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三角函数及其图像性质测试试卷(含解析)


三角函数测试试卷
一、选择题(每题 5 分,共 60 分) 1.若角 α 与角 β 的终边关于 y 轴对称,则( ) A.α +β =π +kπ (k∈Z) B.α +β =π +2kπ (k∈Z) C. D.

2.若角 α 的终边经过点 P(1,﹣2) ,则 tanα 的值为( ) A. B. C.﹣2 D. 的图象,只要把 C 上所有的点( )

个单位长度 个单位长度 )=( )

3.已知函数 y=sin2x 的图象为 C,为了得到函数 A.向左平行移动 C.向左平行移动 个单位长度 B.向右平行移动 个单位长度 D.向右平行移动

4.已知函数 f(x)=sin(ω x+φ ) (ω >0)的图象如图所示,则 f(

A.

B.

C.

D. ,若 f(x+θ )是周期为 2π 的偶函数,则 θ 的一个可

5.已知函数 能 值是( ) A. B. C.π D.

6.设函数 f(x)=cosω x(ω >0) ,将 y=f(x)的图象向右平移 ω 的最小值等于( ) A. B.3 7.已知 A. B. C. C.6 D.9 ,那么 cosα =( ) D.

个单位长度后,所得的图象与原图象重合,则

8.已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0, ? ? 是() A. ( ?

?

) 的最小正周期为 4? ,且 f ( ) ? 1 ,则 f ( x) 的一个对称中心坐标 2 3

?

2? , 0) 3

B. ( ?

?
3

, 0) C. (

2? 5? , 0) D. ( , 0) 3 3


9.在 ?0,2? ? 内,使 sin x ? cos x 成立的 x 取值范围是(

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A. ?

? 5? ? ? ? 7? ? ? ? 5? ? ? ? ? ? 7? ? , ? B. ? , ? C. ?0, ? D. ?0, ? ? ? ,2? ? ? 4? ?4 4 ? ?4 4 ? ? 4? ? 4 ?
)图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,再向左平移 个单位,纵坐标不变,所得函

10.将函数 y=sin(4x﹣

数图象的一条对称轴的方程是( ) A. 11.函数 A.向左平移 个单位 B.x= C.x= D.x=﹣ 的图象可由 y=cos2x 的图象经过怎样的变换得到( ) B.向右平移 个单位 C.向左平移 个单位 D.向右平移 个单位

12.设 a=sin33°,b=cos55°,c=tan55°,则( ) A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b 二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 13.已知 ,且 ,那么 tanα =. ,④ 中,最小正周期为 π 的所

14.在函数①y=cos|2x|,②y=|cosx|,③ 有 函数为. (请填序号) 15.关于函数 f(x)=4sin(2x+ ) , (x∈R)有下列命题:

(1)y=f(x)是以 2π 为最小正周期的周期函数; (2)y=f(x)可改写为 y=4cos(2x﹣ (3)y=f(x)的图象关于(﹣ 其中真命题的序号为. 16.若 f(x)=2sinω x(0<ω <1)在区间 上的最大值是 ,则 ω =. ,0)对称; (4)y=f(x)的图象关于直线 x=﹣ 对称;

) ;

三、解答题(17 题 10 分,18-22 每题 12 分,共 70 分) 17.已知角 α 终边经过点 P(x,﹣ ) (x≠0) ,且 cosα = x,求 sinα + 的值.

18.已知函数



(1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求函数 f(x)的单调递增区间; (3)当 时,求函数 f(x)的最小值,并求出使 y=f(x)取得最小值时相应的 x 值.

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19.已知角 ? 的终边与单位圆交于点 P ( , ) .

4 3 5 5

(1)写出 sin ? 、 cos ? 、 tan ? 值; (2)求

sin(? ? ? ) ? 2sin(

?

2 2 cos(? ? ? )

??)
的值.

20. 已知 α 是第三象限角, 且f (α ) = (1)若 cos(α ﹣ π )= ,求 f(α ) ; (2)若 α =﹣1920°,求 f(α ) .



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21.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), x ? R (其中 A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ?

?
2

)的图像与 x 轴的交点中,相邻两个交点

? 2? , ?2) . ,且图像上一个最低点为 M ( 2 3 ? ? (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)当 x ? [ , ] ,求 f ( x ) 的值域. 12 2
之间的距离为

22.已知函数 (Ⅰ)写出函数 f(x)的最小正周期及其单调递减区间; (Ⅱ)求 f(x)的解析式.

