当前位置:首页 >> 理学 >> 数学分析2期末考试题库

数学分析2期末考试题库


数学分析 2 期末试题库 《数学分析 II》考试试题(1)
一、叙述题: (每小题 6 分,共 18 分) 1、 牛顿-莱不尼兹公式 2、

?a
n ?1

?

n

收敛的 cauchy 收敛原理

3、 全微分 二、计算题: (每小题 8 分,共 32 分)

? 1、 lim
x ?0

x2

0

sin t 2 dt x4

2、 求由曲线 y ? x 2 和 x ? y 2 围成的图形的面积和该图形绕 x 轴旋转而成的几何体的体 积。 3、求

xn 的收敛半径和收敛域,并求和 ? n ?1 n(n ? 1)
y

?

4、已知 u ? x z ,求

? 2u ?x ? y

三、 (每小题 10 分,共 30 分) 1、写出判别正项级数敛散性常用的三种方法并判别级数 2、讨论反常积分

?

??

0

x p ?1e ? x dx 的敛散性
x2 ? 1 n2 x ? (??,??) 的一致收敛性

3、讨论函数列 S n ( x) ?

四、证明题(每小题 10 分,共 20 分) 1、设 xn ? 0,
? xn?1 1 ? 1 ? (n ? 1,2?) ,证明 ? xn 发散 xn n n ?1

xy ? ? 2 2、证明函数 f ( x, y ) ? ? x ? y 2 ? 0 ?
但它在该点不可微。 ,

x2 ? y2 ? 0 x ?y ?0
2 2

在(0,0)点连续且可偏导,

《数学分析 II》考试题(2)
一、叙述题:(每小题 5 分,共 10 分) 1、 叙述反常积分

?

b

a

f ( x)dx, a 为奇点收敛的 cauchy 收敛原理

2、 二元函数 f ( x, y ) 在区域 D 上的一致连续 二、计算题: (每小题 8 分,共 40 分) 1、 lim(
n ??

1 1 1 ? ??? ) n ?1 n ? 2 2n

2、求摆线 ? 3、求 (cpv )

? x ? a(t ? sin t ) t ? [0,2? ] 与 x 轴围成的面积 ? y ? a(1 ? cost )

?

??

??

1? x dx 1? x2

( x ? 1) n 4、求幂级数 ? 的收敛半径和收敛域 n2 n ?1
?

5、 u ? f ( xy, ) , 求

x y

? 2u ?x ? y

三、讨论与验证题: (每小题 10 分,共 30 分) 1、f ( x, y) ? 为什么? 2、讨论反常积分
?

x ? y2 i l m i l f ( x, y ) ; lim f ( x, y ) 是否存在? , 求 lim lim f ( x, y ),m x ?0 y ?0 y ?0 x ?0 ( x , y ) ?( 0 , 0 ) x? y

?

??

0

arctan x dx 的敛散性。 xp

3、讨论

n 3 ( 2 ? (?1) n ) n 的敛散性。 ? 3n n ?1

四、证明题: (每小题 10 分,共 20 分) 1、 设 f(x)在[a,b]连续, f ( x) ? 0 但不恒为 0,证明 2、 设函数 u 和 v 可微,证明 grad(uv)=ugradv+vgradu

?

b

a

f ( x)dx ? 0

《数学分析 II》考试题(3)
五、叙述题: (每小题 5 分,共 15 分) 1、定积分 2、连通集 3、函数项级数的一致连续性 六、计算题: (每小题 7 分,共 35 分) 1、

? sin(ln x)dx
1

e

2、求三叶玫瑰线 r ? a sin 3? 3、求 x n ?

? ? [0, ? ] 围成的面积

n 2n? cos 的上下极限 2n ? 1 5

4、求幂级数

( x ? 1) n 的和 ? 2n n ?1
?

5、 u ? f ( x, y) 为可微函数, 求 (

?u 2 ?u ) ? ( ) 2 在极坐标下的表达式 ?x ?y

七、讨论与验证题: (每小题 10 分,共 30 分)

1 1 ? 2 2 ?( x ? y ) sin cos 1、已知 f ( x, y ) ? ? x y ? 0 ?
x ?0 y ?0 y ?0 x ?0

x ? 0, y ? 0 x ? 0或y ? 0

,求

( x , y ) ?( 0 , 0 )

lim

f ( x, y ) ,问

lim lim f ( x, y ), lim lim f ( x, y ) 是否存在?为什么?

2、讨论反常积分 3、讨论 f n ( x) ?

?

??

0

1 dx 的敛散性。 x ? xq
p

nx 1? n ? x

x ? [0,1] 的一致收敛性。

八、证明题: (每小题 10 分,共 20 分) 1、 设 f(x)在[a,+∞)上单调增加的连续函数, f (0) ? 0 ,记它的反函数 f (y) ,
--1

证明

?

a

0

f ( x)dx ? ? f ?1 ( y)dy ? ab
0
? ?

b

(a ? 0, b ? 0)

2、 设正项级数

? xn 收敛,证明级数 ? xn2 也收敛
n ?1 n ?1

《数学分析》(二)测试题(4)

一. 判断题(正确的打“√” ,错误的打“×” ;每小题 3 分,共 15 分) :
1.闭区间 ?a, b? 的全体聚点的集合是 ?a, b? 本身。 2.函数 ln x ?

?

x2 ?1 是

?

1 x2 ?1

在区间 ?1, ? ?? 内的原函数。

3.若 f ?x ? 在 ?a, b? 上有界,则 f ?x ? 在 ?a, b? 上必可积。 4.若 f ?x ? 为连续的偶函数,则 F ?x ? ? 5.正项级数

? f ?t ?dt
x 0

亦为偶函数。

?
n ?1

?

