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§2.4.1等比数列(一)


§2.4.1等比数列(一)

重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@163.com

§2.4.1等比数列(一)

观察这几个数列,看有何共同特点? 1. 细胞分裂个数可以组成下面的数列: 1, 2, 4, 8 , …. 2. 一尺之棰,日取其半,万世不竭.

如果把“一尺之棰”看成单位“1‖

,那么得到 的数列是1, ____,____,____, ….

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3. 一种计算机病毒可以查找计算机中的地址薄,通 过邮件进行传播.如果把病毒制造者发送病毒称为 第一轮,邮件接收者发送病毒称为第二轮,依此类 推.假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机, 那么在不重复的情况下,这种病毒每一轮感染的计 算机数构成的数列是: 1, 20, 202, 203 , …. 4. 除了单利,银行还有一种支付利息的方式—— 复利,这种复利计算本利和公式是:本利和=本 金×(1+利率)存期. 例如,现在存入银行10 000元钱,年利率是 1.98%,5年内各年末得到的本利和(单位:元) 组成了下面的数列: 10 198, 10 1982, 10 1983, 10 1984, 10 1985.
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§2.4.1等比数列(一)

Ⅰ.课题导入
(1)细胞分裂问题

课本P48页的4个例子:

, ①1,2,4,8,16,…
1 1 , , 8 16

(2)―一尺之棰,日取其半,万世不竭”

1 ②1, 2 ,

1 4

,…

(3)计算机病毒感染问题

③1,20,20 2 , 3 , 4 ,… 20 20
(4)银行复利计算问题

从第 二项起,每 一项与它前一项之比 等于同一常数.

10000 ?1.0198 , 10000 ?1.01982 , 10000 ?1.01983 ④

10000 ?1.0198
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4

,10000 ?1.01985 ,……

请同学们仔细观察一下,看看以上①、②、③、④ 四个数列有什么共同特征?
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等差数列定义 如果一个数列从第二项 起,每一项与它的前一 项的差等于同一个常数, 那么这个数列就叫做等 差数列. 这个常数叫做等差数列 的公差 公差通常用字母d表示
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1.等比数列定义: 如果一个数列从第 二 __项起,每一项与它 同 的前一项的 比 _等于 _ 一个常数,那么这个 数列就叫做 这个常数叫做等 比 数 公比 列的 _____ 公比通常用字母q表示 q≠0
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§2.4.1等比数列(一)

等差数列 由于等差数列是作差 故a 1 d 没有要求 判断数列是等差数列 的方法 an –an-1=d(n≥2)

等比数列
由于等比数列的每一项 都有可能作分母, 故a 1 ≠0 且 q ≠0 判断数列是等比数列 的方法

或 an+1-an=d(n≥1)
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an ? q(n ? 2) a n?1 a n ?1 或 ? q(n ? 1) an
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等比数列中:

?a1 ? 0 ?a1 ? 0 (1) ? 或? ? ?an ? 递增 ?q ? 1 ?0 ? q ? 1 ?a1 ? 0 ?a1 ? 0 (2) ? 或? ? ?an ? 递减 ?0 ? q ? 1 ?q ? 1

(3)q= ? ?an ?为常数列 1 (4)q ? 1 ? ?an ?为摆动数列
非零的常数数列既是等差数列又是等比数列
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§2.4.1等比数列(一)

想 一 想

判断下列数列是否为等比数列。若是,则公比 是多少,若不是,请说明理由 1)、 16,8,4,2, 1, … ; 公比是0.5 公比是-5 2)、 5,-25,125,- 625,…; 3) 、1,0,1,0,1,…; 4)、 2,2,2,2,2,…; 5)、 0,0,0,0,0,…; 不是 公比是1

不是 6)、 -2,-4,-8,-16,…; 公比是2 7)、 3,9,27,81,243,…; 公比q是每一项(第2项起)与它的前一 公比是3

项的比;防止把被除数与除数弄颠倒;公比 可以是正数,负数,可以是1,但不可以为0
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等比数列的通项公式:
? 法一:递推法

等 差 数 列

a2 ? a1 ? d

a3 ? a1 ? 2d

类比

a4 ? a1 ? 3d ……

等 比 数 列

a2 ? q ? a2 ? a1q a1

a3 ? q ? a3 ? a2 q ? a1q 2 a2 a4 ? q ? a4 ? a3q ? a1q 3 a3

由此归纳等差数列

……

的通项公式可得:

由此归纳等比数列的通项公式可得:

an ? a1 ? (n ? 1)d
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an ? a1q

n ?1
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等比数列的通项公式:
? 法二:累加法 累积法

