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高一数学人教A版必修2:4-3-1、2 空间直角坐标系和空间两点间的距离公式


第四章
圆的方程

第四章 圆的方程

第四章
4.3 空间直角坐标系

第四章 圆的方程

第四章
4.3.1 空间直角坐标系 4.3.2 空间两点间的距离公式

第四章 圆的方程

课前自主预习 课堂基础巩固 思路方法技巧

课后强化作业 名师辨误做答

第四章

4.3

4.3.1 、4.3.2

课前自主预习

第四章

4.3

4.3.1 、4.3.2

温故知新 1.平面直角坐标系内的点的对称问题
P1(a,-b) (1)P(a,b)关于x轴的对称点____________; P2(-a,b) (2)P(a,b)关于y轴的对称点____________; P3(-a,-b) (3)P(a,b)关于原点的对称点____________.

第四章

4.3

4.3.1 、4.3.2

2.平面直角坐标系内的中点坐标公式 A(x1 , y1) , B(x2 , y2) , 线 段 AB 的 中 点 M(x , y) , 则 ? x1+x2 ?x= , 2 ? ? ? y1+y2 ?y= 2 . ? 3.点到平面的距离:点 P 与它在平面 α 内的射影之间的 距离.

第四章

4.3

4.3.1 、4.3.2

4.平面上两点间的距离公式 (1)公式:设 P1(x1,y1),P2(x2,y2),则 P1、P2 两点间的距 离
?x1-x2?2+?y1-y2?2 |P1P2|=_________________.

(2)公式推导:借助于直角三角形,应用勾股定理. 5.平面上的点到原点的距离

x2+y2 P(x,y)到原点的距离|OP|=______.

第四章

4.3

4.3.1 、4.3.2

新课引入

飞机的飞行速度是很快的,即使是民航飞机,也有超音 速,这就说明有很多飞机的时速在1 000 km以上,全世界的飞 机非常多,这些飞机在天空中风驰电掣,速度是如此的快, 不是很容易撞机吗?我们如何确定一架飞机在空中的位置 呢?
第四章 4.3 4.3.1 、4.3.2

自主预习 阅读教材P134~137,完成下列问题. 1.空间直角坐标系 以空间中两两______且相交于一点O的三条直线分 垂直 定 义 别为x轴、y轴、z轴,这时就说建立了空间直角坐
原点 标系Oxyz,其中点O叫做坐标_____,x轴、y轴、z 坐标轴 轴叫做________.通过每两个坐标轴的平面叫做 坐标平面 ________,分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面

第四章

4.3

4.3.1 、4.3.2

画法

在平面上画空间直角坐标系Oxyz时,一般使 ∠xOy=_______,∠yOz=90° 135°

图示

第四章

4.3

4.3.1 、4.3.2

本书建立的坐标系都是右手直角坐标系,即 说 明 在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的 正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指指 向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角 坐标系.

第四章

4.3

4.3.1 、4.3.2

[破疑点]将空间直角坐标系画在纸上时, ①x轴与y轴成135° (或45° ),x轴与z轴成135° (或45° ); ②y轴垂直于z轴,y轴和z轴的单位长相等,x轴上的单位 1 长则等于y轴单位长的2.

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4.3

4.3.1 、4.3.2

空间直角坐标系中,三条坐标轴( A.两两垂直且相交于一点 B.两两平行 C.仅有两条不垂直 D.仅有两条垂直

)

[答案]

A

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2.坐标

第四章

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4.3.1 、4.3.2

如图所示,设点M为空间直角坐标系中的一个定点,过点 M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的_______,依次交x轴、y轴和z 平面 轴于点P,Q和R.设点P,Q和R在x轴,y轴和z轴上的坐标分别
一一对应 是x,y和z,那么点M就和有序实数组(x,y,z)是__________ (x,y,z) 的关系,有序实数组__________叫做点M在此空间直角坐标系 M(x,y,z) 横坐标 中的坐标,记作__________,其中x叫做点M的________,y叫 纵坐标 竖坐标 做点M的_________,z叫做点M的________.

第四章

4.3

4.3.1 、4.3.2

[拓展] 1.空间中两点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),线段P1P2 的中点为P0(x0,y0,z0),则 x +x ? ?x0= 1 2, 2 ? ? y +y ?y0= 1 2, 2 ? ? z1+z2 ?z0= 2 . ?

这个公式称为空间直角坐标系中的中点

坐标公式,是平面直角坐标系中中点坐标公式的拓展.

第四章

4.3

4.3.1 、4.3.2

点P(1,4,-3)与点Q(3,-2,5)的中点坐标是( A.(4,2,2) C.(2,1,1) B.(2,-1,2) D.(4,-1,2)

)

[答案] C

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4.3

4.3.1 、4.3.2

[解析]

根据空间中点坐标公式,可得中点坐标为

1+3 4-2 -3+5 ( 2 , 2 , 2 ),即(2,1,1).

