同 很 明 显 这 种 解 法 最 简 单 明

&




, 、

Ι 。、

( ?

, 。

) 训

而 跳
,

随着

?

的 增 大 而 越来 越 大
,


,

如 图 Υ 所 示 杆 八召 沿 墙 滑 下 + ? 二 端 的 速 度

了 从这

&



?)。

也 是 二 个 相关 的 速 度 将
,

&

, 、

分解 成 沿 杆 方 向
, 。

个一

题 多 解 中 可 说 明 一 个较 复 杂的 运 动可
&
,

?

,

按 不 同 的 观 念 分 解 成 不 同 的 两 个 运 动 分 得 合理 会 给

解题带来 一 些 方 便 斜抛 运 动 虽 然 是 一 个 比 较 复 杂 的 运 动 但 有 时 只
&

也 分 解成 沿 杆 的 分速 , 和 垂 直 于 杆 的 分 速 叭 将 + # , ? 的 分 速 , 和 垂 直 于杆的分 速 由于 杆 的长 度 不 会 ? 一 , 。 即 ? 、 9 # : ? 一 , : : ;< ? 发 生 变化 所 以 即
4 Χ
&

&

?

&

,

Ν ?

,

,

,

,



?

#

&

刀<

?



&

Ο

(

两 杆 交 点的 运 动


(

Ν :

两 杆 的交 点 同 时 参 与 了
(

杆 的运动 而 且 相对每
(

(

Μ

户 反9
花 一二 一
心以

Μ
,



Ν

宝 碳 十

十,Ν

3



,

0Λ 5 鱿 Ε 3 ? ?


(

一 根杆 还 有 自 己 的 运动 因 而 是 一 种 比 较 复 杂 的 运 动

不 难 看 出 经 过 ? 时 间 后 原 交点 在
(

上 的位 置

”,



Π

中的


? 0



Α?


两杆
,

之0

移 动 到 了 ? 位 置 因此 交 点 相 对
,

的位 移 就是 ?



均 以 角速 度 绕 ? Α 两 固 定轴 在 同 一 竖 直 面 内转 动 转 动 方 向如 图 示 当 2 一 2 时 一 口 ! Λ 试 求 ? 时刻
,
(



点 相对
Ν 3’

3,

的 速度就 是
,

一 ?万 % 石 尹# ? 石 呀
一?
Χ ,,



?

一 。

2 召、

。 二 ? & 。%
: 5

,


5

#?



8 ?Ν
<

3;

夕%

Ν .

两 棒 交 点 Θ 点 的速 度 和 加 速度
(

# ? 5 =? 夕
.

卜一
,

一一
2



用 同样的方法 可 以 求 出 交 点 相 对 3 的 速度
Ν ,‘

图 Π? # △? Α Θ 为 等 ? Θ 8 Α Θ 一 3 它 的 外 接 圆 半径 Ρ ? 边三 角形 因此 。 一 二 杆 旋转 过 程 中 角 增 大 的 角度 一 直
?

8 : 时
,

Μ ?

。诬

十Ν

. ;

: 5

,

夕 ? = : #
?
,

因 为 山 可 以 取 得 无 限小 因 此 上 述 讨 论 与

Θ :
?

(

一 等 于 夕 角减 小 的 角度 所 以 Θ 角的 大 小 始终 不 变 ?等
,




Ο
,

,

为 常量 无 关 如 果
.

(

Ν 、、 Ν .

是否 是 变 量 上 述 表 达 式仍 然 可 以
,
(

Ν Κ



Ν .

?

?







8

,













曰 ?



8

尹 ’

Φ



8



8

表达 二 杆 交 点 某 一 时 刻 的 即 时速度

于 ! 。 # 因 此 Θ 点 既 不 能 偏 向 圆 内也 不 能偏 向 圆 外
“ ,

,

Ν 3 Ν 和 如果 的方 向 不 是 与 杆 垂 直 这 个 问 题 应 该 如 何 解 决 Χ 读 者 可 以 进行进 一步 的讨 论
,
(

了 只 能沿 着 圆 周移 动 因 为 乙 材 口Θ 和 乙 入 八 Θ 是 对 着 ’ ,

?二 # 圆 周 运 动

同 一 段 圆 弧 ?对材 # 的 圆 心 角 和 圆 周 角 所 以 乙材 1 Θ

,



圆周 运 动 一 般 可 以 用 它 的运 动 轨 迹 半 径 动 的 线速度 Ν 或 角速 度 ?
。#

Ρ

和运
(

“ +匕
,

Θ ? 叼 即 Θ 以 + 。 的 角 速 度绕 运 动 任意 时 刻 ? 的速 度大 小恒 为
,

1

点做 匀 速 圆 周

来描 述
,

(

Ν

?或

。#

的大 小不

变 的 圆 周 运 动 称 为 匀 速 运动 否 则 称为 变 速 圆 周 运 动
,

Δ
Σ





+

一式

气乙似 Φ ?

向心 加速 度 的 大 小 恒 为
)




气乙仍 #



找?