的部分图象如图所示.

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参考答案 1.B 【解析】 试题分析:根据角 α 与角 β 的终边关于 y 轴对称,即可确定 α 与 β 的关系. 解:∵π ﹣α 是与 α 关于 y 轴对称的一个角, ∴β 与 π ﹣α 的终边相同, 即 β =2kπ +(π ﹣α ) ∴α +β =α +2kπ +(π ﹣α )=(2k+1)π , 故答案为:α +β =(2k+1)π 或 α =﹣β +(2k+1)π ,k∈z, 故选:B. 考点:终边相同的角. 2.C 【解析】 试题分析:由三角函数的定义,求出值即可 解:∵角 α 的终边经过点 P(1,﹣2) , ∴tanα =﹣2. 故选:C. 考点:任意角的三角函数的定义. 3.C 【解析】 试题分析:根据三角函数的图象关系进行判断即可. 解: 即为了得到函数 =sin2(x+ ) , 的图象,只要把 C 上所有的点向左平行移动 个单位

长度即可, 故选:C. 考点:函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换. 4.B 【解析】 试题分析: 由图象可知: T= =1,取 φ =﹣ .即可得出. = ,解得 ω = . =1,取 φ =﹣ , = = . . = , 解得 ω = . 且f =

解:由图象可知:T= 且f ∴f(x)= ∴f( )= =

故选:B. 考点:正弦函数的图象.
答案第 1 页,总 8 页

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5.B 【解析】 试题分析:由条件利用正弦函数的周期性求得 ω 的值,再根据正弦函数、余弦函数的奇偶 性可得 3ω θ + 解: 函数 + ∴ ]=2 sin(3ω x+3ω θ + =kπ + ,k∈Z,从而求得 θ 的值. , 若f (x+θ ) =2 )是周期为 2π 的偶函数, ,k∈Z, sin[3ω(x+θ )

=2π ,且 3ω θ + ,

=kπ +

求得 ω = ,θ =kπ +

结合所给的选项,则 θ 的一个可能值是 故选:B. 考点:正弦函数的图象. 6.C 【解析】 试题分析:函数图象平移 个周期,容易得到结果. 解:f(x)的周期 T= ,函数图象平移



个单位长度后,所得的图象与原图象重合,说明函数平移整数

个单位长度后,所得的图象与原图象重合,说

明函数平移整数个周期,所以

,k∈Z.令 k=1,可得 ω =6.

故选 C. 考点:由 y=Asin(ω x+φ )的部分图象确定其解析式. 7.C 【解析】 试题分析:已知等式中的角变形后,利用诱导公式化简,即可求出 cosα 的值. 解:sin( +α )=sin(2π + +α )=sin( +α )=cosα = .

故选 C. 考点:诱导公式的作用. 8.A 【解析】

1 ? .因为 f ( ) ? 1 ,所以 2 3 ? ? 1 ? ? 1 ? ? ? ? ? ? 2k? (k ? Z ) ,由 ? ? ,得 ? ? ,故 f ( x ) ? sin( x ? ) . 3 2 2 3 2 3 2 1 ? 2? x ? ? k? ( k ? Z ) , 得 x ? 2 k ? ? ( k? Z ) 令 , 故 f ( x) 的 对 称 中 心 为 2 3 3
试题分析:由 f ( x) ? sin(?x ? ? ) 的最小正周期为 4? ,得 ? ?

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(2k? ?

2? 2? ,0)( k ? Z ) ,当 k ? 0 时, f ( x) 的对称中心为 ( ? ,0) ,故选 A. 3 3

考点:三角函数的图像与性质. 9.A 【解析】 试题分析: 不等式化为 ?

? sin x ? 0 ? sin x ? 0 ?? ? 或? , 解不等式得解集分别为 ? , ? ? 或 ?4 ? ?sin x ? cos x ?? sin x ? cos x

? ? 7? ? ? 7 ? ? ? , ? ? ,所以 x 取值范围是 ? , ? ?4 4 ? ? 4 ?
考点:解三角不等式 10.A 【解析】 试题分析:利用函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换,可求得变换后的函数的解析式为 y=sin (8x﹣ ) ,利用正弦函数的对称性即可求得答案. ) 图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍, 得到的函数解析式为:

解: 将函数 y=sin (4x﹣ g(x)=sin(2x﹣ ) ,

再将 g (x) =sin (2x﹣ (x+ 由 2x+ )﹣ =kπ +

) 的图象向左平移 ﹣

个单位 (纵坐标不变) 得到 y=g (x+ ) ,

) =sin[2

]=sin(2x+

)=sin(2x+ +

(k∈Z) ,得:x= ,即 x=

,k∈Z.