10n 是收敛的。 ?n ? 1?!

二.填空题(每小题 3 分,共 15 分) :
1.数列 ??? 1?

? ?

n

n ? ? 的上极限为 3n ? 1?

,下极限为



2.

lim ? ?n
n??

?

2

1 2 n ? ? 2 ? ?? ? 2 ?? 2 2 ?1 n ?2 n ? n2 ?




3.

d tan x t e dt ? dx ?0

4.幂级数

?
n ?1

?

xn 的收敛半径 R ? n ? 3n

。 展 开 成 傅 里 叶 级 数 , 则 a0 ?

5.将函数

f ?x ? ? x


?? ? ? x ? ? ?



an ? bn ?



三.计算题(每小题 7 分,共 28 分) :
1.

?e
?
?? 0

?x

dx ; ? ex

2.

?

e

0
2

xln x dx ;
xdx x ?1

3.

x dx ; 1? x4

4.

?

1

四.解答题(每小题 10 分,共 30 分) :
1.求由抛物线 y 2 ? 2 x 与直线 y ? x ? 4 所围图形的面积。 2.判断级数

? ?? 1?
n ?1

?

n

tan

1 是否收敛,若收敛,是绝对收敛还是条件收敛? n

3.确定幂级数

?
n ?1

?

x 2 n?1 的收敛域,并求其和函数。 2n ? 1

五.证明题(12 分) :
证明:函数 f ?x ? ?

?
n ?1

?

sin nx 在 ?? ?, ? ? ?上有连续的二阶导函数,并求 f ?? ?x ? 。 n4

《数学分析》(二)测试题(5)
二. 判断题(正确的打“√” ,错误的打“×” ;每小题 3 分,共 15 分) :
1.设 a 为点集 E 的聚点,则 a ? E 。 2.函数 ln x ?

?

x2 ?1 是

?

1 x2 ?1

在 ?? ?, ? ? ?内的原函数。

3.有界是函数可积的必要条件。 4.若 f ?x ? 为连续的奇函数,则 F ?x ? ?

? f ?t ?dt
x 0

亦为奇函数。

5.正项级数

?
n ?1

?

n2 是收敛的。 2n

二.填空题(每小题 3 分,共 15 分) :
1.数列 2.

?2 ? ??1? ? 的上极限为
n

,下极限为



lim ? ?n
n ??

?

2

1 2 n ? ? 2 ? ?? ? 2 ?? ? n n ? 2n n ? n2 ?




3.

d sin x t e dt ? dx ?0

4.幂级数

?n
n ?1

?

4n x n 的收敛半径 R ? 2 ?1



5.将函数

f ?x ? ? x


?? ? ? x ? ? ?

展 开 成 傅 里 叶 级 数 , 则 a0 ?



an ? bn ?



三.计算题(每小题 7 分,共 28 分) :
x3 dx ; 9 ? x2
?? 2

1.

?
?

2.

?

1

0

e

x

dx ;

3.

dx ; 2 x ? x?2

4.

?

1

xdx 1? x2

0

四.解答题(每小题 10 分,共 30 分) :
1.求由两抛物线 y ? x 2 与 y ? 2 ? x 2 所围图形的面积。 2.判断级数

? ?? 1?
n ?1 ? n ?1

?

n

ln

n ?1 是否收敛,若收敛,是绝对收敛还是条件收敛? n
的收敛域,并求其和函数。

3.确定幂级数

? nx

n ?1

五.证明题(12 分) :
证明:函数 f ? x ? ?

?
n ?1

?

1 ? n2 在 ?0, ? ?? 上连续。 e n2

x2

《数学分析》(二)测试题(6) 一.判断(2*7=14 分)
( ( ( ( ( ( ( )1. 设 x0为f ( x)在?a , b?上的极值点,则 f ?( x0 ) ? 0 )2.若在 ?a , b?内 f ?( x) ? g ?( x), f (b) ? g (b),则对?x ?[a , b], 有f ( x) ? g ( x) )3.若 x为点集A的聚点,则必有x ? A )4. 若 F ( x)连续, 则

?? F (x)dx?? ? F (x) ? C

? ? x2 ? )5.若 f ( x)在?a, b?上连续, x ? ?a, b?, 则? ? f (t )dt ? ? f ( x 2 ) ? a ?
)6.若 ? an收敛, , 则? (an+bn) 必发散 ?bn发散 )7.若 ? an 收敛,则 ? an 必收敛
2 3

二.填空(3*7=21 分)
__ 1. 已知 ? f (ln x) ? ? 2 ? x, 则f ( x) ? __________
2. ?
?
-?

?

sin x ln( x 2 ? 1)dx ? ___________

?x 2 ?? x 3. 设f(x) ?e
4 .求 lim

( x ? 0) 2 , 则? f ( x ? 1)dx ? ________ 0 ( x ? 0)

1

x?0 x 3 0

?

x

sin t 2 dt ? ________________

5.求 y ? x 3 ? x 2 ? 1 的拐点坐标 (_______) 6.用定积分求 lim ? 7.幂级数 ?

1 1 ? ? 1 ? ??? ? ? ________ n??? n ? 1 n ? 2 n?n?
n

1 n?2

x n 的收敛半径 R =

三 . 计算 (4*7=28 分)(要有必要的计算过程)
1.

? xe

x

dx

2.

?

1 x x2 ?1

dx

3.