再看 图
细杆 速度
3、
Ν ,

Τ ?2 #
,

和 和

+



自以 垂 直 于 自 己 的
,

— —


抓 丁田
护了
/

匀 速 圆 周 运 动 并 不 是 一 种 匀 速 运 动 因 为 它 的速 度 的

+

(

,

田 ?





,

一 平面 内 有 二 根


夕 又 二少

Π ?Υ #

方 向 一 直 在 变 也不是 一 种 匀 变 速 运动 因 为 它 的 加 速
,

Κ

度 的 方 向也 一 直 在 变 圆 周 运动 的 向心 加 速 度


(

一 Ν 艺 ? Ρ 一 田 , Ρ 一 刀田



这 个 公式 既 适 用 于 匀 速 圆 周 运 动 也适 用 于 变 速 圆 周运 动 对变 速 圆 周 运 动 来 说 除 了有 向 心 加 速度 之 外 还
, ,
(

Ν .

在 该 平 面 内运 动 试
(

有 切 向 加 速度 2 6 改 变 速 度 的方 向 2 改变速 度的 6 大 小 变速 圆 周 运动的 合 加 速 度
,
(

(

2 Ω

求交点 相 对 于 纸 平 面 的 速 率 及 交点相对 于 每 根 杆 的 速 率
? 参考 图 Τ Υ # 经过 时 间
,

2

Μ

2 、

%

2 二

圆 周 运 动也 可 以 分解 为 二

△?
,

个 互 相 垂 直 方 向上 的 分 运 动

(

移 动 到 了 3 的 位置 3 ’ < 和 3 的 移动到 了 3 的 位 置 置交于 2 点 和 交于 原位 之后
,

3,

, ‘

参看 图 时刻 从
Τ ?2 #
Ξ

,

一 个 质点 ?



?

一 1

(



.

正 方 向开 始 沿 圆 周
,

,



+ ’

逆 时 针方 向 做 匀 速 圆 周 运 动 在
Ξ

Λ



(

方向 Ψ
Δ



?。 , 一

= , / 一Ν 纽? 5 ? 5 又
, 3

(



Μ Ρ


; : 5田 才

石 尹8 硬

Ν ,

山?
. ‘+

= 5

?

:

?



(
2

Μ 一 刀 =?

田?

Μ 一仍Ρ 一
仍,

5

=? 田?
; : 5

在△《 刀
一+ 〔# 义
,



1
+








Μ 一

2 ;: 5

仍 4?
5

Ρ

仍4
5

次尹 一 更 刃
?

%


可沙
,





.

方 向上
Σ

.

Ζ

一Ρ

? = 、一Ρ
Ρ
? ?

: ?

1 1 , ?
,

Λ

要#


因为 少 角 和

; : 5

夕角互补


图 Τ ?Υ #

一 。 ? : 一, ?
,



似 ‘‘ ,一

2

犷 一;: Μ

5








了 .%
Ν

Κ%

,Ν,

Ν

, ;: 5





(



Ξ


Ζ

2 ? ?

‘ 田. ?

一[


: ?

‘ , 仍

合 一 # 晋
?

,



方 向 上 的 位 移 速 度 和 加 速 度 由 时 间 ? 表达
.
,

的参 数方 程 可 以 看 出 匀 速 圆 周运 动 可 以 分 为 两 个 互 相垂直 方 向 上 的 简 谐 振 动 它 们 的 相 位 相 差

因此两 杆交点 相 对 于 纸 平 面 的速度



将 一 般 的 曲线运 动分 成 很
短的 一段


段 那么每一段 都


,

可以看 成 是

段 很 短 的 圆弧
,
(

,

峭 刁燕 酬式

Χ



、 又3

]∴ ; 5Ζ

一 ? ; : 5 田?

改写 成

一 力0 1





哪一 万 少


只 要 将 曲 线分 得 足 够 短

这种

近 似 是 可 以 足够 好 的 如 图 Λ

即可 进 一 步 写 出 二 Ζ 二 个 Ν 2 方 向 的 速 度 和 加速 度
.

Ν二

中的 曲线
圆1 的




处的
(

段 可 看成



8 一 ? 田 =?
Δ
(

似?
Δ


1
Φ

Λ

小段 弧
1
.

处 的 一段

巧 8 一 石田 5 >
?




姚一万
田?


,

可看 成 是 圆
曲率 圆
?



( Φ , 段弧 圆
(

称为 曲 线 在
(

处的
(

2



8 一?
Δ

田 , ;:
。 一

5

Ρ

,

叫曲线



. 处 的 曲 率 半径 同 样 圆 1 称 为
(

(

2

,

8 一”“

? 。“ 气

曲 线 在 Α 处 的曲率 圆

Ρ

.

叫作 曲线

Α

处 的 曲 率半 径
,

明一 万 声


9

.

+

那 么在 长 轴端 点
Ν 2 ⊥ α 二 7落 ?




处 ?砚 一 。 # 的曲率半 径
+

不 难 理 解较 平 坦 的 曲线曲率半 径 较 大 较 弯 曲 的 曲 线

曲率半径较 小
,

(

ΒΜ ?Α 。 # ? ??
?。.


