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《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案(解题训练)二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题(含解析)


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第三节

二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题

[知识能否忆起] 1.二元一次不等式(组)表示的平面区域 (1)在平面直角坐标系中二元一次不等式(组)表示的平面区域: 不等式 Ax+By+C>0 Ax+By+C≥0 不等式组 表示区域 直线 Ax+By+C=0 某一侧的 所有点组成

的平面区域 不包括边界直线 包括边界直线

各个不等式所表示平面区域的公共部分

(2)二元一次不等式表示的平面区域的确定: 二元一次不等式所表示的平面区域的确定,一般是取不在直线上的点(x0,y0)作为测试 点来进行判定,满足不等式的,则平面区域在测试点所在的直线的一侧,反之在直线的另一 侧. 2.线性规划中的基本概念 名称 约束条件 线性约束条件 目标函数 线性目标函数 可行解 可行域 最优解 线性规划问题 意义 由变量 x,y 组成的不等式(组) 由 x,y 的一次不等式(或方程)组成的不等式(组) 关于 x,y 的函数解析式,如 z=2x+3y 等 关于 x,y 的一次解析式 满足线性约束条件的解(x,y) 所有可行解组成的集合 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题

[小题能否全取]

1.(教材习题改编)如图所示的平面区域 (阴影部分),用不等式表示为

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(

) A.2x-y-3<0 C.2x-y-3≤0 B.2x-y-3>0 D.2x-y-3≥0

解析:选 B 将原点(0,0)代入 2x-y-3 得 2×0-0-3=-3<0,所以不等式为 2x-y -3>0. x≥1, ? ? 2.(教材习题改编)已知实数 x、y 满足?y≤2, ? ?x-y≤0, 积是( )

则此不等式组表示的平面区域的面

1 A. 2 C.1

1 B. 4 1 D. 8

1 1 解析:选 A 作出可行域为如图所示的三角形,∴S△= ×1×1= . 2 2 x≥0, ? ? 3.(2012· 安徽高考)若 x,y 满足约束条件?x+2y≥3, ? ?2x+y≤3 A.-3 3 C. 2 解析:选 A B.0 D.3

则 z=x-y 的最小值是(

)

x≥0, ? ? 根据?x+2y≥3, ? ?2x+y≤3

得可行域如图中阴影部分所示,根据 z=x-y 得 y=x-z,平移直线

y=x,当其经过点(0,3)时取得最小值-3.

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4.写出能表示图中阴影部分的二元一次不等式组是__________. x≤0, ? ? 解析:由可行域知不等式组为?0≤y≤1, ? ?2x-y+2≥0. x≤0, ? ? 答案:?0≤y≤1, ? ?2x-y+2≥0 5.完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成.请木工需付工资每人 50 元,请瓦工需 付工资每人 40 元,现有工人工资预算 2 000 元,设木工 x 人,瓦工 y 人,则所请工人数的 约束条件是________. 50x+40y≤2 000, ? ? * 答案:?x∈N , ? ?y∈N* 1.确定二元一次不等式表示平面区域的方法与技巧 确定二元一次不等式表示的平面区域时,经常采用“直线定界,特殊点定域”的方法. (1)直线定界,即若不等式不含等号,则应把直线画成虚线;若不等式含有等号,把直 线画成实线;(2)特殊点定域,即在直线 Ax+By+C=0 的某一侧取一个特殊点(x0,y0)作为 测试点代入不等式检验,若满足不等式,则表示的就是包括该点的这一侧,否则就表示直线 的另一侧.特别地,当 C ≠0 时,常把原点作为测试点;当 C=0 时,常选点(1,0)或者(0,1) 作为测试点. 2.最优解问题 如果可行域是一个多边形, 那么目标函数一般在某顶点处取得最大值或最小值, 最优解 就是该点的坐标,到底哪个顶点为最优解,只要将目标函数的直线平行移动,最先通过或最 后通过的顶点便是.特别地,当表示线性目标函数的直线与可行域的某条边平行时,其最优 解可能有无数个.

