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中学数学竞赛 抽屉原理讲义


第一专题 抽屉原理
一、抽屉原理的基本形式 1、有 n 个元素放进 m 个集合,则必存在一个集合至少放有 k 个元素.

? n ? m ? 其中, k = ? ?n? ?? ? + 1 ?? m ? ?

n是m的倍数 n不是m的倍数

推论 1:若有 n + 1 个元素放进 n 个集合,则必存在一个集合至少放 2 个元素. 推论 2:若把 mn + 1 个元素放进 n 个集合,则必存在一个集合至少 放有 m + 1 个元素. 推论 3:若把 m1 + m2 + L + m n + 1 个元素放进 n 个集合,则必存 在一个集合 Ak (1 ≤ k ≤ n) 至少放有 m k + 1 个元素. 推论 4:若把无穷集合分成有限个集合,则必存在一个子集合含有 无穷个元素. 2、若 a1 + a 2 + L + a n = S ,则必存在 a k , a l ( 1 ≤ k ≠ l ≤ n ) ,使

ak ≥

S S , al ≤ . n n

推论 1: a1 + a 2 + L + a n > 0 ,则必存在 a k ,使 a k > 0 . 二、例题选讲 例 1、能否在 10 × 10 的方格表的每个空格中分别填上 1、2、3 这三个 数之一,使得每行、每列及对角线上的各个数之和互不相同?对你的结论 加以证明. 例 2、任给 5 个整数,证明必能从其中选出 3 个,使得它们的和能被 3 整除. 例 3、证明:从 52 个正整数中,必可找出两数使之和或差可被 100 整 除.

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例 4、任意给定正整数 m ,求证:一定有 m 的某一个整倍数,它完全 由 0 和 1 两个数字所组成. 例 5、一个棋手用 11 周时间参加一次比赛,每天至少比赛一局,但为 免过于疲劳,他在每连续 7 天内比赛不超过 12 局,总共赛不超过 132 局. 求证: 必有连续若干天他恰好共赛了 21 局, 是否必有连续若干天他恰好共 赛了 22 局? 例 6、把圆周分成 36 段,将 1,2,…,36 任意标在每一段上,那么一 定存在连续的三段,它们的数字之和至少是 56. 例 7、设 a1 , a 2 , L , a n +1 是正整数,并且 1 ≤ a1 < a 2 < L < a n +1 ≤ 2n . 证明: 总能找到这样的两个数 a i 与a j (1 ≤ i < j ≤ n + 1) , 使得 a j 能被 a i 整 除.

例 8、 已知整数 a1 , a 2 , L , a10 , 证明: 存在一个非零数列 x1 , x2 ,..., x10 , 使得对 xi ∈ {? 1,0,1} ,和 a1 x1 + a 2 x 2 + L + a10 x10 能被 1001 整除.

例 9、 任何十个不同的两位数之集合必能选出两个不相交的子集, 使每 个子集的各数之和相等.

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