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浙江省2011年10月高中数学有效教学论坛评比(王谦课件):分类加法计数原理与分步乘法计数原理


分类加法计数原理

分步乘法计数原理

我国“知名人士”——小明的生 我国“知名人士”——小明的生 活
京A .520 RMB 京B .007 IAM

1. 花坛装点方法

2. 车牌号码种数

个性化汽车牌照由一组( 个 个性化汽车牌照由一组(3个) 种不同的花色装点花坛, 思考:如果用 种不同的花色装点花坛, 思考:如果用4种不同的花色装点花坛 英文字母 计数问题:计算完成一件事 完成一件事的方法数的问题 计数问题:计算完成一件事的方法数的问题 共有多少种不同的装点方法? 共有多少种不同的装点方法? ,这种办 和一组( 个 阿拉伯数字组成, 和一组(3个)阿拉伯数字组成 法共能给多少辆汽车上牌照? 法共能给多少辆汽车上牌照?

十一长假中, 十一长假中,小明跟着父母去北京旅游 情境1 用一个大写的英文字母或 情境1:用一个大写的英文字母或一个阿拉伯
数字给北京部分景点编号, 数字给北京部分景点编号,总共能够编出多少 种不同的号码? 种不同的号码?

分析:完成给景点编号这件事有两类方案, 分析:完成给景点编号这件事有两类方案, 给景点编号这件事有两类方案 第1类,用一个英文字母,有26种不同方法 类 用一个英文字母, 种不同方法; 第2类,用一个阿拉伯数字,有10种不同方法 类 用一个阿拉伯数字, 种不同方法; 所以,给景点编号共有 种方法. 所以,给景点编号共有26 + 10 = 36种方法 种方法

十一长假中, 十一长假中,小明跟着父母去北京旅游
火车1 火车 情境2:已知从杭州到北京,可以乘火车,也 情境2 已知从杭州到北京,可以乘火车, 火车2 火车 可以乘飞机.一天中,直达火车有5班,直达飞 可以乘飞机.一天中,直达火车有5 … 火车5 火车 机有10 10班 那么一天中, 机有10班。那么一天中,乘坐这些交通工具从 杭州 北京 飞机1 飞机 杭州到北京共有多少种不同的走法? 杭州到北京共有多少种不同的走法? 飞机2 飞机



飞机10 飞机

分析:完成从杭州到北京这件事有两类方案, 分析:完成从杭州到北京这件事有两类方案, 从杭州到北京这件事有两类方案 第1类,乘火车,有5种不同方法 ; 类 乘火车, 种 第2类,乘飞机,有10种不同方法 ; 类 乘飞机, 种 所以,从杭州到北京共有 种方法. 所以,从杭州到北京共有5 + 10 = 15种方法 种方法

分类加法计数原理
两类不同方案,在第1 完成一件事有两类不同方案,在第1 类方案中有m 种不同的方法,在第2 类方案中有m1种不同的方法,在第2类方案 中有m 种不同的方法。 中有m2种不同的方法。那么完成这件事共 有N=m1+m2种不同的方法。 种不同的方法。

火车1 火车 火车2 火车



火车5 火车

杭州
飞机1 飞机 飞机2 飞机

北京


飞机10 飞机 汽车1 汽车 汽车2 汽车

分析:完成从杭州到北京这件事有 类方案 分析:完成从杭州到北京这件事有3类方案, 从杭州到北京这件事有 类方案, 所以,从杭州到北京共有 种方法. 所以,从杭州到北京共有5 + 10 +2= 17种方法 种方法

分类加法计数原理
类不同的方案, 完成一件事有n类不同的方案 类不同的方案 在第1类方案中有 种不同的方法, 在第 类方案中有m1种不同的方法 类方案中有 在第2类方案中有 种不同的方法, 类方案中有m 在第 类方案中有 2种不同的方法,……, , 在第n类方案中有 种不同的方法, 类方案中有m 在第 类方案中有 n种不同的方法, 那么完成这件事共有 N= 种不同的方法. 种不同的方法

m1 +m2 +…+mn

典例分析
例1

A网站: 网站: 网站
故宫 天安门广场 天坛 北海公园

B网站: 网站: 网站
奥林匹克公园 颐和园 景山公园 鼓楼 故宫

如果从中选择一个景点参观,共有多少种选法? 如果从中选择一个景点参观,共有多少种选法?

