§2.4.1等比数列(一)

§2.4.1等比数列(一)

重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@163.com

§2.4.1等比数列(一)

观察这几个数列，看有何共同特点? 1. 细胞分裂个数可以组成下面的数列： 1, 2, 4, 8 , …. 2. 一尺之棰,日取其半,万世不竭.

如果把“一尺之棰”看成单位“1‖，那么得到 的数列是1, ____,____,____, ….

2013-1-20

重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@163.com

2

§2.4.1等比数列(一)

3. 一种计算机病毒可以查找计算机中的地址薄，通 过邮件进行传播.如果把病毒制造者发送病毒称为 第一轮，邮件接收者发送病毒称为第二轮，依此类 推.假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机， 那么在不重复的情况下，这种病毒每一轮感染的计 算机数构成的数列是： 1, 20, 202, 203 , …. 4. 除了单利，银行还有一种支付利息的方式—— 复利，这种复利计算本利和公式是：本利和=本 金×(1+利率)存期. 例如，现在存入银行10 000元钱，年利率是 1.98%，5年内各年末得到的本利和（单位：元） 组成了下面的数列： 10 198, 10 1982, 10 1983, 10 1984, 10 1985.
2013-1-20 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@163.com 3

§2.4.1等比数列(一)

Ⅰ.课题导入
(1)细胞分裂问题

课本P48页的4个例子：

， ①1，2，4，8，16，…
1 1 ， ， 8 16

(2)―一尺之棰，日取其半，万世不竭”

1 ②1， 2 ，

1 4

，…

(3)计算机病毒感染问题

③1，20，20 2 ， 3 ， 4 ，… 20 20
(4)银行复利计算问题

从第 二项起，每 一项与它前一项之比 等于同一常数.

10000 ?1.0198 ， 10000 ?1.01982 ， 10000 ?1.01983 ④

10000 ?1.0198
2013-1-20

4

，10000 ?1.01985 ，……

请同学们仔细观察一下，看看以上①、②、③、④ 四个数列有什么共同特征？
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@163.com 4

§2.4.1等比数列(一)

等差数列定义 如果一个数列从第二项 起，每一项与它的前一 项的差等于同一个常数, 那么这个数列就叫做等 差数列. 这个常数叫做等差数列 的公差 公差通常用字母d表示
2013-1-20

1.等比数列定义： 如果一个数列从第 二 __项起，每一项与它 同 的前一项的 比 _等于 _ 一个常数，那么这个 数列就叫做 这个常数叫做等 比 数 公比 列的 _____ 公比通常用字母q表示 q≠0
5

重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@163.com

§2.4.1等比数列(一)

等差数列 由于等差数列是作差 故a 1 d 没有要求 判断数列是等差数列 的方法 an –an-1=d(n≥2)

等比数列
由于等比数列的每一项 都有可能作分母， 故a 1 ≠0 且 q ≠0 判断数列是等比数列 的方法

或 an+1-an=d(n≥1)
2013-1-20

重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@163.com

an ? q(n ? 2) a n?1 a n ?1 或 ? q(n ? 1) an
6

§2.4.1等比数列(一)

等比数列中：

?a1 ? 0 ?a1 ? 0 (1) ? 或? ? ?an ? 递增 ?q ? 1 ?0 ? q ? 1 ?a1 ? 0 ?a1 ? 0 (2) ? 或? ? ?an ? 递减 ?0 ? q ? 1 ?q ? 1

(3)q＝ ? ?an ?为常数列 1 (4)q ? 1 ? ?an ?为摆动数列
非零的常数数列既是等差数列又是等比数列
2013-1-20 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@163.com 7

§2.4.1等比数列(一)

想 一 想

判断下列数列是否为等比数列。若是，则公比 是多少，若不是，请说明理由 1)、 16，8，4，2， 1， … ； 公比是0.5 公比是-5 2)、 5，-25，125，- 625，…； 3) 、1，0，1，0，1，…； 4)、 2，2，2，2，2，…； 5)、 0，0，0，0，0，…； 不是 公比是1

不是 6)、 -2，-4，-8，-16，…； 公比是2 7)、 3，9，27，81，243，…； 公比q是每一项（第2项起）与它的前一 公比是3

项的比；防止把被除数与除数弄颠倒；公比 可以是正数，负数，可以是1，但不可以为0
2013-1-20 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@163.com 8

§2.4.1等比数列(一)

等比数列的通项公式：
? 法一：递推法

等 差 数 列

a2 ? a1 ? d

a3 ? a1 ? 2d

类比

a4 ? a1 ? 3d ……

等 比 数 列

a2 ? q ? a2 ? a1q a1

a3 ? q ? a3 ? a2 q ? a1q 2 a2 a4 ? q ? a4 ? a3q ? a1q 3 a3

由此归纳等差数列

……

的通项公式可得：

由此归纳等比数列的通项公式可得：

an ? a1 ? (n ? 1)d
2013-1-20

an ? a1q

n ?1
9

重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@163.com

§2.4.1等比数列(一)