?0 arcsin xdx

1

2 4.求曲线 y ? 2 ? x 与 y ? x所围成的图形的面积

四.判别级数的敛散性(2*9=18 分)(要有必要的过程)
2 n ? n! 1 .? n n ?1 n
2 .判别 ? (?1)
n ?1 ? n ?

n 在 上是否一致收敛,为什么 (? ?, ? ?) n2 ? x2

五.证明:(9+10=19 分)
1.设级数 ? a n 与 ? bn 都收敛,证明:
2 2

? anbn 绝对收敛

2.设 f ( x)在?a , b?上二阶可导, f ?(a) ? f ?(b) ? 0 ,证明:存在 一点 ? ? (a , b) ,使得

f ??(? ) ?

4 f (b) ? f (a) (b ? a) 2

《数学分析》(二)测试题(7) 一.判断(2*7=14 分)
( ( ( ( )1. 设 f ?( x0 ) ? 0 ,则 x0必为f ( x) 的极值点 )2.若在 ?a , b?内 f ?( x) ? g ?( x), f (b) ? g (b), 则对?x ?[a , b], 有f ( x) ? g ( x) )3.若 x为点集A的聚点,则x可能不属于 A

则 )4. 若 F ( x)连续,

?? F ?( x)dx? ? F ( x) ? C



? b ? ? )5.若 f ( x)在?a, b?上连续, x ? ?? b, ? a ?, 则? ? f (t ) dt ? ? f ( ? x) ? ?x ?
)6.若 lim

( (

u n ?1 un

n??

? l ?1 , 则级数? u n 收敛

n )7. 幂级数 ? a n x 至少存在一个收敛点

二.填空(3*7=21 分)
1) ? ? x 2 ? 2, 则f ( x) ? __________ __ 1. 已知 ? f ( x+
2. 已知 ?
1

?

cos x x ?1
4

-1

dx ? A, 则?

1

cos x x ?1
4

0

dx ? __________ _

?? 3. 设f(x)
4 .求 lim

2 ? x ? 1 ( x ? 0) , 则? f ( x ? 1)dx ? ________ 2 0 ( x ? 0) ? x

1 x1 ? cos t ? t dt ? ________________ x?0 x 0 1 3 1 2

5.求 f ( x) ? x 3 ? x 2 ? 1的极大值为 f (__) ? _____

6.用定积分求 lim

1? 1 2 n? ? ? ? ________ ? ? ? ? ? n?? n ? n n n ? ?

2n n 7.幂级数 ? x 的收敛半径 R = n

三 . 计算 (4*7=28 分)(要有必要的计算过程)

1.

? x ln xdx

2.

?

1 x x2 ?1

dx

3.

?0 x arctan xdx

1

4.求曲线 y ?

x 3 从x ? 0 到x ? 1的弧长

四.判别级数的敛散性(2*9=18 分)(要有必要的过程)
1 ? n ?1? 1 .? n ? ? n?1 2 ? n ?
2 .判别 ? (?1)
n ?1 ? n

?

n2

n 在 上是否一致收敛,为什么 (? ?, ? ?) n2 ? x2

五.证明:(9+10=19 分)
2 1.设级数 ? a n 与 ? bn 都收敛,证明: ? ( a n ? bn ) 收敛

2

2

2. 若f ( x)在?a , b?上连续, f ( x) ? 0, ? f ( x)dx ? 0, 证明: f ( x) ? 0,x ? ?a , b?
b a

《数学分析》(二)测试题(8)

三. 判断题(正确的打“√” ,错误的打“×” ;每小题 3 分,共 15 分) :
1.开区间 ? a, b ? 的全体聚点的集合是 ? a, b ? 本身。 2.函数 ln x ?

?

x2 ?1 是

?

1 x2 ?1

在区间 ?1, ? ?? 内的原函数。

3.若 f ?x ? 在 ?a, b? 上有界,则 f ?x ? 在 ?a, b? 上必可积。 4.若 f ?x ? 为 ?a, b? 上的连续函数,则 F ? x ? ? ? a f ? t ? d t 在 ?a, b? 上可导。
x

5.正项级数 ?

?

n ?1

1 是收敛的。 n

二.填空题(每小题 4 分,共 16 分) :
1.

lim ? ?n
n??

?

2

1 2 n ? ? 2 ? ?? ? 2 ?? 2 2 ?1 n ?2 n ? n2 ?




2.

d x t e dt ? d x ?0

3.幂级数

?
n ?1

?

xn 的收敛半径 R ? n ? 3n

。 展 开 成 傅 里 叶 级 数 , 则 a0 ?

4.将函数

f ?x ? ? x


?? ? ? x ? ? ?



an ? bn ?



三.计算题(每小题 10 分,共 30 分) :
1. ?

dx ; 1 ? x2

2. ?1 ln x d x ;

e

3.

?

?? 0

x dx ; 1? x4

四.解答题(每小题 10 分,共 30 分) :

1.求由抛物线 y 2 ? 2 x 与直线 y ? x ? 4 所围图形的面积。 2.判断级数 ? ? ?1?
n ?1 ? n

1 是否收敛,若收敛,是绝对收敛还是条件收敛? n2
n ?1

3.确定幂级数

? nx
n ?1

?

的收敛域,并求其和函数。

五.证明题(9 分) :
证明:函数 f ? x ? ?

?
n ?1

?