∴当 k=0 时,x=

是变化后的函数图象的一条对称轴的方程,

故选:A. 考点:函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换. 11.D 【解析】 试题分析:利用诱导公式化简函数 函数 y=Asin(ω x+?)的图象变换规律得出结论. 解:∵函数 故把 y=cos2x 的图向右平移 =cos[ ﹣(2x+ )]=cos( ﹣2x)=cos2[x﹣ ]的图象, ], 的解析式为 y=cos2[x﹣ ],再根据

个单位可得函数 y=cos2[x﹣

故选 D. 考点:函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换. 12.C 【解析】
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试题分析:利用诱导公式、三角函数的单调性即可得出. 解:∵a=sin33°,b=cos55°=sin35°, ∴a<b<1, 又 c=tan55°>tn45°=1, ∴c>b>a. 故选:C. 考点:不等式比较大小. 13. 【解析】 试题分析:由条件利用同角三角函数的基本关系,求得要求式子的值. 解:∵已知 那么 tanα = 故答案为: . 考点:同角三角函数基本关系的运用;运用诱导公式化简求值. 14.①②③ 【解析】 试题分析:由条件利用三角函数的周期性,得出结论. 解:函数①y=cos|2x|=cos2x 的最小正周期为 ②y=|cosx|的最小正周期为 ?2π =π , ③ ④ 的最小正周期为 的最小正周期为 =π , , =π , = , =sinα , 且 ,∴cosα = = ,

故答案为:①②③. 考点:三角函数的周期性及其求法. 15. (2) (3) 【解析】 试题分析:根据所给的函数解析式,代入求周期的公式求出周期,得到(1)不正确,利用 诱导公式转化得到 (2) 正确, 把所给的对称点代入解析式, 根据函数值得到 (3) 正确而 (4) 不正确. 解:函数 f(x)=4sin(2x+ ∴T= ) ,

=π ,故(1)不正确, )=4cos( ﹣2x﹣ )=4cos(2x﹣ ) ,

∵f(x)=4sin(2x+ 故(2)正确,

答案第 4 页,总 8 页

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把 x=﹣

代入解析式得到函数值是 0,故(3)正确, (4)不正确,

综上可知(2) (3)两个命题正确, 故答案为: (2) (3) . 考点:正弦函数的对称性;三角函数的周期性及其求法. 16. 【解析】 试题分析:根据已知区间,确定 ω x 的范围,求出它的最大值,结合 0<ω <1,求出 ω 的 值. 解 : ,

故答案为: 考点:三角函数的最值. 17. .

【解析】 试题分析:利用三角函数的定义即可得出. 解∵P(x,﹣ ) (x≠0) , ∴点 P 到原点的距离 r= 又 cosα = ∴cosα = x, = x. .

∵x≠0,∴x=± , ∴r=2 . 当 x= 时,P 点坐标为( 由三角函数的定义, 有 sinα =﹣ ∴sinα + 当 x=﹣ , =﹣ 时, = =﹣ ﹣

,﹣

) ,

, =﹣ ;

同样可求得 sinα +



考点:同角三角函数间的基本关系;任意角的三角函数的定义. 18. (Ⅰ) . (Ⅱ)函数 f(x)的单调递增区间是 (k∈

答案第 5 页,总 8 页

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Z) . (Ⅲ)函数 f(x)的最小值是





【解析】 试题分析: (Ⅰ)由条件利用正弦函数的周期性求得函数 f(x)的最小正周期. (Ⅱ)由条件利用正弦函数的单调性求得函数 f(x)的单调递增区间. (Ⅲ)由条件利用正弦函数的定义域和值域求得函数 f(x)的最小值,以及此时相应的 x 值. 解: (Ⅰ)对于函数 (Ⅱ)令 求得 所以 函数 f(x)的单调递增区间是 (Ⅲ)∵ ,∴ ,即 ,此时, . ,即 (k∈Z) . . ,它的最小正周期为 , . .

