2014年华约自主招生数学试题及参考解答

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#??`U??g??)J? 2014/03/01

1!x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ? )‰???ê?

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x1 + x2 + x3 + x4 + x5 =

ù ? ? ê ? O ?57 ? 44 = 13, 57 ? 45 = 12, 57 ? 46 = 11, 57 ? 47 = 10, 57 ? 46 = 11§ =10, 11, 11, 12, 13" 2! ? ?'m§??n‘?"???`‘? ???" 3? § K ` I ? p)? e 'm V ? ?p3 ? e 5? § K ? 'm 4? § K ? ??`‘§ 'm V? 'm ??`‘§`I 'm V??p(p > 1 2 )§ ` I 'm V ? ?q § ?p?? ?§q ? p )‰?e `I 'm

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2 3 ?C4 p (1 ? p)2 §?d 2 3 2 3 q = p3 + C3 p (1 ? p) + C4 p (1 ? p)2

2 3 2 3 q ? p = p3 + C3 p (1 ? p) + C4 p (1 ? p)2 ? p = 6p5 ? 15p4 + 10p3 ? p 4 3 2 2 f (p) = 6p5 ? 15p4 + 10p3 ? p(p > 1 2 )§ Kf (p) = 30p ? 60p + 30p ? 1 = 30(p ? p + √1 )(p2 30 1 ? p ? √1 )§ p ∈ ( 1 2, 2 + 30 1 4

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√1 )§f 30

1 (p) > 0?p ∈ [ 2 +

1 4

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√1 , 1]§f 30

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2 π 2 (cos x ? sin x) sin(x + 4 ) ? 2a sin x + b(a

1 1 )‰?f (x) = 2 (cos2 x ? sin2 x) ? 2a sin x + b = ? sin2 x ? 2a sin x + b + 2 §?K

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5 a= 4 , b = ?1"

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√ 2 2 a, ± 2 2 b)??

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)‰??1¤an+1 ? an = npn §K
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k=1

(ak+1 ? ak ) = p + 2p2 + · · · + (n ? 1)pn?1

p = 1?§an = p = 1?§

n(n?1) ? 2

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p(1?pn?1 ) 1?p

? (n ? 1)pn

1?p 2

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(n ? 1)pn+1 ? npn + p (1 ? p)2

?2¤|an+1 | = |npn + qan | ≤ |npn | + |qan | ≤ n|p|n + |an | ¤±§|an+1 | ? |an | ≤ n|p|n §u? |an | ≤ |p| + 2|p|2 + · · · + (n ? 1)|p|n?1 = (n ? 1)|p|n+1 ? n|p|n + |p| (1 ? |p|)2

(n ? 1)|p|n+1 ? n|p|n ≤ (n ? 1)|p|n ? n|p|n = ?|p|n < 0§¤± |an | < =yan k."
x n x 7!??n ∈ N + , x ≤ n§?y?n ? n(1 ? n ) e ≤ x2 "

|p| (1 ? |p|)2

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2

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x x x2 x x2 x ) · e n )n ≥ n((1 ? ) · (1 + ))n = n(1 ? 2 )n ≥ n(1 ? n · 2 ) = n ? x2 n n n n n

3

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