第四章

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4.3.1 、4.3.2

[知识拓展] 2.空间直角坐标系中特殊位置点的坐标 如下表所示

第四章

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4.3.1 、4.3.2

点的位置 原点 x轴上 y轴上 z轴上 xOy平面上 yOz平面上 xOz平面上

点的坐标形式 (0,0,0) (a,0,0) (0,b,0) (0,0,c) (a,b,0) (0,b,c) (a,0,c)

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4.3

4.3.1 、4.3.2

3.空间直角坐标系中特殊对称点的坐标 设点P(a,b,c)为空间直角坐标系中的点,则 对称轴(或中心或平面) 点P的对称点坐标 原点 x轴 y轴 z轴 (-a,-b,-c) (a,-b,-c) (-a,b,-c) (-a,-b,c)
第四章 4.3 4.3.1 、4.3.2

xOy平面 yOz平面 xOz平面

(a,b,-c) (-a,b,c) (a,-b,c)

第四章

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4.3.1 、4.3.2

3.空间两点间的距离公式 空间中点P1(x1,y1,z1)、P2(x2,y2,z2)之间的距离是 |P1P2|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2+?z1-z2?2. [破疑点]空间两点间的距离公式是平面上两点间的距离公 式的推广,平面上两点间的距离公式又可看成是空间两点间 的距离公式的特例.

第四章

4.3

4.3.1 、4.3.2

空间直角坐标系中,点A(-3,4,0)和点B(2,-1,6)的距离 是( ) A.2 43 C.9 B.2 21 D. 86

[答案] D

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4.3

4.3.1 、4.3.2

[解析]

|AB|= ?-3-2?2+?4+1?2+?0-6?2= 86.

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4.3.1 、4.3.2

思路方法技巧

第四章

4.3

4.3.1 、4.3.2

命题方向

空间点的坐标及位置确定

[例1]

画一个正方体ABCD-A1B1C1D1,以A为坐标原

点,以棱AB,AD,AA1所在的直线为坐标轴,取正方体的棱 长为单位长度,建立空间直角坐标系. (1)求各顶点的坐标; (2)求棱C1C中点的坐标; (3)求面AA1B1B对角线交点的坐标.

第四章

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4.3.1 、4.3.2

[解析]

如下图所示,

(1)各顶点的坐标分别是A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0), D(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1);

第四章

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4.3.1 、4.3.2

1 (2)棱CC1的中点的坐标为M(1,1, ); 2 1 1 (3)面AA1B1B对角线交点的坐标为N(2,0,2). 规律总结:空间的中点坐标公式是:设A(x1,y1,z1), x1+x2 y1+y2 z1+z2 B(x2,y2,z2),则AB中点为P( 2 , 2 , 2 ).

第四章

4.3

4.3.1 、4.3.2

如下图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,|AB|=4,|AD|= 3,|AA1|=5,N为棱CC1的中点,分别以AB,AD,AA1所在的 直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.

(1)求点A,B,C,D,A1,BB1,C1,D1的坐标; (2)求点N的坐标.
第四章 4.3 4.3.1 、4.3.2

[解析]

(1)显然A(0,0,0),

由于点B在x轴的正半轴上,且|OB|=4, 所以B(4,0,0). 同理,可得D(0,3,0),A1(0,0,5). 由于点C在坐标平面xOy内,BC⊥AB,CD⊥AD,则点 C(4,3,0). 同理,可得B1(4,0,5),D1(0,3,5),与C的坐标相比,点C1 的坐标中只有竖坐标不同,CC1=AA1=5,则点C1(4,3,5).

第四章

4.3

4.3.1 、4.3.2

4+4 (2)由(1)知C(4,3,0),C1(4,3,5),则C1C的中点为( , 2 3+3 0+5 5 , ),即N(4,3, ). 2 2 2 总结评述:确定空间直角坐标系中任一点P的坐标的步 骤是:①过P作PC⊥z轴于点C;②过P作PM⊥平面xOy于点 M,过M作MA⊥x轴于点A,过M作MB⊥y轴于点B;③设P(x, y,z),则|x|=|OA|,|y|=|OB|,|z|=|OC|.当点A,B,C分别在 x,y,z轴的正半轴上时,则x,y,z的符号为正;当点A,B, C分别在x,y,z轴的负半轴上时,则x,y,z的符号为负;当 点A,B,C与原点重合时,则x,y,z的值均为0.
第四章 4.3 4.3.1 、4.3.2

命题方向

空间两点间距离公式

[例2]

(1)已知点A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,- )

1,4),则△ABC的形状是( A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形

第四章

4.3

4.3.1 、4.3.2

(2)点B是点A(1,2,3)在坐标平面yOz内的射影,则|OB|等于 ( ) A. 14 C.2 3 B. 13 D. 11

第四章

4.3

4.3.1 、4.3.2

[解析] (1)|AB|= ?4-1?2+?2+2?2+?3-11?2 = 89, |BC|= ?6-4?2+?-1-2?2+?4-3?2= 14, |AC|= ?6-1?2+?-1+2?2+?4-11?2 = 75. ∵|BC|2+|AC|2=|AB|2, ∴△ABC为直角三角形.∴应选C.