二元一次不等式(组)表示平面区域

典题导入

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[例 1]

x≥0, ? ?y≥0, (2011· 湖北高考)直线 2x+y-10=0 与不等式组? x-y≥-2, ? ?4x+3y ≤20 ) B.1 个 D.无数个

表示的平面区

域的公共点有( A.0 个 C.2 个

[自主解答] 由不等式组画出平面区域如图(阴影部分). 4 直线 2x+y-10=0 恰过点 A(5,0),且斜率 k=-2<kAB=- ,即直 3 线 2x+y-10=0 与平面区域仅有一个公共点 A(5,0). [答案] B 由题悟法 二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法:直线定界,测试点定域.

注意:不等式中不等号有无等号,无等号时直线画成虚线,有等号时直线画成实线.测 试点可以选一个,也可以选多个,若直线不过原点,测试点常选取原点.

以题试法 x-y≥0, ? ? 1.(1)(2012· 海淀期中)若满足条件?x+y-2≤0, ? ?y≥a 指横、纵坐标都是整数的点,则整数 a 的值为( A.-3 C.-1 B.-2 D.0 )

的整点(x,y)恰有 9 个,其中整点是

x+y≥0, ? ? (2)(2012· 北京朝阳期末)在平面直角坐标系中, 不等式组?x-y+4≥0, ? ?x≤a 区域的面积是 9,则实数 a 的值为________. 解析:(1)不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分,当 a=0 时,只有 4 个整点(1,1),(0,0),(1,0),(2,0);当 a=-1 时,正好增 加(-1,-1),(0,-1),(1,-1),(2,-1),(3,-1)5 个整点, 故选 C.

所表示的平面

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(2)不等式组所表示的平面区域是如图所示的△ABC,且 A(-2,2),B(a,a+4),C(a, -a),若 a≤0,则有△ABC 的面积 S△ABC≤4,故 a>0,BC 的长为 2a+4,由面积公式可得 1 △ABC 的面积 S△ABC= (a+2)· (2a+4)=9,解得 a=1. 2

答案:(1)C (2)1

求目标函数的最值

典题导入 x-y≥-1, ? ?x+y≤3, (1)(2012· 新课标全国卷)设 x,y 满足约束条件? x≥0, ? ?y≥0,

[例 2]

则 z=x-2y 的

取值范围为________. x≥0, ? ? (2)(2012· 广州调研)已知实数 x,y 满足?y≤1, ? ?2x-2y+1≤0, 取得最小值时的最优解有无数个,则实数 a 的值为________. [自主解答] (1)依题意,画出可行域,如图阴影部分所示,显然, 1 z 当直线 y= x- 过点 B(1,2)时,z 取得最小值为-3;当直线过点 A(3,0) 2 2 时,z 取得最大值为 3,综上可知 z 的取值范围为[-3,3].

若目标函数 z=ax+y(a≠0)

(2)画出平面区域所表示的图形,如图中的阴影部分所示,平移直线 ax+y=0,可知当 平移到与直线 2x-2y+1=0 重合,即 a=-1 时,目标函数 z=ax+y 的最小值有无数多个. [答案] (1)[-3,3] (2)-1

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1 ? 若本例(2)条件变为目标函数 z=ax+y(a≠0)仅在点? ?2,1?处取得最小值,其它条件不 变,求 a 的取值范围. 解:由本例图知,当直线 ax+y=0 的斜率 k=-a>1, 即 a<-1 时,满足条件, 所求 a 的取值范围为(-∞,-1).