:

,

# 一Α , ? ?
.


将 曲线运 动 看作 是 由 无 限 多个 圆 周运 动 连 接 而 成
的 那 么 如 果 一 个质 点 沿 着 咖一 式中
Ν
(

在 短 轴 端点 β 处 附 7 _ ’
一 8
, 一




8
.

8



8



要 # 的 曲 率 半径 + 8 一

Φ





条 曲线 做 匀 速率 的运 动 它 在 某 一 点 的加速 度 自然 就 是
。+



,

? 内8 Β 乙
,

2 β

+ Β Μ ? 八田 #

?
,

?刀。 , # 二 八 + ? Α

(

再看 抛 物 线
(

Ζ

8 ?扩

要 求 其 任 意 一 点 的 铂 率半

?尸
(

径 因 为抛 物 线 可 以 写 作参 数 方 程
、夕 了 ∴ Φ Ψ 7

是 质 点的 速 率 是 曲线 该点的曲 率 半 径 在 数 学 中 只 要 知道 了 一 条曲线 的 方 程 便可 以 求
(





一川 _ ,上 山 1 一
(

,

2

出 曲线 上 任 何
,



点 的曲 率 半径 对

(



些 在 物理 学 中 常

见 的 曲 线 也 可 以 用 一 些特 殊 的 方法 来求 它 们 的 曲 率

其中

2

? ?+

Ν+

#8 ?

,

这 样就 可

半径

( ⊥
,

以导 出
才产 、

% 先 看 椭 圆 曲 线 琪 黑一 “ 目 Α 8 8 8 ? 率 半 径 介 绍 以 下 二 种方 法 ?3 将 椭 圆 看 成 是 半 #

“ _

要 求其 两 顶 点 处 的 曲
8


]ΣΖ一


, 3Σ

”。







.





,



< 、

4









、 ,



8

? 子

8

Β
.

“’

?

# 少

Ο


(

.

对 任意 一 个
Ν 2Ω

?


Ν

一 了Ν 盖 %
二2
?

一 % 早 杯Ν 若
(

?2 ? # +

径 在

Ρ 一 ? ?设 ? χ Α # 的 圆


? : 5

:一2

平面 上 的投 影 圆 平
,

生8

一一三些一 一 Ν % 2 + 了 只 ? ?#

平 面 的 夹角 足关 系式 ?图 #
面和 : ?
5

δ





所 以 这 一点 的 曲 率半 径
尸8
二 “ <2 Ω


一 ?Ν 若 %
,

。 ,? ,

#普 2 Ν 。 ?

奸 万一万

Α

Α



将 ? 一 Ξ 加 代入 可 得
Δ

设 一 个 质点以速率

Ν




2

Δ

,

,
(

(


甲 了工 !

,

+






?



尸一
,公



丁8



圆上 做 匀速 圆 周 运 动 则 向 心 加 速 度
,

一.

??


? 分下 刀!

因为

,? 8

2

? 端 所 以 抛 物 线 Ζ 一 ? 扩 上 任意 一 点 的 曲
,

从图
Χ


中 可以 看 出 当 质 点的 投影 在椭 圆的 长轴
,

率 半径
。一 ?3 % ) 八 , Ξ

轴 #上 的 ⊥

点 时 其 速 率 和 加 速 度 分别 为
。Ε

,

# 普 ?+ 通 # <

(


二Ν
,

二登
.

Χ

,

2

.

?



一?

,
,

?三 # 相 对 运 动

当 质 点 的 投 影 在 椭 圆 的 短 轴 ?Ζ 轴 # 上 的 β 点 时 其 速

运 动是 相对的 因 此在讨 论 一 个运 动 时 必 须 先 选
,

,

率和 加 速 度 分 别 为
Ν
,

定 适 当 的 参 考 系 在 一 般 的 情 况 下 人 们总 是 习愤 于将
沪一 Α
Ν ,
, ??

(

,

2

,

8

2 ; : 5

因 此 椭 圆 曲线 在
⊥ 夕 “.
,




点 和 β 点 的 曲率 半径 分 别 为

地 面 作为 参 考 系 但 在有 些 问 题 中 选 择相对 地 面 运 动 的 物体 作 参考 系 可 使 间 题 简化
(

,

,

, ?2 乏 8 Α ??
Ζ

如 果 有 一辆 平 板火 车 正 在行驶 速度 为

(

,

。火地

?脚 标

内一 爹 2 ?
?+ #

Ν

二? ?Α
,

火 地 表 示 火 车 相 对地 面 下 同 # 有 一 个 大胆 的驾驶

,
,
Δ

(

将 椭 圆 看 成 是 二 个简谐 振 动 的 合成 可 以 把 椭
,

员驾驶 着一 辆 小 汽 车 在 火 车 上 行 驶 相对 火 车 的 速 度

,



圆的 参 数 方程 ?设

?

? χ Α # 图
εΦ 二 ?


# +
? : 5



Ν 汽火

那 么 很 明 显 汽 车 相 对 地 面 的 速度 为

刃汽 火

(



Ν 汽地
.