等比数列的通项公式：
? 法二：累加法 累积法

等 a2 ? a1 ? d 差 a3 ? a2 ? d 数 列 a4 ? a3 ? d …… +）an ? an?1 ? d
an ? a1 ? (n ?1)d
2013-1-20

类比

等 比 数 列

a2 ?q a1 a3 ?q a2

a4 ?q a3 ……

共n – 1 项

an ?q ×） an ?1

an n ?1 ?q a1
10

重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@163.com

§2.4.1等比数列(一)

拓展： 等差数列 等比数列

an ? a1 ? (n ? 1)d
am ? a1 ? (m ? 1)d
类比

an ? a1q
am ? a1q
n ?1

n ?1

m?1

? an ? am ? (n ? m)d
可得

an a1q n?m ? m?1 ? q am a1q
可得

an ? am ? (n ? m)d
2013-1-20

an ? amq

n ?m
11

重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@163.com

§2.4.1等比数列(一)

等差数列 等差数列通项公式:
a n = a 1 + ( n－1 ) d，n ∈N +

①函数观点； 一次函数形式：

a n = pn + q，n ∈N + d=p a1=p+q
②方程思想. 方程中有四个量，知三 求一，这是公式最简单 的应用.
2013-1-20

等比数列 等比数列通项公式: a n= a 1 q n－1 (a 1 ≠0 且 q ≠0,n ∈N +) ①函数观点； 指数函数形式： a n= b c n q=c a1=bc ②方程思想. 方程中有四个量，知三 求一，这是公式最简单 的应用.
12

重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@163.com

§2.4.1等比数列(一)

若数列{an}的首项是a1=1,公比q=2,则用通项公式表示是：

an=2 n－1 ＿＿＿＿＿＿
上式还可以写成

1 n an ? ? 2 2

an 8 7

·

可见，表示这个等比数列 x 1 的各点都在函数 2 的图象上，如右图所示。

6
5 4

y ? ?2

·

3

· ? 的图象是其对应的 结论： 等比数列 an ?
1

2

·
2

函数的图象上一些孤立 的点
0
2013-1-20

1

3

4
13

n

重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@163.com

§2.4.1等比数列(一)

例1 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一 年剩留的这种物质是原来的84％，这种物质的半衰期 为多长(精确到1年)？ 解：设这种物质最初的质量是1，经过n年，剩留量是 an，由条件可得，数列{an}是一个等比数列． 其中 a1 ? 0.84 q ? 0.84. ， 放射性物质衰变 lg 0.5 ?an ? 0.84 ? 0.84n?1 ? 0.84n n? . 到原来的一半所需时 n 设an=0.5,则 0.84 ? 0.5. lg 0.84 间称为这种物质的半 两边取对数，得 n lg 0.84 ? lg 0.5. 衰期． ?0.5 ? log 用计算器算得 n≈4． 答：这种物质的半衰期大约为4年.
2013-1-20

log ?0.84 ?

= 3.98

重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@163.com

14

§2.4.1等比数列(一)

例2.一等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求这个 等比数列的第1项和第2项. 解： 设这个等比数列的第1项为a1，公比为q，
那么
?a1q 2 ? 12 ? 3 ? a1q ? 18
q? 3 2

① ②
③

②÷①，得

将③代入①，得 因此，
a2 ? a1q ?

16 a1 ? 3
16 3 ? ? 8. 3 2

16 这个等比数列的第1项和第2项分别是 与8. 3
2013-1-20 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@163.com 15

例3.已知

证明：设数列?an ?的首项是 a1 ，公比为 q1 ?bn ? 的首项为 b1 ，公比为 q2 那么数列 ?an ? bn ? 的第n项与第n+1项 n?1 n?1 n n 分别为： a1 ? q1 ? b1 ? q2 与a1 ? q1 ? b1 ? q2 n?1 n 即为a1b1 (q1q2 ) 与a1b1 (q1q2 )
an?1 ? bn?1 a1b1 (q1q2 ) n ? ? ? q1q2 . 它是一个与n无关的常数， n ?1 an ? bn a1b1 (q1q2 )

?a

n

? bn ? 是等比数列。

?a ? 、b ? 是项数相同的等比数列，求证： ?
n

§2.4.1等比数列(一)

n

所以 ?an ? bn ? 是一个以 q1q2 为公比的等比数列
2013-1-20 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@163.com 16

§2.4.1等比数列(一)

复习小结：
数 定 列 义 等 差 数 列 an+1-an=d d 叫公差 an+1=an+d an= a1+(n-1)d 等 比 数 列

an ?1 ?q an
q叫公比 an+1=an q an=a1qn-1 an=amqn-m
q
n? m

公差（比） 定义变形 通项公式

an ? am 一般形式 an=am+(n-m)d d ? n?m
2013-1-20

an ? am
17

重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@163.com

§2.4.1等比数列(一)

课堂练习 <<教材>> P.52

练习1.2

书面作业
<<教材>> P.53 习题2.4 A组1 B组1

2013-1-20

重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@163.com

18