由题悟法 1.求目标函数的最值的一般步骤为:一画二移三求.其关键是准确作出可行域,理解 目标函数的意义. 2.常见的目标函数有: (1)截距型:形如 z=ax+by. a z 求这类目标函数的最值常将函数 z=ax+by 转化为直线的斜截式:y=- x+ ,通过求 b b z 直线的截距 的最值间接求出 z 的最值. b (2)距离型:形如 z=(x-a)2+(y-b)2. y-b (3)斜率型:形如 z= . x-a 注意:转化的等价性及几何意义. 以题试法 x+y≥0, ? ? 2. (1)设 z=2x+y, 其中 x, y 满足?x-y≤0, 若 z 的最大值为 6, 则 k 的值为________; ? ?0≤y≤k, z 的最小值为________. x+y≥2, ? ? (2)已知 O 是坐标原点, 点 A(1,0), 若点 M(x, y)为平面区域?x≤1, ? ?y≤2 则| OA + OM |的最小值是________. 解析: (1)在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线 2x+y=6,结合图形分析可知,要使 z=2x+y 的最大值是 6,直线 y=k 必过直线 2x+y=6 与 x-y=0 的交点,即必过点(2,2),于是有 k=2; 平移直线 2x+y=6,当平移到经过该平面区域内的点(-2,2)时,相应直

上的一个动点,

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线在 y 轴上的截距达到最小,此时 z=2x+y 取得最小值,最小值是 z=2×(-2)+2=-2. (2) 依 题 意 得 , OA + OM = (x + 1 , y) , | OA + OM | = ?x+1?2+y2可视为点(x,y)与点(-1,0)间的距离,在坐标平面内画出 题中的不等式组表示的平面区域,结合图形可知,在该平面区域内的 点中,由点(-1,0)向直线 x+y=2 引垂线的垂足位于该平面区域内, |-1+0-2| 3 2 且与点(-1,0)的距离最小,因此| OA + OM |的最小值是 = . 2 2 答案:(1)2 -2 3 2 (2) 2

线性规划的实际应用

典题导入 [例 3] (2012· 四川高考)某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、B 原料 2 千克;生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克,B 原料 1 千克.每桶甲产 品的利润是 300 元,每桶乙产品的利润是 400 元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每 天消耗 A、B 原料都不超过 12 千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产 品中,公司共可获得的最大利润是( A.1 800 元 C.2 800 元 ) B.2 400 元 D.3 100 元

[自主解答] 设每天分别生产甲产品 x 桶, 乙产品 y 桶, 相应的 x+2y≤12, ? ? 利润为 z 元,则?2x+y≤12, ? ?x≥0,y≥0,

z=300x+400y,在坐标平面内画

出该不等式组表示的平面区域及直线 300x+400y=0,平移该直线,当平移到经过该平面区 域内的点 A(4,4)时,相应直线在 y 轴上的截距达到最大,此时 z=300x+400y 取得最大值, 最大值是 z=300×4+400×4=2 800,即该公司可获得的最大利润是 2 800 元. [答案] C 由题悟法 与线性规划有关的应用问题,通常涉及最优化问题.如用料最省、获利最大等,其解题 步骤是:①设未知数,确定线性约 束条件及目标函数;②转化为线性规划模型;③解该线性规划问题,求出最优解;④调 整最优解.

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以题试法 3.(2012· 南通模拟)铁矿石 A 和 B 的含铁率 a,冶炼每万吨铁矿石的 CO2 的排放量 b 及 每万吨铁矿石的价格 c 如下表: a A B 50% 70% b(万吨) 1 0.5 c(百万元) 3 6

某冶炼厂至少要生产 1.9(万吨)铁,若要求 CO2 的排放量不超过 2(万吨),则购买铁矿石 的最少费用为________百万元.

解析:可设需购买 A 铁矿石 x 万吨,B 铁矿石 y 万吨, x≥0, ? ?y≥0, 则根据题意得到约束条件为? 0.5x+0.7y≥1.9, ? ?x+0.5y≤2, 目标函数为 z=3x+6y,画出不等式组表示的平面区域如图所示当目标函数经过(1,2)点 时目标函数取最小值,最小值为 zmin=3×1+6×2=15. 答案:15

1.(2012· 三明模拟)已知点(-3,-1)和点(4,-6)在直线 3x-2y-a=0 的两侧,则 a 的取值范围为( A.(-24,7) C.(-∞,-7)∪(24,+∞) ) B.(-7,24) D.(-∞,-24)∪(7,+∞)

解析:选 B 根据题意知(-9+2-a)· (12+12-a)<0. 即(a+7)(a-24)<0,解得-7<a<24.