%

Ν 火地

一 刀 Ε3?

_

?注 意

Ν 汽火



二火,

不 一 定 在 一 条 直线 上 # 如 果 汽 车 中

?



?

有 一 只 小 狗 以 相对 汽 车为
,

Ν 狗汽

的速度在 奔 跑 那 么 小
%

,

二 典型例 题
树 上 有 一 只猴 子 远 处 一 个猎 人持 枪 瞄 准 猴子 当 猎 枪击



狗相对 地 面 的 速 度 就是
别 殉地



?

,

,

8

Ν 绚汽
,

十Ν

汽火

Ν 火地

从 以 上 二 个 式中可看 到 列 相 对 运 动 的式 子要 遵守 以
下几条 原 则
&

发 时猴 子 看 见 枪 口 的 火 光 后 立刻 松

.

手 落下 ( 图

&

?Λ )

,

试求 当 子 弹的 速 度
,

> 合速 度 的 前 脚 标 与 第 一 个 分速 度 的 前 脚 标相
同 合速度 的后 脚 标 和 最 后 一 个 分 速 度 的 后 脚标 相 同
速度 的 前脚标相 同
& &

满 足 什 么 条件 时 子 弹 总 能 击 中猴 解法
Ο

前 面 一 个分 速 度的后 脚标 和 相邻的 后 面 一 个 分 ? 所有分速度 都 用 矢 量合成法 相 加 Ω 速 度 的前 后 脚 标 对 调 改变 符 号
,
&
&

以 地 面 为参 考 系 将

,

子 弹的运 动 看 成 水平方 向 ( 方 向 ) 1 的匀 速运 动和 竖
直 方 向 (2 方 向 ) 的
上抛 运动 的合运

图 ?Υ

以 上 求相 对 速 度 的式子也 同样 适 用 于 求 相 对 位移

份 Ξ八

和 相 对 加 速度

&

动 设 子 弹 离开 枪

,
。,

&

有 航行
,

+



?

两 艘船 在 大 海 中
, ,

时速度大 小为

+

船航 向正 东 船速 每 小
,
&

与水平面 的夹
, ,

时 巧 公里 ? 船 航 向 正 北 船 速 每小时 4 公 里 + 船 正 午 通 Σ
过 某一 灯 塔 ? 船下 午 二 点 也
,

中 口 南 Χ
&

角为 Σ 以枪 口 为 原 点 则 子弹 的 坐 标

1

图 ?Λ

通 过 同 一 灯 塔 问 什 么 时候 八


&

?



川 距 最 近 0 最 近 距离 是 多少 0
&


+
&

Ι 一, Τ

# :

Υ

,



?

,

。 :

< 、= 一




‘?

4

先 以 海 面 为参 考 系来考 虑这 个 间 题 正 午 时 刻

船在 灯 塔 ! 处
午后


,

?

设 猴 子 原 来离地 的高 度 是
则 猴子 的 坐 标
1
,

?

,

离枪



的水 平距 离 为



,

) 船 在 灯塔 正 南 Ρ 公 里 处 ( 图 ? Ρ Σ
)
4



小 时两 船 的距离
Δ Δ

一:

了 ( Ρ Σ 一 4Σ 了Υ 4Φ
4

Γ ( ?Φ )



了一 = 一

粤。



,

Υ # # Γ ?Υ Σ Σ

当 子弹 运 动 到
?

1
,

一?


Δ


,

Δ Φ
?

了4 Φ

一 Υ Ρ Γ ΥΡ

Δ
,

,

#

9 # :

:
<

, ?(

#

9 # :

?)
4

需要 求 的 极 小 值
=

? 4Φ
一 4Φ



Α

一 4 Φ Υ ‘Γ 4 Φ Υ
& &

此时


一?

‘“

?

?

,

( 一 ? 4 Β ) Γ Σ Ε 4 ?Υ
,
&

4

&

。一



&


,
4
&




Ν


、,

一 、一

粤 扩一

,

,



一 ? 4Β
&

:

有极 小 值

4Ρ Ψ Ζ

&

因 此 子 弹 能 击 中猴子 再看 要 击 中猴子 对 子 弹 的 初 速

,

也可以
&

+

船 为 参考 系来 考 虑



,



有什 么 要求 以 上 论述 都 以 猴 子 和 子弹未 落 地 为
,

这个问 题 因 为
,

前提 因 此 要 求
, 海+



,

[
,

。?
4

+ ? 一, 一,

?海

Γ 一
?、

,

,



“一


:


Φ4

“一
Α Γ?

?海
,

, + 海

告与 局

, 4[ Σ

,

由图 ? 知 Φ

厄耳 丁 石 大 小为 丫石 压
,

若 [


Μ

Α : ;< # 9 #


:
&

不不



Ψ Ζ ? ? / Δ 4Φ Ψ Ζ ? ? /

Σ
&

方 向为北偏西
,

图 ?Φ
+



[

所 谓以
,
,

+

为 参 考 系 也 就 是 认为

船 不动

&

?