等 a2 ? a1 ? d 差 a3 ? a2 ? d 数 列 a4 ? a3 ? d …… +)an ? an?1 ? d
an ? a1 ? (n ?1)d
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类比

等 比 数 列

a2 ?q a1 a3 ?q a2

a4 ?q a3 ……

共n – 1 项

an ?q ×) an ?1

an n ?1 ?q a1
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拓展: 等差数列 等比数列

an ? a1 ? (n ? 1)d
am ? a1 ? (m ? 1)d
类比

an ? a1q
am ? a1q
n ?1

n ?1

m?1

? an ? am ? (n ? m)d
可得

an a1q n?m ? m?1 ? q am a1q
可得

an ? am ? (n ? m)d
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an ? amq

n ?m
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§2.4.1等比数列(一)

等差数列 等差数列通项公式:
a n = a 1 + ( n-1 ) d,n ∈N +

①函数观点; 一次函数形式:

a n = pn + q,n ∈N + d=p a1=p+q
②方程思想. 方程中有四个量,知三 求一,这是公式最简单 的应用.
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等比数列 等比数列通项公式: a n= a 1 q n-1 (a 1 ≠0 且 q ≠0,n ∈N +) ①函数观点; 指数函数形式: a n= b c n q=c a1=bc ②方程思想. 方程中有四个量,知三 求一,这是公式最简单 的应用.
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§2.4.1等比数列(一)

若数列{an}的首项是a1=1,公比q=2,则用通项公式表示是:

an=2 n-1 ______
上式还可以写成

1 n an ? ? 2 2

an 8 7

·

可见,表示这个等比数列 x 1 的各点都在函数 2 的图象上,如右图所示。

6
5 4

y ? ?2

·

3

· ? 的图象是其对应的 结论: 等比数列 an ?
1

2

·
2

函数的图象上一些孤立 的点
0
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1

3

4
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n

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例1 某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一 年剩留的这种物质是原来的84%,这种物质的半衰期 为多长(精确到1年)? 解:设这种物质最初的质量是1,经过n年,剩留量是 an,由条件可得,数列{an}是一个等比数列. 其中 a1 ? 0.84 q ? 0.84. , 放射性物质衰变 lg 0.5 ?an ? 0.84 ? 0.84n?1 ? 0.84n n? . 到原来的一半所需时 n 设an=0.5,则 0.84 ? 0.5. lg 0.84 间称为这种物质的半 两边取对数,得 n lg 0.84 ? lg 0.5. 衰期. ?0.5 ? log 用计算器算得 n≈4. 答:这种物质的半衰期大约为4年.
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log ?0.84 ?

= 3.98

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§2.4.1等比数列(一)

例2.一等比数列的第3项和第4项分别是12和18,求这个 等比数列的第1项和第2项. 解: 设这个等比数列的第1项为a1,公比为q,
那么
?a1q 2 ? 12 ? 3 ? a1q ? 18
q? 3 2

① ②


②÷①,得

将③代入①,得 因此,
a2 ? a1q ?

16 a1 ? 3
16 3 ? ? 8. 3 2

16 这个等比数列的第1项和第2项分别是 与8. 3
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例3.已知

证明:设数列?an ?的首项是 a1 ,公比为 q1 ?bn ? 的首项为 b1 ,公比为 q2 那么数列 ?an ? bn ? 的第n项与第n+1项 n?1 n?1 n n 分别为: a1 ? q1 ? b1 ? q2 与a1 ? q1 ? b1 ? q2 n?1 n 即为a1b1 (q1q2 ) 与a1b1 (q1q2 )
an?1 ? bn?1 a1b1 (q1q2 ) n ? ? ? q1q2 . 它是一个与n无关的常数, n ?1 an ? bn a1b1 (q1q2 )

?a

n

? bn ? 是等比数列。

?a ? 、b ? 是项数相同的等比数列,求证: ?
n

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n

所以 ?an ? bn ? 是一个以 q1q2 为公比的等比数列
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§2.4.1等比数列(一)

复习小结:
数 定 列 义 等 差 数 列 an+1-an=d d 叫公差 an+1=an+d an= a1+(n-1)d 等 比 数 列

an ?1 ?q an
q叫公比 an+1=an q an=a1qn-1 an=amqn-m
q
n? m

公差(比) 定义变形 通项公式

an ? am 一般形式 an=am+(n-m)d d ? n?m
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an ? am
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课堂练习 <<教材>> P.52

练习1.2

书面作业
<<教材>> P.53 习题2.4 A组1 B组1

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