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x≤2, ? ? 2.已知实数对(x,y)满足?y≥1, ? ?x-y≥0, A.6 C.(2,2) B.3 D.(1,1)

则 2x+y 取最小值时的最优解是(

)

解析:选 D 约束条件表示的可行域如图中阴影三角形,令 z =2x+y,y=-2x+z,作初始直线 l0:y=-2x,作与 l0 平行的直线 l,则直线经过点(1,1)时,(2x+y)min=3. x+2y≥2, ? ? 3.(2012· 山东高考)设变量 x,y 满足约束条件?2x+y≤4, ? ?4x-y≥-1, 则目标函数 z=3x-y 的取值范围是( 3 ? A.? ?-2,6? C.[-1,6] ) 3 ? B.? ?-2,-1? 3? D.? ?-6,2?

解析: 选 A 不等式组表示的平面区域如图所示, 目标函 数的几何意义是直线在 y 轴上截距的相反数,其最大值在点 1 ? A(2,0)处取得,最小值在点 B? ?2,3?处取得,即最大值为 6,最 3 小值为- . 2 x-y≤0, ? ? 4.在不等式组?x+y≥0, ? ?y≤a +2y 的最大值为 3,则 a 的值是( A.1 C.3 B.2 D.4

确定的平面区域中,若 z=x

)

解析:选 A 如图所示,作出可行域,是一个三角形区域,而由 图可知,目标函数 z=x+2y 在点 A(a,a)处取得最值,故 a+2a=3, 解得 a=1.

5 . (2012· 石 家 庄 质 检 ) 已 知 点 Q(5,4) , 动 点 P(x , y) 满 足

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2x-y+2≥0, ? ? ?x+y-2≤0, ? ?y-1≥0, A.5 C.2

则|PQ|的最小值为(

)

4 B. 3 D.7

解析:选 A 不等式组所表示的可行域如图所示,直线 AB 的 方程为 x+y-2=0, 过 Q 点且与直线 AB 垂直的直线为 y-4=x-5, 3 1? 即 x-y-1=0,其与直线 x+y-2=0 的交点为? ?2,2?,而 B(1,1), 3 A(0,2),因为 >1,所以点 Q 在直线 x+y-2=0 上的射影不在线段 2 AB 上,则|PQ|的最小值即为点 Q 到点 B 的距离,故|PQ|min= ?5-1?2+?4-1?2=5. 6 . (2013· 山东烟台模拟 ) 已知 A(3 , 3) , O 是坐标原点,点 P(x , y) 的坐标满足

? 3x-y≤0, ?x- 3y+2≥0, ?y≥0,
C.[- 3,3]

设 Z 为 OA 在 OP 上的投影,则 Z 的取值范围是(

)

A.[- 3, 3 ]

B.[-3,3] D.[-3, 3 ]

解析: 选 B 约束条件所表示的平面区域如图.OA 在 OP 上的投影为| OA |· cos θ=2 3 cos θ(θ 为 OA 与 OP 的夹角), ∵∠xOA=30° ,∠xOB=60° , ∴30° ≤θ≤150° , ∴2 3cos θ∈[-3,3]. 7.(2013· 成都月考)若点 P(m,3)到直线 4x-3y+1=0 的距离为 4,且点 P 在不等式 2x +y<3 表示的平面区域内,则 m=________. |4m-9+1| ? ? =4, 5 解析:由题意可得? 解得 m=-3. ? 2 m + 3 < 3 , ? 答案:-3

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y-2≤0, ? ? 8 . (2012· “ 江南十校 ” 联考 ) 已知 x , y 满足 ?x+3≥0, ? ?x-y-1≤0, ________. 解析:作出如图所示的可行域.