以砌 运 动 那 显 然 是 当 ? 船 驶 到 % 点 ( + % 土 ? % ) 图 (
, Υ ? )时 +


仍然 以 地 面 为 参考 系 但将 子 弹 的 运 动 看成是与 地 面 成 口 角方 向 的 匀 速 直 线 运 动 和 竖 直方 向

解法

抨黔
Ο

,

?

二 船 相 距最 近 因 为
.4Ψ Ζ
下下 ; /
‘ ]
, ,

&

+ ? 一 Ρ Ψ Σ Ζ

,

、 乙+ ? 〔

# 的 自由落体 运 动 的合 运 动 前 者的位 移 是 ,
&

,

后者 的

二 .Λ

。,

所以 ? % Δ
Θ

+ % Δ 4Ρ Ψ Ζ


正 午 后所 需 时 间

Θ

,

Δ 万 七?

, ?人

Δ

.4

,


&



位 移是
,

?

?

乙匕< /





,

合 位移 就 是介 ( 图
,

?Β )

?



?

这段时间

两种方法 的结 果 相 同 但 后 一 种方法 的 计 算 过 程 明 显

要简单 一些

&

内 猴 子 下 落 的 距 离也 是 粤。 扩 ”所 以 子 弹 在 空 中显 然 目 叭 ? 一一 ” ? , ? ? 4 一 ? 是 能 打 中猴子 的 要 子弹 在 落 地 前击 中猴 子 则 必 须 有
『 “






_







尸 ’





‘ ’





&

,



Ρ?

&

,


了二 不 石
,

? & φ
,




停 止 问两 车是 否 会 发 生 碰 撞 Χ
,

因 为 在 △? 1 Α
,

: 中 Ν
,

?

?


专 毋
卜一


分 析 这 是 一 道 并 不 困 难 的有 关 追 赶 的 问 题 但常
,

.

容 易犯 如下 错 误

.


&

石石不 ? 、
5 ? %
+

。 [

乙 火车的 加 速 度

2

Ν



一 于 二若
+5
+

Λ 一+ Λ+

所以 要 求

”。



Ι, # φ Ι。 .
(

+ ∴ +Λ 1

> ?5

Μ 一 3> ?

刁票黔

+

一叫
Τ
人的

2 制动所 需时 间 ? 8 彻 ?
因 为 了钟 %
+

一 一+ Λ 一 ?

。甲
5乙
?

8 +Λ

从高 ? 的
3

?


+
(



这 段 时间 内 甲车 走 了 钾
所 以 两 介不 会 相 撞
(

?

一) Ξ

Λ +

> 一

Λ Τ

>

#> 二 +Λ > #

Μ , ::>

先 后平 抛 出 两 个 小球 挡板
召0



球 直接 越 过 高 度 为

的顶 端
,

0

地 面上 的 ? 处 再经过
#
Ι
(

+

落到 水 平 球 则在 γ

问 题 出 在 对 两 车 最 容 易 相 撞 的时 刻 判 断 有 误 两

(

车 最 容 易相 撞 的 时 刻 应该 是

。乙

8
(

Ν 甲

时 而不是
,

处 与光 滑 地 面 碰撞 一 次 以 后
0
+



8 :
?



点 落 到 ? 点 ?图

川 日 卫



解法
Ν


7
?

.

设 乙 车制动
Ν 甲
?

秒后
?

,

Ν 甲
,

一。乙
?

,





球与地面 碰撞 时 动
,

%

2

Μ

,

+Λ 一 7 ∴

Μ )

Μ

! ?5 #

能 没 有损 失 求 挡 板 的高度
(

此时 钾 8

Ε乙

Ν 甲

?

一)∴

!> 8 ! )>

(

解 本 题要 充 分 应 用 平
抛 运 动 的特 点 不 论抛 出速 度 如 何 从 同一高度抛 出 的 物 体 飞 行 时 间 都 是 相 同 的 又 因 此 + 球 在 γ 点 处 与地
,
(

.

一 一%合
,


Ξ

,

一 + 。Ξ

!一




Ξ

! +> 一
5 乙

+>
+>

(

因为

?5 甲 %

+

#> 8
(

Τ

> φ
?

Μ

面 碰 撞 时 动 能 没 有损 失 所 以 反 弹 最 高 点 应该与
,

?



等高 因此
Ο

(

+

球从

?

点 到 达 ? 点 的时 间应该 是
?
,

球的

所 以两 车 将相 撞 解 法 7 假设 二车 在
.

时刻 相 碰 那 么 应 该有
,

倍 即
,

5 甲

% %

+ +

8

5 乙

(

Μ Ο?

?

又 因 为 二 球 的水 平 位 移 Λ # 相 同 所 以 抛 出 速 度
,

),
?,

一+ Λ 一 ?



(

,

+

(

Ν

3

Μ ΟΝ

+

一Ο +4 % + Λ Μ Λ

二 球 飞抵

0

点 时的水平 位 移 也 相 同 所 以 它 们从
,

?



△一 Ο ++ 一) ∴ +

Λ Μ +)
(

χ

Λ

(

飞 到 0 点 的时 间 也应 满 足
?, ‘ 一

所 以 此方程有解 即 两 车 会 相撞
,

Ο ?3



解法
?
,

3

.