1 ? n2 在 ?0, ? ?? 上连续。 e n2

x2

参考答案(1)
一 、 1 、 设 f ( x ) 在 [ a, b] 连 续 , F ( x ) 是 f ( x ) 在 [ a, b] 上 的 一 个 原 函 数 , 则 成 立

?

b

a

f ( x)dx ? F (b) ? F (a)
2、 ?? ? 0.?N ? 0, 使得 ?m ? n ? N ,成立 an?1 ? an?2 ? ?? am ? ?
2 3 、 设 D ? R 为 开 集 , z ? f ( x, y), ( x, y) ? D 是 定 义 在 D 上 的 二 元 函 数 ,

P0 ( x0 , y0 ) 为 D 中的一定点,若存在只与点有关而与 ?x, ?y 无关的常数 A 和 B,使得
?z ? A?x ? B?y ? o( ?x 2 ? ?y 2 ) 则称函数 f 在点 P0 ( x0 , y0 ) 处是可微的,并称

A?x ? B?y 为在点 P0 ( x0 , y0 ) 处的全微分
二、1、分子和分母同时求导
x2

? lim
x ?0

0

sin t 2 dt x6

? lim

2 x sin x 4 1 ? (8 分) x ?0 3 6x 5
x ? x 2 )dx ?

2、 、两曲线的交点为(0,0) , (1,1) (2 分)

1 (3 分) 0 3 1 3? 5 所求的体积为: ? ? ( x ? x )dx ? (3 分) 0 10
所求的面积为:

?(

1

1 (n ? 1)(n ? 2) x ? 1 ,收敛半径为 1,收敛域 3、 解:设 f ( x) ? ? , lim n ? ? 1 n ?1 n(n ? 1) n(n ? 1)
? n

[-1,1](2 分)

f ' ( x) ? ?
x

x n?1 1 1 ? ? ? 2 ln(1 ? x), (0 ? x ? 1), x x n ?1 (n ? 1)
?

f ( x) ? ? f ' (t )dt ? 1 ?
0

1? x ln(1 ? x), (0 ? x ? 1) (3 分) x
y y

x=0 级数为 0,x=1,级数为 1,x=-1,级数为 1-2ln2(3 分)
?1 ?u ln x 1 ? 2u z 4、解: =x (3 分) (5 分) ? x z ln x ? x z ?y z zx ?x?y y

三、1、解、有比较判别法,Cauchy,D’Alembert,Raabe 判别法等(应写出具体的内容 4 分)

(n ? 1)! 1 n (n ? 1) n ?1 lim ? lim(1 ? ) ? e ?1 (4 分)由 D’Alembert 判别法知级数收敛(1 分) n ?? n ?? n! n ?1 nn
2、解:

?

??

0

p ?1 ? x ,对 ? x e dx ,由于 x p?1e ? x dx ? ? x p?1e ? x dx ? ? x p?1e ? x dx (2 分)

1

??

1

0

1

0

p ?1 ? x ; ? x e dx , 由 于 x1? p x p?1e ? x ? 1( x ? ?0) 故 p>0 时 ? x p ?1e ? x dx 收 敛 ( 4 分 ) 0 1

1

??

x 2 x p?1e ? x ? 0( x ? ??) (4 分)故对一切的 p ? x p ?1e ? x dx 收敛,综上所述 p>0,积分
1

??

收敛 3、解: S n ( x) ?

x2 ?

1 收敛于 x (4 分) lim sup S n ( x) ? x ? 0 所以函数列 n?? x?( ?? , ?? ) n2

一致收敛性(6 分) 四、证明题(每小题 10 分,共 20 分) 1、证明:

x3 x 4 x x 1 1 2 n?2 1 xn ? x 2 , (n ? 2) (6 分) ? n ? n ? ? ? n ?1 x2 x3 xn?1 x2 2 3 n ? 1 n ? 1

? n ? 1 发散,由比较判别法知级数发散(4 分)
n?2

?

1

2、证明: 0 ?|

xy x2 ? y2
?x ?0

|? | xy | (4 分)

( x , y )?( 0, 0)

lim

xy x2 ? y2

=0 所以函数在(0,0)

点连续, (3 分)又 lim

0 ? 0 , f x (0,0), f y (0,0) 存 在 切 等 于 0 , (4 分)但 ?x

?x?y 不存在,故函数在(0,0)点不可微(3 分) ( ?x , ?y ) ?( 0 , 0 ) ?x 2 ? ?y 2 lim

参考答案(2)
1、 ?? ? 0.?? ? 0, 使得 ?0 ? ? 1 ? ? 2 ? ? ,成立 2 、 设 D?R
2

?

a ?? 2

a ?? 1

f ( x)dx ? ?

为 点 集 , f :D?R

m

为 映 射 , ?? ? 0.?? ? 0, 使 得

? x1 ? x2 ? ? , x1, x2 ? D ,成立 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?
二、1、由于

1 在[0,1]可积,由定积分的定义知(2 分) 1? x

lim(
n ??

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ?? )?? dx ? ln 2(6 ? ? ? ? ) = lim ( 0 1? x 1 2 n n ?1 n ? 2 2n n ?? n 1? 1? 1? n n n

分) 4、 、所求的面积为: 5、 解: (cpv )

?

2?

0

a(1 ? cos x) 2 dx ? 3?a 2 (8 分)

?

A 1? x 1? x dx ? lim ? dx ? ? (3 分) 2 ?? 1 ? x A? ?? ? A 1 ? x 2 ??

4、解: limn
n ??