注意:分类——不重不漏 注意:分类 不重不漏

十一长假中, 十一长假中,小明跟着父母去北京旅游 情境1 用一个大写的英文字母或 情境1:用一个大写的英文字母或一个阿拉伯
数字给北京部分景点编号, 数字给北京部分景点编号,总共能够编出多少 种不同的号码? 种不同的号码?

变换:用前6 变换:用前6个大写英文字母和1~9九个阿拉
伯数字, 伯数字,以A1,A2,···,B1,B2,···的方式给北京 , 的方式给北京 部分景点编号,总共能编出多少种不同的号码? 部分景点编号,总共能编出多少种不同的号码?

字母

数字
1 2 3

得到的号码
A1 B11 C1 D F E A2 B22 C D F E
2

B C D A F E

4 5 6 7 8

A3 B33 C3 D F E A4 B44 C D F E
4

A5 B55 C5 D F E A6 B66 C D F E
6

A7 B77 C7 D F E A8 B88 C D F E
8

树形图

9

A9 B99 C9 D F E

十一长假中, 十一长假中,小明跟着父母去北京旅游 变换:用前6个大写英文字母和 变换:用前6个大写英文字母和1~9九个阿拉
伯数字, 伯数字,以A1,A2,···,B1,B2,···的方式给北京 , 的方式给北京 部分景点编号,总共能编出多少种不同的号码? 部分景点编号,总共能编出多少种不同的号码?

分析:完成给景点编号这件事需要两个步骤, 分析:完成给景点编号这件事需要两个步骤, 给景点编号这件事需要两个步骤 第1步,确定一个英文字母,有6种不同方法; 确定一个英文字母, 不同方法; 第2步,确定一个阿拉伯数字,有9种不同方法; 确定一个阿拉伯数字, 一个阿拉伯数字 不同方法; 所以,给景点编号共有6 所以,给景点编号共有6×9=54种方法. 54种方法. 种方法

十一长假中, 十一长假中,小明跟着父母去北京旅游 情境2:已知从杭州到北京,可以乘火车,也 情境2 已知从杭州到北京,可以乘火车,
可以乘飞机.一天中,直达火车有5 可以乘飞机.一天中,直达火车有5班,直达飞 机有10 10班 那么一天中, 机有10班。那么一天中,乘坐这些交通工具从 杭州到北京共有多少种不同的走法? 杭州到北京共有多少种不同的走法?

变换:先乘汽车从丽水到杭州, 变换:先乘汽车从丽水到杭州,再于次日从杭
州乘飞机到北京。一天中,汽车有6 州乘飞机到北京。一天中,汽车有6班,飞机有 10班 那么两天中, 10班,那么两天中,从丽水到北京共有多少种 不同的走法? 不同的走法?

飞机1 飞机 汽车1 汽车 飞机2 飞机 汽车2 汽车

丽水


汽车6 汽车

杭州

飞机10 飞机

北京

分析:完成从丽水到北京这件事需要两个步骤, 分析:完成从丽水到北京这件事需要两个步骤, 从丽水到北京这件事需要两个步骤 第1步,从丽水到杭州,有6种不同方法; 从丽水到杭州, 不同方法; 第2步,从杭州到北京,有10种不同方法; 从杭州到北京, 10种不同方法; 所以,从丽水到北京共有 × 种方法. 所以,从丽水到北京共有6×10=60种方法 种方法

分步乘法计数原理
需要n个步骤 个步骤, 完成一件事需要 个步骤 需要两个步骤 做第1 两个步骤, 完成一件事需要两个步骤,做第1步 做第1步有 1种不同的方法 步有m 步有m 种不同的方法, 做第 种不同的方法,做第2步有m 种不同的 步有 有m1种不同的方法,做第2 2 做第2步有 种不同的方法, N=m 做第 步有 2种不同的方法,……, ×m 种不 方法,那么完成这件事共有 ,1 2 方法步有m ,那么完成这件事共有N=m 做第n步有 种不同的方法, 步有m 做第 步有 n种不同的方法,

同的方法. 同的方法.