第四章

4.3

4.3.1 、4.3.2

(2)B点坐标为(0,2,3), ∴|OB|= 02+22+32= 13.∴应选B.

第四章

4.3

4.3.1 、4.3.2

给定空间直角坐标系,在x轴上找一点P,使它与点 P0(4,1,2)的距离为 30,则点P坐标为________.
[答案] (9,0,0)或(-1,0,0)

第四章

4.3

4.3.1 、4.3.2

[解析]

设P(x,0,0),由题意,|P0P|= 30,

即 ?x-4?2+12+22= 30, ∴(x-4)2=25.∴x=9或x=-1. ∴P点坐标为(9,0,0)或(-1,0,0).

第四章

4.3

4.3.1 、4.3.2

命题方向

空间两点间距离公式的应用

[例3]

如图所示,在长方体OABC-O1A1B1C1中,|OA|

=2,|AB|=3,|AA1|=2,E是BC的中点,作OD⊥AC于点 D,求线段B1E的长度及顶点O1到点D的距离.

第四章

4.3

4.3.1 、4.3.2

[分析]

先根据空间直角坐标系,求出点B1、E、O1、D

的坐标,然后利用两点间的距离公式求解.

第四章

4.3

4.3.1 、4.3.2

[解析]

由已知的空间直角坐标系及长方体的棱长可得长

方体的各个顶点的坐标分别为:O(0,0,0)、A(2,0,0)、 B(2,3,0)、C(0,3,0)、O1(0,0,2)、A1(2,0,2)、B1(2,3,2)、 C1(0,3,2). ∵E是BC的中点,∴点E的坐标为(1,3,0), ∴由两点间的距离公式得 |B1E|= ?2-1?2+?3-3?2+?2-0?2= 5.

第四章

4.3

4.3.1 、4.3.2

设D(x,y,0),在Rt△AOC中, |OA|=2,|OC|=3,|AC|= 13, ∴|OD|
2

?2×3? ? ?2 36 =? = . 13 ? 13 ? ?

又OO1⊥平面 OABC OD
2

∴OO1⊥OD ∴|O1D|=

+OO2= 1

36 2 286 +4= 13 13

第四章

4.3

4.3.1 、4.3.2

(2011~2012· 广州模拟)如图所示,已知正四面体A- BCD的棱长为1,E,F分别为棱AB、CD的中点.

第四章

4.3

4.3.1 、4.3.2

(1)建立适当的空间直角坐标系,写出顶点A,B,C,D的 坐标. (2)求EF的长. [分析] 正四面体也是正三棱锥,即其顶点和底面正三角

形中心的连线是正四面体的高,以底面正三角形的中心为坐标 原点,高为z轴,建立空间直角坐标系.

第四章

4.3

4.3.1 、4.3.2

[解析]

(1)设底面正三角形BCD的中心为点O,连接AO,

DO,延长DO交BC于点,则AO⊥平面BCD,M是BC的中点, 且DM⊥BC,过点O作ON∥BC,交CD于点N,则ON⊥DM, 故以O为坐标原点,OM,ON,OA所在直线分别为x轴,y轴, z轴建立如右图所示的空间直角坐标系, ∵正四面体A-BCD的棱长为1,O为底面△BCD的中心. 2 2 ∴OD=3· DM=3 OA= AD -DO =
2 2

1 3 1 3 1-4= 3 ,OM=3DM= 6 . 3 6 1-9= 3 .

第四章

4.3

4.3.1 、4.3.2

6 3 1 3 1 ∴A(0,0, 3 ),B( 6 ,- 2 ,0),C( 6 , 2 ,0),D(- 3 3 ,0,0). 3 1 6 3 (2)由(1)及中点坐标公式得E( 12 ,- 4 , 6 ),F(- 12 , 1 ,0), 4 ∴|EF|= 32 12 62 2 ?- ? +? ? +?- ? = . 6 2 6 2