1 ? 1 ,r=1(4 分) x2

由于 x=0,x=2 时,级数均收敛,所以收敛域为[0,2](4 分) 5、解: 三、1、解、

f ?u x ? 2u x = f1 x ? f 2 2 (3 分) ? f1 ? 2 ? f11 xy ? f 22 3 (5 分) 2 ?y ?x?y y y y

lim lim
极限为

x ? y2 x x ? y2 y2 ? lim ? 1, lim lim ? lim ? 0(5 分)由于沿 y ? kx 趋于(0,0) x ?0 y ?0 x ? y x ?0 x y ?0 x ?0 x ? y y ?0 y

1 所以重极限不存在(5 分) 1? k ? ? arctan x 1 arctan x ? ? arctan x 1 arctan x dx ? ? dx ? ? dx (2 分) dx ,由于 2、解: ? ,对 ? p p p 0 0 1 0 x x x xp 1 arctan x ? ? arctan x arctan x x p ?1 ? 1( x ? ?0) 故 p<2 时 ? dx 收敛(4 分) dx ,由于 ;? p p 0 1 x x xp ? ? arctan x arctan x ? xp ? ( x ? ?? ) (4 分)故 p>1 ? dx 收敛,综上所述 1<p<2,积分收 p 1 2 x xp
敛 3、解: lim

n???

n 3 [ 2 ? (?1) n ]n 2 ?1 ? ? 1所以级数收敛(10 分) n 3 3

四、证明题(每小题 10 分,共 20 分) 1、证明:由 f ( x) ? 0 但不恒为 0,至少有一点 x0 ? [a, b] f(x)在[a,b]连续(2 分) ,存 在包含 x0 的区间 [c, d ] ? [a, b] ,有 f ( x) ? 0 (4 分) , 2、证明:以二元函数为例

?

b

a

f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? 0 (4 分)
c

d

grad(uv) ? (u x v ? vx u, u y v ? v y u) ? (u x v, u y v) ? (vx u, v y u) ? v(u x , u y ) ? u(vx , v y ) ? vgradu? ugradv
(10 分)

参考答案(3)
一、1、设有定数 I, ?? ? 0.?? ? 0, 使得对任意的分法

a ? x0 ? x1 ? ? ? xn ? b 和任意的点 ? i ?[ xi ?1 , xi ] ,只要 ? ? max (?xi ) ? ? ,成立
1?i ? n

? f (? )?x
i ?1 i

n

i

?I ??

2、 S 的任意两点 x,y 之间,都存在 S 中的一条道路 r,则称 S 为连通集 3、 ?? ? 0.?N (? ) ? 0, 使得 ?m ? n ? N ,成立 an?1 ? an?2 ? ?? am ? ? 二、 1、 sin(ln x)dx ? x sin ln x |1 ? cos(ln x)dx ? e sin 1 ? e cos1 ? 1 ?
e 1 1

?

e

?

e

? sin(ln x)dx
1

e

(5 分)

? sin(ln x)dx ? 2 (e sin 1 ? e cos 1 ? 1) (2 分)
1

e

1

6、 由对称性知,所求的面积为: 6 ?

a2 2

?

?

2 0

sin 2 3?d? ?

?a 2
4

(7 分)

7、 解:上极限为 0.5,下极限为

1 4? cos (7 分) 2 5

4、解: lim n
n ??

1 1 ? ,r=2(3 分) n 2 2
1 (4 分) , 1? x
= u x cos? ? u y sin?

收敛域为(-3,1) ,级数的和为 5、解: 设极坐标方程为

x ? r cos? , y ? r sin ?
(5 分) (

?u ?x

?u ? ? r sin ?u x ? r cos ?u y ??

?u 1 ?u ?u 2 ?u ) ? ( ) 2 = ( ) 2 ? 2 ( ) 2 (2 分) ?r r ?? ?x ?y

三、1、解、由于 sin

1 1 cos 有界, x 2 ? y 2 为无穷小, lim f ( x, y ) ? 0 (5 分) ( x , y ) ?( 0 , 0 ) x y
, 而

1 1 1 1 1 1 lim lim( x 2 ? y 2 ) sin cos ? lim(lim x 2 sin cos ? lim y 2 sin cos ) x ?0 y ? 0 x y x ? 0 y ?0 x y y ?0 x y l
2 xi s

y ?0

1 mc i x

1 1 1 n o s lim y 2 sin cos 极限存在,故整体极限不存在,同理 极限不存在, y ?0 y x y

lim lim f ( x, y ) 不存在(5 分)
y ?0 x ?0

1 ?? 1 1 1 1 1 dx ? dx ? dx ( 2 分) ,对 ?0 x p ? x q ?0 x p ? x q ?1 x p ? x q ?0 x p ? x q dx , 1 1 1 m i np(, q ) ? 1( x ? ?0) 故 min(p, q) ? 1 时 ? p dx 收 敛 ( 4 分 ) 由于 x ; p q 0 x ? xq x ?x ?? 1 1 m p a, q ) x ( ? 1( x ? ?? ) ( 4 分 ) 故 p ?1 x p ? x q dx , 由 于 x x ? xq

2、解:

??

max(p, q) ? 1 ?
敛(2 分)

??

1

1 dx 收敛,综上所述 min(p, q) ? 1 , max(p, q) ? 1 时,积分收 x ? xq
p

3、解: lim f n ( x) ? x ? f ( x) (3 分) , lim sup f n ( x) ? f ( x) ? lim sup
n ??

n??

n??

x ? x2 ?0 1? n ? x
x

所以函数列一致收敛(7 分) 四、证明题(每小题 10 分,共 20 分) 1 证明:当 b ? f (a) 时,

?

a

0

f ( x)dx ? ? f ?1 ( y)dy ? ab
0

b

(a ? 0, b ? 0) (4 分)

当 b ? f (a) 时, 当 b ? f (a) 时,

?

a

0

f ( x)dx ? ?

f (a)

0

f ?1 ( y)dy ? ab
b

(a ? 0, b ? 0) (3 分)

?

f ?1 ( b )

0

f ( x)dx ? ? f ?1 ( y)dy ? ab
0

(a ? 0, b ? 0) (3 分)

2、证明:由于收敛

?x
n ?1

?

n

,故 lim x n ? 0 (2 分) ,于是,总存在 ?n 0 使得 n ? n0 时,
n??