所以函数 f(x)的最小值是 考点:正弦函数的图象. 19. (1) 【解析】

3 5 ; (2) ? 4 8
4 3 5 5

试题分析: (1)根据已知角α 的终边与单位圆交与点 P ( , ) .结合三角函数的定义即可得 到 sin ? 、

cos? 、 tan ? 的 值 ;( 2 ) 依 据 三 角 函 数 的 诱 导 公 式 化 简 即 可 :
?

sin(? ? ? ) ? 2sin( ? ? ) ? sin ? ? 2 cos ? 2 ? ,最后利用第(1)小问的结论得出答案 2 cos(? ? ? ) ?2 cos ?
试题解析: (1) sin ? ?

3 4 sin ? 3 ? ; , cos ? ? , tan ? ? 5 5 cos ? 4

sin(? ? ? ) ? 2sin( ? ? ) ? sin ? ? 2 cos ? 2 ? (2) 2 cos(? ? ? ) ?2 cos ?
? 1 1 3 tan ? ? 1 ? ? ? 1 2 2 4 5 ?? . 8
. (2)﹣ .

?

考点:三角函数定义及化简求值 20. (1)﹣ 【解析】
答案第 6 页,总 8 页

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试题分析:由条件利用诱导公式、同角三角函数的基本关系,求得要求式子的值. 解 : ∵ 已 知 α 是 第 三 象 限 角 , 且 f ( α )

=

= (1)若 cos(α ﹣ π )=cos(α + ∴f(α )=cosα =﹣ =﹣

=cosα , )=﹣sinα = ,∴sinα =﹣ , .

(2)若 α =﹣1920°,求 f(α )=cos(﹣1920°)=cos(﹣1800°﹣120°)=cos120°= ﹣ . 考点:三角函数的化简求值;运用诱导公式化简求值. 21. (1) f ( x) ? 2sin(2 x ?

?
6

) (2) ? ?1, 2?

【解析】 试题分析: (1)根据最低点 M 可求得 A;由 x 轴上相邻的两个交点之间的距离可求得ω ;进 而把点 M 代入 f(x)即可求得φ ,把 A,ω ,φ 代入 f(x)即可得到函数的解析式; (2)根据 x 的范围进 而可确定当 2 x ?

?
6

的范围,根据正弦函数的单调性可求得函数的最大值和最小值.确定函数的值域 试题解析:∵相邻两个交点之间的距离为

T ? ? ,即 T ? ? ,?? ? 2 . 2 2 2? , ?2) ? A ? 2 , ∵图像上一个最低点为 M ( 3 2? 3? ?2? ?? ? ? 2 k? ( k ? Z ) , 3 2 ?
∵0 ?? ?

? , 2

?

2

,?? ?

?

6



∴ f ( x ) 的解析式为 f ( x) ? 2sin(2 x ? (2)∵

?
6

);

?
12

?x?

?
2

,

?

?
3

6 1 ? ?? ? sin(2 x ? ) ? 1 , 2 6
??1 ? f ( x) ? 2 ,

? 2x ?

?

?

7? , 6

答案第 7 页,总 8 页

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∴ f ( x ) 的值域为 ? ?1, 2? . 考点:1.三角函数解析式;2.三角函数值域 22. (Ⅰ) 函数的单调减区间为[kπ ﹣ 【解析】 试题分析: (Ⅰ)根据函数的图象可得 = ,由此求得周期 T 的值.设所给的图象中 , kπ ﹣ ], k∈z. (Ⅱ) .

最低点的横坐标为 a,由函数的周期性求得 a 的值,结合图象写出函数的单调减区间. (Ⅱ)由周期 T 求得 ω =2,再由点( 根据 φ 的范围求得 φ 的值. 解: (Ⅰ)根据函数 , 由此解得函数的最小正周期为 T=π . 设所给的图象中最低点的横坐标为 a,由题意可得 由于﹣ ﹣ =﹣ ﹣ =﹣ = ,a=﹣ ,﹣ . ], 的部分图象可得 = ,0)在函数的图象上可得 sin(2× +φ )=0,

,故函数的一个单调减区间为[﹣ ,kπ ﹣ ],k∈z.

故函数的单调减区间为[kπ ﹣ (Ⅱ)T=π = =0. 由于|φ |< ,∴φ =﹣ ,故

,可得 ω =2.再由点(

,0)在函数的图象上,可得 sin(2×

+φ )



考点:由 y=Asin(ω x+φ )的部分图象确定其解析式;正弦函数的单调性.

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