则 x2 + y2 的最大值为

x2+y2 表示可行域内的点到原点的距离的平方,易知在点 A(-3, -4)处取最大值(-3)2+(-4)2=25. 答案:25 9.(2012· 上海高考)满足约束条件|x|+2|y|≤2 的目标函数 z=y-x 的最小值是________.

解析:由题意知约束条件表示的可行域为如图所示的菱形区域,所以当 x=2,y=0 时, 目标函数 z=y-x 取得最小值-2. 答案:-2 x-y+5≥0, ? ? 10.画出不等式组?x+y≥0, ? ?x≤3 (1)指出 x,y 的取值范围; (2)平面区域内有多少个整点? 解:(1)不等式 x-y+5≥0 表示直线 x-y+5=0 上及右下方 的点的集合.x+y≥0 表示直线 x+y=0 上及右上方的点的集合, x≤3 表示直线 x=3 上及左方的点的集合. x-y+5≥0, ? ? 所以,不等式组?x+y≥0, ? ?x≤3

表示的平面区域,并回答下列问题:

表示的平面区域如图所示.

5 ? 结合图中可行域得 x∈? ?-2,3?,y∈[-3,8].
? ?-x≤y≤x+5, (2)由图形及不等式组知? ?-2≤x≤3,且x∈Z. ?

当 x=3 时,-3≤y≤8,有 12 个整点; 当 x=2 时,-2≤y≤7,有 10 个整点;

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当 x=1 时,-1≤y≤6,有 8 个整点; 当 x=0 时,0≤y≤5,有 6 个整点; 当 x=-1 时,1≤y≤4,有 4 个整点; 当 x=-2 时,2≤y≤3,有 2 个整点; 所以平面区域内的整点共有 2+4+6+8+10+12=42(个). 11.某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共 100 个,生产一个卫 兵需 5 分钟,生产一个骑兵需 7 分钟,生产一个伞兵需 4 分钟,已知总生产时间不超过 10 小时.若生产一个卫兵可获利润 5 元,生产一个骑兵可获利润 6 元,生产一个伞兵可获利润 3 元. (1)用每天生产的卫兵个数 x 与骑兵个数 y 表示每天的利润 W(元); (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大,最大利润是多少? 解:(1)依题意每天生产的伞兵个数为 100-x-y, 所以利润 W=5x+6y+3(100-x-y) =2x+3y+300.

(2)约束条件为 5x+7y+4?100-x-y?≤600, ? ? ?100-x-y≥0, ? ?x≥0,y≥0,x∈Z,y∈Z, x+3y≤200, ? ? 整理得?x+y≤100, ? ?x≥0,y≥0,x∈Z,y∈Z, 目标函数为 W=2x+3y+300,如图所示,作出可行域. 初始直线 l0:2x+3y=0,平移初始直线经过点 A 时,W 有最大值.
?x+3y=200, ?x=50, ? ? 由? 得? 最优解为 A(50,50), ?x+y=100, ?y=50, ? ?

所以 Wmax=550(元). 答:每天生产卫兵 50 个,骑兵 50 个,伞兵 0 个时利润最大,为 550 元.

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x-4y+3≤0, ? ? 12.变量 x、y 满足?3x+5y-25≤0, ? ?x≥1. y (1)设 z= ,求 z 的最小值; x (2)设 z=x2+y2,求 z 的取值范围.

x-4y+3≤0, ? ? 解:由约束条件?3x+5y-25≤0, ? ?x≥1
?x=1, ? 由? ?3x+5y-25=0, ?

作出(x,y)的可行域如图所示.

22 1, ? . 解得 A? 5? ?
?x=1, ? 由? 解得 C(1,1). ? ?x-4y+3=0, ? ?x-4y+3=0, 由? 解得 B(5,2). ?3x+5y-25=0, ?

y y-0 (1)z= = 表示的几何意义是可行域中的点与原点 O 连线的斜率. x x-0 2 观察图形可知 zmin=kOB= . 5 (2)z=x2+y2 的几何意义是可行域上的点到原点 O 的距离的平方.结合图形可知,可行 域上的点到原点的距离中, dmin=|OC|= 2,dmax=|OB|= 29. 故 z 的取值范围为[2,29].

x+2y≥0, ? ? 1.(2012· 龙岩阶段性检测)在平面直角坐标系中,不等式组?2x-y≥0,?a>0? ? ?x≤a

表示的

平面区域的面积为 5,直线 mx-y+m=0 过该平面区域,则 m 的最大值是________.