2 有 0 ? xn ? 1 , 从而, 当 n ? n0 时, 有 0 ? xn , 由于级数 ? xn(5 分)

? xn 收敛,当然 ? xn
n ?1

?

?

n ? n0

收敛,故级数

n ? n0

? xn2 收敛,从而 ? xn2 也收敛(3 分)
n ?1

?

?

标 准 答 案 (4)
四. 判断题(正确的打“√” ,错误的打“×” ;每小题 3 分,共 15 分) :
1.√ 2.√ 3.× 4.× 5.√

二.填空题(每小题 3 分,共 15 分) :
1.

1 1 , ? ; 3 3
0

2.

1 ln 2 ; 2
, bn ? ?? 1?

3. e

tan x

sec2 x ;

4. 3 ;

5. a0 ?

, an ?

0

n ?1

2 n

三.计算题(每小题 7 分,共 28 分) :
1.

?

dx d ex x = = arctan e ? C ; e ?x ? e x ? 1 ? e 2x
(4 分) (3 分)
e 1

? ?

? ?

2.

?

e

1

xln x dx =

?

e

1

1 1 e 1 1 e ?1 ? ln x d ? x 2 ? = x 2 ln x 1 ? ? x dx = e 2 ? x 2 2 2 1 2 4 ?2 ?



1 2 e ?1 ; 4

?

?

(4 分) 3.

(3 分)
b

?

?? 0

x dx = lim 1? x4 b ? ??

x 1 ?0 1 ? x 4 dx = 2 lim b ? ??
b

1 d x2 arctan x 2 ?0 1 ? x 4 = 2 lim b ? ??

? ?

? ?

b 0



? ; 4
(2 分) 分) 4. (2 分) (2 分)
2

(1

?

2

xdx x ?1

1



lim ?
a ?1?

2 a

xdx x ?1



lim
a ?1?

3 1 8 ?2 ? ? ? x ? 1? 2 ? 2? x ? 1? 2 ? = 。 ?3 ? a 3

(2 分)

(3 分)

(2 分)

四.解答题(每小题 10 分,共 30 分) :
1.求由抛物线 y 2 ? 2 x 与直线 y ? x ? 4 所围图形的面积。 解:两交点为 ?2, ? 2?, ?8, 4?,则 (3 分)
4

? y2 ? y3 ? y2 ? ? ? ? ? 4 y ? S?? ? y ? 4 ? dy ? ? 2 ? ? ?2 ? 6 2 ? ? ? ?
4

=18
?2

(3 分) 2.判断级数

(3 分)
n

(1 分)

? ?? 1?
n ?1

?

tan

1 是否收敛,若收敛,是绝对收敛还是条件收敛? n
(3

解:设 a n ? tan 分)

1 , an ? 0 , 则 an ? an?1 , an ? 0 ?n ? ?? , n

由 Leibniz 判别法知,级数 分)

? ?? 1?
n ?1 ?

?

n

tan

1 收敛。 n

(3

tan
而由

lim
n ??

1 n

1 n ? 1 知,级数

? tan n
n ?1

1

发散,故原级数条件收敛。

(4

分) 3.确定幂级数

?
n ?1

?

x 2 n?1 的收敛域,并求其和函数。 2n ? 1

x
解: 因为
n ??

n ?1 2

lim 2xn ? 1 ? x
2 n ?1



所以

(2

2n ? 1

分) 当 x ? 1 时幂级数绝对收敛,当 x ? 1 幂级数发散,故收敛半径 R ? 1 。 分) 又当 x ? ?1 时幂级数发散,故收敛域为 ?? 1, 1? 。 分)
? 1 x 2n?1 设 S ?x ? ? ? ,则 S ? ?x ? ? ? x 2 n ? 2 ? ,从而 1? x2 n ?1 n ?1 2n ? 1

(2

(2

?

(2

分)

S ?x ? ? ?
分)

1 1 1? x dx ? ln , x ? ?? 1, 1? 。 2 01? x 2 1? x
x

(2

五.证明题(12 分) :
证明:函数 f ?x ? ?

?
n ?1

?

sin nx 在 ?? ?, ? ? ?上有连续的二阶导函数,并求 f ?? ?x ? 。 n4

证明:因为 ?x ? ?? ?, ? ?? ,有

? ? sin nx 1 cosnx 1 sin nx 1 ? sin nx ? ? cosnx ? ? 4,? 4 ? ? ? 3 ,? 3 ? ? ? 2 ? 2 4 3 n n n n n n ? n ? ? n ?
分) 而级数 都在
? ?

(3

?n , ?n , ?n
4 3

1

1

1
2

都收敛,故级数

?

sin nx , n4 n ?1

?

? cosnx sin nx , , ? ? 3 n n2 n ?1 n ?1

?? ?,
分)

? ? ?上一致收敛。

(3

又级数的每一项都是连续的,故由函数项级数的连续性和可微性知,

f ?x ?, f ??x ?, f ???x ?
都在 ?? ?, ? ? ? 上连续,且 分) (3

f ??x ? ? ?
分)

cos nx , n3 n ?1

?

f ???x ? ? ??

sin nx , 2 n n ?1

?

。 ?x ?? ? ? , ?? ?