以 甲 车为参考 系
十 Ν 地甲 一
5



+

球从

γ

点到
%
]

0

点 的 时 间是

于 是上 式 变 为

刃乙 甲



Ν 乙地

Ν 乙地

一Ν

甲地
(


]

一Ο

亚 护粤


Μ ?+ Λ 一 ) # > ?

Μ

!>

?



一Ο
γ

+

丫 票票
石两
?

球在
。.

点 时 速 度 的竖 直 分 量 为
0



一鲁






> 一 +

( > Τ
(

因 为 犯 甲χ +

> 所 以两 车 要 相 撞



例 ) 如图 + Λ 示 的 系统 中 ? ?
,


所 两

2

+

球 到达
。.


点 时速度 的 竖 直 分 量 为 丫+


Μ

? 万 一 人#
,

(

物 体均有 向下的速 度 。? 吊住 Α 物 体 的 两 根
,

牛 父

4

因为

Ν,

一 姚 十岁

所以
?

绳 与 竖 直 方 向 的 夹 角都 是

2
,

可解得 例
Ο

2 Ι



而瓦不不 %
Ι 8

试求 Α 物 体 上升
Ν“
?

9 内
图 +Λ
,

扣9

丫 严 票



立?
)
5
,


(

#

?

的速 度

解法
,

7

.

用微小变
( (

甲火车 以
,

)>

?

的速 度 匀 速 前 进 这 时 乙 火
,
(

量 法 来解 决 问 题 因 装 置左 右 对 称 所 以 只 要 考 虑 刀 与 ? 的 速 度 关 系 即 可 如 图 + 所 示 设 Α 物 体原 来
,

、 车 误 入 同 一 轨道 且 以 + > ? 的速度 追 向 甲 车 当 乙 Λ


βΡ

1

点 经 过 一段 很 短 的时 间 山 后 到 达
,



点 过

,





车 司 机 发 现 甲车时两 车仅相 距 + 米 乙 车立 即 制动
已 知 以 这 种 速 度 前进 的火 车制动 后 需 经过
?

作 〔 的 垂线 狡
(

尸Ρ

,

因 为 1 ⊥ 很短 所 以 可 设 为 β ⊥ ?
,

Λ +

? ? Λ

才能

图中

△乙 一 口 尺



?

,

物 体 在 山 时 间 内下 降 的 距

)+

(

离 1? 一 Λ 是 Α 物在 山 时间 内上 升 的 距 离 因 为 ? 下 降 的 速
,



心 一 1

&

(

,

7 尸







5 ? =

[ 度Ν 8

△乙 ?


,

,

Α

上 升 的 速度
△月 一 △Ψ

‘ 、 7,

万一
若 η
Ξ
,

口 ’

?2 % 口# 一 5 =? ? 粤 一 2#


ΝΑ

8 △月 ? 山



?5 ? :

2

,

用 第 二 个 等 式消 去
Ψ 8 ,Ν
5 ?

?

,

同 样可 以得 到
2

所以
Ν
Α

= ?+ Τ %

#%

5 ? 2

=

〕 履
(

;: 5, 2

Μ

。?

?

; : 5 2
.

(

图+

求 极 大值 以 后 的 结果是 一 样的

解法
绳 端有
Ν。
,
?

3

用 绳 端速 度 分解 法
Ρ



!

一 Ζ 平 面 上 有 一 个圆 心 在坐 标 原 点
Ζ
,

来解决 问 题 吊住 Α 物 体 的
,

个竖 直 向 卜的速 度
?这



. ,、

分 解 成 沿绳 子 方 向 个速 度 就是


的速度

Ν、

物体 下 降的速 度 # 和 垂 直 于 绳 子 方 向 的 分 速 度 Ν ?这 个
速 度 使 绳 子 以 右边滑轮 为中
,




为 杆 以 速度
.

的圆 在
.
? 。

半径 上 放有 一 根 细杆 从 ? 一 : 时 开 始 细 轴
,







轴 正 方 向 匀速 平 动 试 求 细 杆 与第 一
?

(

象 限 的 圆 的 交 点 的向 心 加 速 度 与时 间

的关 系

(

解 因 为 细 杆 与圆 的 交
点 的 运 动 方 向总 是 与 圆 相 切

图 ++
(

的 所 以 交 点的速 度 ?图 + #
,

Ν

Μ

二。 ; : 5

?



Α ? 心 发 生 转 动 # 即 可 直 接看 出 Ν 一 Ν ? ? 5 : 2



厂拆
图+

Κ

?



2 在仰角 一

的 含

一Σ



? 气一
,

抓区二 丽 一? 一下石 一一一
尤 、 ,



雪 坡 上 举行 跳 台 滑 雪 比 赛
?图 + Ο #
, ,

廿

Ν

,

Μ

Ν

4, Ρ 合 ? ?Ρ 一 Ν 若 #

日 平
? 尸
, #,





运 动员从 高 处滑
口 角的速度 Ν Λ ?