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a? 解析:平面区域如图所示,A(a,2a),B? ?a,-2?. 1 5a 5 ∴S△OAB= × ×a= a2=5, 2 2 4 ∴a=2,即 A(2,4),B(2,-1). 又 mx-y+m=0 过定点(-1,0),即 y=mx+m,斜率 m 的最 大值为过 A 点时的值为 4 答案: 3 2.(2012· 济南质检)已知实数 x,y 满足|2x+y+1|≤|x+2y+2|,且-1≤y≤1,则 z=2x +y 的最大值为( A.6 C.4 ) B.5 D.-3 4 4 = . 2-?-1? 3

解析:选 B

|2x+y+1|≤|x+2y+2|等价于(2x+y+1)2≤(x+2y+2)2,即 x2≤(y+1)2,

即|x|≤|y+1|.又-1≤y≤1,作出可行域如图阴影部分所示. 则当目标函数过 C(2,1)时取得最大值, 所以 zmax=2×2+1=5. x+y≥1, ? ? 3.若 x,y 满足约束条件?x-y≥-1, ? ?2x-y≤2, 1 1 (1)求目标函数 z= x-y+ 的最值. 2 2 (2)若目标函数 z=ax+2y 仅在点(1,0)处取得最小值,求 a 的取值范围. 解:(1)作出可行域如图,可求得 A(3,4),B(0,1),C(1,0). 1 1 平移初始直线 x-y+ =0, 过 A(3,4)取最小值-2, 过 C(1,0)取最 2 2 大值 1. ∴z 的最大值为 1,最小值为-2. a (2)直线 ax+2y=z 仅在点(1,0)处取得最小值, 由图象可知-1<- 2

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<2,解得-4<a<2. 故所求 a 的取值范围为(-4,2).

x+y≤1, ? ? 1.(2012· 广东高考)已知变量 x,y 满足约束条件?x-y≤1, ? ?x+1≥0, ( ) A.3 C.-5 B.1 D.-6

则 z=x+2y 的最小值为

x+y≤1, ? ? 解析:选 C 变量 x,y 满足的不等式组?x-y≤1, ? ?x+1≥0

表示

的平面区域如图所示, 作辅助线 l0: x+2y=0, 并平移到过点 A(- 1,-2)时,z=x+2y 达到最小,最小值为-5. 2. (2011· 四川高考)某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人, 有 8 辆载重量为 10 吨的甲型卡车和 7 辆载重量为 6 吨的乙型卡车. 某天需送往 A 地至少 72 吨的货物,派用的每辆车需满载且只运送一次,派用的每辆甲型卡车需配 2 名工人,运送一 次可得利润 450 元;派用的每辆乙型卡车需配 1 名工人,运送一次可得利润 350 元.该公司 合理计划当天派用两类卡车的车辆数,可得最大利润 z=( A.4 650 元 C.4 900 元 B.4 700 元 D.5 000 元 )

解析: 选C

? ?x+y≤12, 设当天派用甲型卡车 x 辆, 乙型卡车 y 辆, 由题意得?10x+6y≥72, 0≤x≤8, ? ?0≤y≤7.
2x+y≤19,

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设每天的利润为 z 元, 则 z=450x+350y. 画出可行域如图阴影部分所示. 由图可知 z=450x+350y=50(9x+7y),经过点 A 时取得最大值.
?x+y=12, ?x=7, ? ? 又由? 得? 即 A(7,5). ?2x+y=19 ? ? ?y=5,

所以当 x=7,y=5 时,z 取到最大值,zmax=450×7+350×5=4 900 元.


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