(2

标 准 答 案 (5)
五. 判断题(正确的打“√” ,错误的打“×” ;每小题 3 分,共 15 分) :
1.× 2.√ 3.√ 4.× 5.√

二.填空题(每小题 3 分,共 15 分) :
1. 3 , 1 ; 2. 1 ? ln 2 ; 3. e sin x cos x ; 4.

1 ; 4

5. a0 ? ? ,

an ? ?? 1? ? 1
n

?

? n2? ,
2

bn ?

0

三.计算题(每小题 7 分,共 28 分) :
1.

?

1 9 x3 1 x2d x2 1 ? 9 ? dx = = ? ?1 ? d x 2 = x 2 ? ln?9 ? x 2 ? ? C ; 2 2 ? 2 ? 2 2 2 9? x 2 ? 9? x ? 9? x

? ?

? ?

(2 分) 2.

(3 分)
t 1 0

(2 分)

?

1

0

e

x

dx = 2? t e t dt = 2t e
0

1

? 2? e t dt =2 ;
0

1

( x ?t) (3 分) 3.

(3 分)

(1 分)

?

?? 2

dx = x ? x ? 2 lim b ? ??
2

?

dx 1 = lim 2 x ? x?2 3 b ? ??
b 2

?

2 1 ? ? 1 ? dx = ln 2 ; ? ? 2 3 ? x ?1 x ? 2 ?
b

(2 分) 4.

(3 分)

(2 分)

?

1

xdx 1? x2

0



lim ?
a ?1?

a

xdx 1? x2

0



lim
a ?1?

??

1? x2

?

a

=1 。
0

(2 分) 1.求由两抛物线 y ? x
2

(3 分) 与 y ? 2? x
2

(1 分)

四.解答题(每小题 10 分,共 30 分) :
所围图形的面积。 (3 分)
1

解:两交点为 ?? 1, 1?, ?1, 1? ,则

S??

1

?1

?

2 ? ? 2 ? x ? x dx ? ? 2 x ? x 3 ? 3 ? ?
2 2

?


?1

8 3

(3 分) 2.判断级数

(3 分)
n

(1 分)

? ?? 1?
n ?1

?

ln

n ?1 是否收敛,若收敛,是绝对收敛还是条件收敛? n
(3

解:设 a n ? ln 分)

n ?1 ,an ? 0 , 则 an ? an?1 , an ? 0 ?n ? ?? , n

由 Leibniz 判别法知, 级数 分)

? ?? 1?
n ?1

?

n

ln

n ?1 收敛。 n

(3

ln
而由

lim
n ??
?

n ?1 n ? 1 知, 级数 1 n
n ?1

? ln
n ?1

?

n ?1 发散, 故原级数条件收敛。 (4 n

分) 3.确定幂级数

? nx
n ?1
n ??

的收敛域,并求其和函数。

解: 因为 分)

limn ? 1 ? 1 ,

n

所以收敛半径 R ? 1 。

(3

又当 x ? ?1 时幂级数发散, 故收敛域为 ?? 1, 1? 。 分) 设 (2 分) 从而 S ? x ? ? 分)

(3

S ?x ? ? ? nxn ?1 , 则
n ?1

?

?

x

0

S ?t ? dt ? ? ? nt n?1dt ? ? x n ?
x n ?1 0 n ?1

?

?

x , 1? x

? 1 ? x ? ? ? S t dt ? ? , x ? ?? 1, 1? 。 ? ? ?0 ?1 ? x ?2 ?1? x ?
x

(2

五.证明题(12 分) :
证明:函数 f ?x ? ?

?
n ?1

?

1 ? e n2

x2 n2

在 ?0, ? ?? 上连续。
x2 n2

1 ? 证明: 因为 ?x ? ?0, ? ?? , 有 e n2
分)

?

1 , n2
x2 n2

(4

1 而级数 ? 2 收敛,故级数 n
(4 分)

?
n ?1

?

1 ? e n2

在 ?0, ? ?? 上 一 致 收 敛 。

又级数的每一项都是连续的,故由函数项级数的连续性知,

f ?x ?
(4 分)



?? ?,

? ??









答案(6) 1 一 二 ×
1 2e ? e 2 x ? C 2
x

2 √ 0 ×

3

4 ×
3
1 3

5 ×
( 1 , 25 ) 3 27

6 √
ln 2

7 √ 2

e?2

三 . 计算
1.

(要有必要的计算过程)
dx = xe x ? e x ? C
1

? xe
?

x

2.

x x ?1

2

dx (令 t ? x ? 1

x ?1



? ??

2 x ?1 1 dt ? ? 2 arctan t ? C ? ? 2 arctan ? C ( 或 ? arccos ? C) x ?1 x t 2 ?1

3.

?0 arcsin xdx ? 2 ? 1

1

?

2 4.求曲线 y ? 2 ? x 与 y ? x所围成的图形的面积

解: ?

1 ?2

(2 ? x 2 ) ? x dx ? 9

2

四.判别级数的敛散性
2 n ? n! 1 .? n n ?1 n
2 .判别 ? (?1)
n ?1 ? ?

解: lim

n

2 n ? n! n
n

n??

?

2 ? 1 ? 收敛 e

n

n 在 上是否一致收敛,为什么 (? ?, ? ?) n ? x2
2

解: ? (?1) k ? 1(即一致有界 ),对每一个 x ? (??,?? ), ?
k ?1

n

? n ? ?单调递减 ,且 ?n2 ? x2 ?

n n ?x
2

一致趋向于 0 (n ? ?) ? ? (?1) n 2
n ?1

?

n 在 上一致收敛 (? ?, ? ?) n ? x2
2

五.证明:
1.设级数 ? a n 与 ? bn 都收敛,证明:
2 2

? anbn 绝对收敛

证明: anbn ?