那么完成这件事共有 种不同的方法. 种不同的方法

N= m1×m2 ×…×mn

典例分析
故宫有东南西北四个大门作为主要出入口, 例2 故宫有东南西北四个大门作为主要出入口 (1) 小明进出故宫,有多少种不同的走法? 小明进出故宫,有多少种不同的走法? (2) 小明和父亲计划从同一个门进入故宫, 小明和父亲计划从同一个门进入故宫, 再各自从两个不同的门出来, 再各自从两个不同的门出来,有多少种 不同的走法? 不同的走法?

注意:分步——步骤完整 注意:分步 步骤完整

解答计数问题的一般思维过程: 解答计数问题的一般思维过程:
完成一件什么事

如何完成这件事

方法的分类

过程的分步

利用加法原理进行计数

利用乘法原理进行计数

两个计数原理
分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 用来计算完成一件事的方法种数 分类完成 类类相加 分步完成 步步相乘 分类完成 类类相加 分步完成 步步相乘 不同点 每类方案中的每一 每类方案中的每一 独立 种方法都能______ 种方法都能______ 完成这件事 依次完成 每步_________才 每步_________才 _________ 算完成这件事情 (每步中的每一种 方法不能独立 不能独立完成 方法不能独立完成 这件事) 这件事)

注意点 类类独立 不重不漏 步步相依 步骤完整

反馈练习1 反馈练习1
商店中有不同的风景类明信片4套 商店中有不同的风景类明信片 套,不同的 人物类明信片3套 不同的奥运类明信片2套 人物类明信片 套,不同的奥运类明信片 套. 以选购明信片为背景 (1)编写一个使用分类加法计数原理解决的计数 编写一个使用分类加法计数原理解决的计数 编写一个使用分类加法计数原理 问题; 问题; (2)编写一个使用分步乘法计数原理解决的计数 编写一个使用分步乘法计数原理 编写一个使用分步乘法计数原理解决的计数 问题; 问题;

反馈练习2 反馈练习2
火车1 火车

(1) )
汽车1 汽车 飞机1 飞机 飞机2 飞机 汽车2 汽车





北京
飞机10 飞机

杭州
汽车6 汽车

丽水

从北京到丽水共有多少种不同的走法? 从北京到丽水共有多少种不同的走法? 分析:完成从北京到丽水这件事有两类方案 分析:完成从北京到丽水这件事有两类方案, 从北京到丽水这件事有两类方案 第1类, 直接到达,m1 = 1 类 直接到达, × 第2类, 间接到达,m2 = 10×6 = 60 类 间接到达, 所以, 共有N = 1 + 60= 61 种方法. 所以 共有 种方法

反馈练习2 反馈练习2
汽车1 汽车

(2) )

飞机1 飞机 飞机2 飞机

汽车2 汽车





北京
飞机10 飞机

杭州
汽车6 汽车 火车1 火车 火车2 火车

丽水

从北京到丽水共有多少种不同的走法? 从北京到丽水共有多少种不同的走法? 分析:完成从北京到丽水这件事需要两个步骤 分析:完成从北京到丽水这件事需要两个步骤, 从北京到丽水这件事需要两个步骤 第1步, 从北京到杭州,m1 = 10 步 从北京到杭州, 第2步, 从杭州到丽水,m2 = 6+2 = 8 步 从杭州到丽水, 所以, 共有N 种方法. 所以 共有 = 10×8= 80 种方法 ×

反馈练习3 反馈练习3
种颜色的花装点花坛, 用4种颜色的花装点花坛, 种颜色的花装点花坛 每个区域种植一种颜色的花, 每个区域种植一种颜色的花, 若要求相邻( 若要求相邻(有公共 区域不同色, 边)区域不同色,共有多 少种不同的种植方法? 少种不同的种植方法? B A C

D

两大原理妙无穷, 两大原理妙无穷, 解题应用各不同, 解题应用各不同, 类类独立步步从, 类类独立步步从, 茫茫数理在其中. 茫茫数理在其中

作业布置
1. 完成课本 完成课本P12 A组1、2、3 组 、 、 2. 阅读课本 阅读课本P11:子集的个数有多少 : 3. 从我们生活中找寻运用两个计数原理解决的 实例并相互交流

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