下 能 在 1 点 借 助 于 器材 以

与水 平方 向成
,

跳起 最 后 落 在坡 上



(


图 +Ο
夕 角 起 跳 能使 1 ?
,

向 心 加 速度
2

Μ Μ

Ν 二

,


,

Ρ 忍 ? ?Ρ

?, 一Ν若 #



Π
Ν 3



有一 只 狐狸 以 不 沿着直线
? Α

假如

Ν



的大小 不变 那 么 以 怎样的
,

变速率 跑
Ν
,
, ,




ι 尘
? Ψ

最远 Χ 最 远 距离 为 多 少 Χ

一 只 猎 犬 以 不 变 的 速率
(

解法
Ξ

7
(

.

以 1 点 为原 点 建立 水平 和 竖 直方 向 的
才Ξ ι 4

迫 击 其运动 方 向始终 对
κ
,
,

一Ζ坐标

准狐狸 某 时 刻 狐狸 在 处 猎犬 在
?

]


一Ν : ?
一。
。5

: 5



,

κ?
,

上? Α



,

, =? 。






& ,



! 且 κ ? 一 Ψ ?图 + # 试求此时 刻 猎 犬 加速 度 的大小
(

图 +!

Ζ

一 一Ξ

?& 2

解 猎 犬 做匀速 率 曲线
运 动 其 加 速 度 的大 小 和 方 向都 在 不 断 变 化 在所 求 时
;: 5 2
(

.

,

从以 上 方 程 组 中 消 去 ? 和
Ξ
;: Μ +。孟
5

Ζ

(

可得
; : 5 二





, 尸 与 Α

5 : =? ?2 % Λ # ?
2

&

Μ

Ν

艺 η
&

式中

。 。、2



??& 定值 不 难 看 出 当 等 都是

,

= ?+ Λ %
?

#%

=

? 2

刻 之 后 的 一段很 短 的 时 间

? ?

(





,

2

山 内 猎 犬 运 动轨迹 的 曲 率 半径 为 α 则 其 向 心 加 速 度
, ,

丁 刃一 几
上 舀
公凉
Δ



? 时 Ξ 有极大 值 Ξ 、 一 Ν 色 此时 1 ? 有 极 大 值
.


>
。二

一万






5


;: 52


Ω 2 一 砖? α
,

=? 2 % 3 # ? &

图 +Π
,

Π 如 图 + 所 示 在 匀 时 间 内 狐 狸 和 猎 犬 分别 到 达 了
尸 和 ? 处 猎 犬 的 运 动方 向转 过 的角度
,

Ψ 一 一

Ξ
Ν

?

;: 5 2

2

Μ 刀 ? ? 尸8

,

.

, +

山? 产

? 若 =

? 2

% 3 # ? ?&
.

? : 5 ,2

#

(

因 为 山 很 小 所 以 狐狸运动 的距 离

解 法 7 将 运 动 员的 运 动看成 与 水平 方 向成 1 角 的
匀速直 线运 动 和 一 个 自由 落


图 +)

Ν

,

山Μ

2

(

Ψ
,

因此

饥 山 ? 尸一 Ν
⊥一

山? Ψ
Ν ,




+



,

体运 动 的合 运 动 ?图 + 。 在 △1 ? Α 中 用 正 弦 定 理
,

所以

2 Ω

一 Ν 蚤 ⊥ 一Ν 3 ?

?Ψ (
,

三 竞赛 训 练题 精选 高 为 ? 的 灯杆 顶 部有 一 小 灯 灯 柱 下 有 一 个身
(

高为

Ι

干 的 人 由 灯少 所 在 位 置 出 发 沿 直 线方 向 在 水 平
,

地 面 上 离 灯 柱而 去 设 某 时 刻 此 人 的 行 走 速 度 为
试 求此 时 此 人 头 顶 在 地 面 投 影 的 前 进 速 度
+
,
(
(

(

Ν

。,

Ν Ν 问 速度大小为 与 口 水平方 向 的 夹 角 为多大
。,

.



如图




所 示 的滑 轮
2 ,
,

组 物体

+

分 别 具有 向 卜


的 加 速度
2 .




物体
2 Ο
,

Ο


2 ,


八 卜

? 时 炮 弹落 点 最 远 Χ 提 示 此 题 用 矢 量三 角形 解 比 较
,

.

方便 #
Τ
(

有向 上的加 速 度
2 Ο



3 匕日

细杆





,

1




图ΟΟ

Ο)

之 间的关 系
Ο
(

(

以 匀 角 速度
0

转动 并推
? Α

在某铅 垂 面 上 有 一 光
(

动套 在杆 和 钢 丝 小球
(

上的

滑 的 直 角 三 角 形 细 管 轨道

光 滑 小球 从 顶 点

+#

?

沿斜边

Ο) # Λ

运 动 ?图 轴 与 ? Α 的距
沿?
,

Α

轨道 自静 止 出 发 自由 滑 到 端
0

离为

口刀 8 δ

试求小


所 需 时 间 恰 好等 于 小
?

球与
Α

?

