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【金识源】高中数学 1.2.1 函数的概念(3)课件 新人教A版必修1


1.2.1 函数的概念(3)
定义域与值域的求法

一、知识回顾
设A、B是非空的数集,如果按某个确定的对应 关系f,对集合A中的任意一个数x ,在集合B中都有 唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从

集合A到B的一个函数。 记作y=f(x), x?A
其中x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数

定义域。 与x的值相对应的y的值叫函数值, 函数值的集合{f(x) | x?A}叫做函数的值域。

一、知识回顾 什么是函数的定义域? 函数的定义域是指使函数式有意义的自变 量x的取值范围,通常用集合或区间表示。

什么是函数的值域? 函数值的集合{f(x) | x?A}叫做函数的值 域,通常用集合或区间表示。

二、求函数的定义域 求简单函数的定义域
? 分母

常规方法

? 根式(开偶次方) ? 零次幂,底数不为零

例题:求下列函数的定义域
1 f ( x) ? x? | x |

( ??,0)

f ( x) ? 1 ? x ? x ? 3 ? 1

[-3,1]

求函数定义域的两种题型

题型(一) : 已知f ( x )的定义域, 求f [ g( x )]的定义域
例1、若f ( x )的定义域是 [0,2], 求f (2 x ? 1)的定义域
解: 由题意知:

0 ? 2x ? 1 ? 2
1 3 ? ? x ? 2 2

1 3 故 : f ( 2 x ? 1)的定义域是{ x ? x? } 2 2
总结:

若函数f(x)的定义域为[a,b],则f[g(x)]的定义域 应由不等式a≤g(x)≤b解出x即得。

(题型二) : 已知f ?g? x ??的定义域, 求f ( x )的定义域
例2、已知 f ?2 x ? 1?的定义域 (?1,5], 求f ( x )的定义域

解: 由题意知:

?1 ? x ? 5
? ?3 ? 2 x ? 1 ? 9

?? 3, 9? ? f ( x )的定义域为
若函数f[g(x)]的定义域为[a,b],则f[x]的定义域 应是g(x)中的a≤x≤b解出g(x)范围即得。

总结:

1、直接法:
例1、 求 下 列 函 数 的 值 域 : ( 1 ) y = 3x + 2  (-1 ? x ? 1) ( 2 )y ? 2 ? 4 - x
解: ( 1 ) ? -1 ? x ? 1, ∴  - 3 ? 3x ? 3, ∴ -1 ? 3x + 2 ? 5, 即 1 ? y ? 5 ∴函 数 的 值 域 为 [-1 , 5]
( 2 ) ∵ 4-x ? 0 ∴ 2 ? 4-x ? 2 ∴  函 数 的 值域 为 [ 2, +?)

总结:直接法就是利用常见函数的值域来求目标函数的值域.

2、图象法(对二次函数也可考虑配方):
例 22 、 已知函数 y ? x2 - 4x ? 1, 求它在下列区间的 值域 例

( 1 )x ? R

(2)?3,4?

(3)?0,1?
y 3 2 1 -2 -1 O -1 -2 -3

(4)?0,5?

解: ( 1 )[-3,+?) (2) ?- 2,1?

(3) ?- 2,1?

(4) ?- 3,6?

1 2 3 4 5 6 x

(2,-3)

总结:图象法是求函数值域的基本方法,一般是根据函数所
给x的取值范围结合函数的图象求得函数的值域.

3、换元法(切记先确定新元范围)
例 3、求函数 y ? 2x ? 4 1-x 的值域 例 3
解:设 t? 1 - x (t ? 0),则x ? 1 - t 2

代入原函数得: y ? 2(1- t 2 ) ? 4t , 整 理 得 : y ? -2t2 ? 4t ? 2 ? -2(t- 1)2 ? 4

?y ? 4 ?函 数 的 值 域 为 ( - ?,4 ]

总结:换元法就是用“换元”的方法,将所给函数化归为值域
容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域.

4、分离变量法
5x ? 4 例 、求函数 y ? 的值域。 例4 4 x-2

5(x - 2) ? 14 14 解: y? ? 5? x-2 x-2

14 ? ?0 x?2
14 ?5 ? ? 5 即y ? 5 x-2

? y | y ? 5? ?函数的值域为
ax ? b ? 形 如 y ? (c ? 0, ad ? bc) 的 值 域 为 总结: ?y | y ? cx ? d ? a? ? c?

5、数形结合法
例7 、求函数y=|x+1|+|x-2|的值域. 例 5

提示:利用数轴上两点间的距离求解
+?) [3 ,

总结:

采用“数形结合”,利用直观图形 求解的一种方法.

小结
1.求定义域的方法:
? 分母 ? 根式(开偶次方) ? 零次幂,底数不为零

常规方法

题型(一) : 已知f ( x )的定义域, 求f [ g( x )]的定义域
(题型二) : 已知f ?g? x ??的定义域, 求f ( x )的定义域

小结
2.求值域的方法: (1)、直接法:

(2)、图象法: (3)、换元法(切记先确定新元范围) (4)、分离变量法

(5)、数形结合法


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