第四章

4.3

4.3.1 、4.3.2

总结评述:(1)建立空间直角坐标系.在解答有关正三 棱锥的问题时,常用的一条辅助线就是其高线,建立空间直 线坐标系必须根据题目的条件找出从同一点出发的三条两两 垂直的直线. (2)求坐标易出错的原因有:一是弄不清y轴与CD,CB的 位置关系;二是忽略了重心定理的应用;三是忽视了点的位 置对坐标的影响,如点B的纵坐标应是BM长的相反数.另外 解答本类问题还常出现计算错误而失分.所以要加强计算能 力的训练与培养.
第四章 4.3 4.3.1 、4.3.2

名师辨误做答

第四章

4.3

4.3.1 、4.3.2

易错点 [例4]

空间点的坐标的求法 如下图所示,在底面是菱形的直四棱柱ABCD-

A1B1C1D1中,底面的边长为a,且有一个角为120° ,侧棱长为 2a,在空间直角坐标系中确定点A1,D,C的坐标.

[错解]

a A1(a,0,0),D(2,0,a),C(0,a,2a).
第四章 4.3 4.3.1 、4.3.2

[思路分析] 错解主要是不知道点的坐标是用点在各个坐 标平面xOy,yOz,zOx的射影来确定.

第四章

4.3

4.3.1 、4.3.2

[正解]

∵点A1在xOy坐标平面内,∴点A1的竖坐标为0.

又由平面几何知识得Ox轴与A1D1垂直且平分,
? 3 a 3 a ? ? ∴A1H= ,OH= a,∴A1? a,- ,0?. 2 2 2 ? ? 2 ? ? 同理可得D? ? ? ? 3 a ? a, ,2a?,C(0,a,2a). 2 2 ?

第四章

4.3

4.3.1 、4.3.2

课堂基础巩固

第四章

4.3

4.3.1 、4.3.2

1.下列点在x轴上的是(

)

A.(0.1,0.2,0.3) B.(0,0,0.001) C.(5,0,0) D.(0,0.01,0)

[答案] C

第四章

4.3

4.3.1 、4.3.2

2.在空间直角坐标系中,点M(-1,2,-4)关于x轴的对 称点的坐标是( ) B.(-1,-2,-4) D.(1,-2,4)

A.(-1,-2,4) C.(1,2,-4)

[答案]

A

第四章

4.3

4.3.1 、4.3.2

3.如下图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则 点B1的坐标是( )

A.(1,0,0) B.(1,0,1) C.(1,1,1) D.(1,1,0)

[答案] C

第四章

4.3

4.3.1 、4.3.2

4.已知A(4,-7,1),B(6,2,z),|AB|=11,则z= ________.
[答案] -5或7

[解析] =-5或7.

|AB|=

?4-6?2+?-7-2?2+?1-z?2 =11,解得z

第四章

4.3

4.3.1 、4.3.2

5.已知点A(1,-2,1)关于坐标平面xOy的对称点为A1, 则A,A1两点间的距离为________.
[答案]
[解析]

2
A1(1,-2,-1),

则|AA1|= ?1-1?2+?-2+2?2+?1+1?2=2.

第四章

4.3

4.3.1 、4.3.2

6.已知点A(1,2,3),B(2,-1,4),点P在y轴上,且|PA|= |PB|,则点P的坐标是________.
[答案] 7 -6

第四章

4.3

4.3.1 、4.3.2

[解析]

设点P(0,b,0),则

?1-0?2+?2-b?2+?3-0?2= 7 ?2-0? +?-1-b? +?4-0? ,解得b=-6.
2 2 2

第四章

4.3

4.3.1 、4.3.2

7.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知|AB|=3,|BC| =2,|AA1|=2,用空间两点间的距离公式求对角线B1D的长.

第四章

4.3

4.3.1 、4.3.2

[解析]

∵D(0,0,0),B1(2,3,2),

∴|B1D|= 22+32+22= 17.

第四章

4.3

4.3.1 、4.3.2

8.如图所示,V-ABCD是正棱锥,O为底面中心,E,F 分别为BC,CD的中点.已知|AB|=2,|VO|=3,建立如右所 示空间直角坐标系,试分别写出各个顶点的坐标.

第四章

4.3

4.3.1 、4.3.2

[解析]

∵底面是边长为2的正方形,

∴|CE|=|CF|=1. ∵O点是坐标原点, ∴C(1,1,0),同样的方法可以确定B(1,-1,0),A(-1,- 1,0),D(-1,1,0). ∵V在z轴上,∴V(0,0,3).

第四章

4.3

4.3.1 、4.3.2

[点评]

(1)本题坐标系已给出,不用再建系,若未给出坐

标系,建立空间直角坐标系时应遵循以下原则: ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内; ②充分利用几何图形的对称性. (2)求某点的坐标时,一般先找这一点在某一坐标平面上 的射影,确定其两个坐标,再找出它在另一轴上的射影(或者 通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)确定第三个坐标.

第四章

4.3

4.3.1 、4.3.2


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