点距 离 为

球从
(

由 静 止 出 发 自山 地 赚
? Α
Δ

滑到

0

所 需 时 间 ?图


,

为铅 直
,



时 小环 沿 ? Α 滑 动的 速度 和 沿 1 Θ 滑 动 的
,

轨 道 转 弯处 速 度 大小不变 转 弯时 间忽略不计 在此 直 角三 角 形 范围 内
可 构建 一 系 列 如 图 + 中虚 线所 示 的 光
,
(

速度
Ρ 一


(

(

质点绕 半径为
,
(

。 Ν 米 的 圆 轨 道 运 动 其速 率 和 时 间 ? 满 足 一 侧 的关 系 求 质点 绕圆 周 运 动一 周 回 到 出 发 点 时 它 的加
,
(

图 +
,

速度 的 大 小 和 方 向 Λ 当 自 行 车 向 正 东方 向
(

滑 轨 道 每 一 轨 道 由若 干 铅 直 和 水平 的部分连接而成

各转 弯 处 性质 都 和
0

Α

点相同 各 轨 道 均 从
(

(

?

点 出 发到

的速 度 行 驶 时 人 觉 风 从 正 北方 向 吹 来 Κ 当 自 感

,

5λ >



4

的 边 界 试 求 小 球 在各 条 轨 道 中 从 静 止 出 发 自由地 由 ? 到 0 所需时 间的上 限 与 下 限 之 比值
,
(

点 终 止 且 不越

,

出△? Α 0

行 车 的速度 增 加 两 倍 时 人 感
,

觉 风 从 正 东 北方 吹 来 求 风 对

(

地 的速度 和 风 向
?
Ν
(

(

)

(

图 Ο Λ
.

中细杆

? Α
Ξ

, 长 3 端点
,



模 型 飞 机 以 相对 空 气
的 速度 绕 一 个边
,

?



Α
,

分别被 约 束 在



轴 上运
,

Β

一 Ο λ> ? Ι4
,λ >

动 试求
?3 #




长为

的等 边三 角 形 飞 行
,3 > λ

3 Λ 杆上 与 ? 相距 2 ? φ
Κ

2

φ # 的
,

“ 设风速 8

Ι ?

4

,

方 向 与三
图 Ο
,

点 的运 动 轨 迹
Ξ


角形 的一 边 平 行 并 和 飞 机 起
Ν
,

+ ? # 如 果 图 中 Λ 角和 么 尸 点的
Ν⊥
二 、

为 已知 那

‘,



飞 方 向 相 同 求 飞 机 绕三 角形

(

Ζ

方向分运动速度
,

图 ΟΛ

一 周需 要多 少 时间 Χ

Ν ⊥Ζ
(

是 多少 Χ
如 图 Ο 所 示 弹性 小 球 自高 出

+
,

(

顶杆
,
,

? Α

可 在竖 直滑 槽 μ 内 滑 动 其下 端 由


凸 轮 Θ 推动 凸 轮 绕 1 轴 以 匀 角速

转动 ?图 的速度
.
(

Ο

#
?

,



斜面

?


Τ
(

Ι

处 自由 下 落 与 斜 面 发 生
,

图 示 的瞬 间
一 、 + 图

δ , 、 一


1 ? 一
2

4

,

凸 轮 上 缘 与 ? 接 触 处 法线



完 全 弹性碰 撞 后 又 弹 起

已 知斜 面 的

1?

之 间 的 夹 角为 参 考答 案
(

,

试 求此 时顶 杆
2
3

? Α

倾角为
!
(

问第 二次 下落 点 到第 一次


.

「落 点 的距离

为 多大 Χ
,
(

如图 Ο +
,

? Α 8 +Λ

所示 一座建筑物高 米 宽 Α0 一)Λ 米 今
3
3

? Ν ? 一Ι
Ζ
+

:

Κ

+

(

2 Ο

Μ
Ν ⊥二

%
+

2 ,

Ο

(

Π

Κ

)

(

椭圆


、“ Ψ 尹

%

从距

?
,



个 小球 问
速度 Ν
Π
(

米 的 Ε 点抛 出一 为多长时 所 需初
,

Ν ⊥Ζ

Μ ? 一 2 #Ν


η ?一
一,

2
Η

+ # 3〕

8 3
(

,

8 ?2
!
,

;

?&

夕#Ν
)
(

Η

,

Κ Ν。

5 Ι 5 =? 夕Κ


(

!>

Κ

Ξ





最小Χ
如图
ΟΟ
,

的山 顶 上 向 平地 放 炮 若 炮 弹 出 口
,

在 高为

Ι

之 一毛 叮

Ο+

Π

(

2

?

&

二二 二二 二二 二
Ν

Κ



% 舌 +

乙 一一 石尸一 众


% δ

,

尹 弃丫 %

Κ Κ

沪。

Κ


,

(


(

< 丫反 了硒> ? 下 石 5
3 3 ,λ >
(

与速 度 方向成
+ ! Ο)
Λ

Τ

(





,上 口 土

Λ


2

4

,

向南 偏 东



Κ

(

+

分钟

(

Ν Η

Μ

4

创? &

?


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