1 2 (an ? bn 2 ), 而? an 2 ? bn 2 收敛 ? 2

?

?

? anbn 绝对收敛

2.设 f ( x)在?a , b?上二阶可导, f ?(a) ? f ?(b) ? 0 ,证明:存在 一点 ? ? (a , b) ,使得

f ??(? ) ?

4 f (b) ? f (a) (b ? a) 2

(提示:用泰勒公式)

证明:由泰勒公式知 f ( x) ? f (a) ? f ?(a)( x ? a) ?

1 f ??(?1 )( x ? a) 2 2



f ( x) ? f (b) ? f ?(b)( x ? b) ?

1 f ??(? )( x ? b) 2 2
(1)

分别令 x ?

a?b a?b 1 b?a 2 ,有 f ( ) ? f (a) ? f ??(?1 )( ) 2 2 2 2 f( a?b 1 b?a 2 ) ? f (b) ? f ??(? )( ) 2 2 2


(2)

a ? ?1 ? (其中 ?,? :

a?b ? ? ? b) 2

(2)-(1)得;

f (b) ? f (a) ?
(

1 ? f ??(? ) ? f ??(?1 )?(b ? a) 2 ? 0 ? f ??(? ) ? 4 2 f (b) ? f (a) 8 (b ? a)

其中 f ??(? )=max f ??(? ) , f ??(?1 )

?

?

)

答案及评分标准(7) 1 一 二 三 . 计算
1.

2 × ×
A 2

3 √
5 6

4 √ 0 0

5 √ 1

6 ×
2 3

7 √
1 2

1 3 x ? x2 ? x ? C 3

? x ln xdx
x ?1

= )

1 2 1 x ln x ? x 2 ? C 2 4

2.

?

1 x x ?1
2

dx

(令

t ? x ?1
? ??
3.

2 x ?1 1 dt ? ? 2 arctan t ? C ? ? 2 arctan ? C ( 或 ? arccos ? C) x ?1 x t 2 ?1
1

1 1 1 x2 1 2 1 2 ? 1 ?0 x arctan xdx ? ?0 arctan xd ( 2 x ) ? 2 x arctan x 0 ? 2 ?0 1 ? x 2 dx = 4 ? 2
1

4.求曲线 y ? 解: l ? ? 1 ?
0 1

x 3 从x ? 0 到x ? 1的弧长

1 ? x ? dx ? 27 (13 13 ? 8)
3

?2

四.判别级数的敛散性(2*9=18 分)(要有必要的过程)
1 ? n ?1? 1 .? n ? ? n?1 2 ? n ?
2 .判别 ? (?1)
n ?1 ? n

?

n2

1 ? n ?1? 解:? lim n n ? ? n?? 2 ? n ?

n2

?

e ? 1 ? 发散 2

n 在 上是否一致收敛,为什么 (? ?, ? ?) n2 ? x2

解: ? (?1) k ? 1(即一致有界 ),对每一个 x ? (??,?? ), ?
k ?1

n

? n ? ?单调递减 ,且 ?n2 ? x2 ?

n n ?x
2

一致趋向于 0 (n ? ?) ? ? (?1) n 2
n ?1

?

n 在 上一致收敛 (? ?, ? ?) n ? x2
2

五.证明:(9+10=19 分)

2 1.设级数 ? a n 与 ? bn 都收敛,证明: ? ( a n ? bn ) 收敛

2

2

解: (an ? bn ) 2 ? 2(an ? bn ),而? 2(an ? bn )收敛 ? ? (an ? bn ) 2 收敛
2 2 2 2

2. 若f ( x)在?a , b?上连续, f ( x) ? 0, ? f ( x)dx ? 0, 证明: f ( x) ? 0,x ? ?a , b?
b a

证明: (反证)若 ?x0 ? ?a, b?使得f ( x0 ) ? 0, 则由连续函数的局部保 号性,存在 x0

f ( x) ? 的某邻域( x0 ? ? , x0 ? ?) ? ?a, b?, 使得当x ? (x0 ? ? , x0 ? ?)时,
?0
,则

f ( x0 ) 2

?a f ( x)dx ? ?a
x0 ?? x0 ??

b

x0 ??

f ( x)dx ? ?

x0 ?? x0 ??

f ( x)dx ? ?
b

b x0 ??

f ( x)dx

? 0??

f ( x0 ) dx ? 0 ? f ( x0 )? ? 0 2



?a f ( x)dx ? 0





? f ( x) ? 0,x ? ?a , b?

标 准 答 案 及 评 分 标 准(8)
六. 判断题(正确的打“√” ,错误的打“×” ;每小题 3 分,共 15 分) :
1.× 2.√ 3.× 4.√ 5. ×

二.填空题(每小题 4 分,共 16 分) :
1.

1 ln 2 ; 2
0

2. e

x



3.

3 ;

4. a0 ?

, an ?

0

, bn ? ?? 1?

n ?1

2 n

三.计算题(每小题 10 分,共 30 分) : dx 1 1 1 1 1? x ? d x = ln ?C ; 1. ? =? 2 2 1? x 1? x 2 1? x 1? x

?

?

(5 分)
e e e

(5 分)

2. ?1 ln x d x = x ln x 1 ? ?1 1d x = e ? ? e ?1? = 1 ;

(5 分) 3.

(4 分)
b

(1 分)

?

?? 0

x dx = lim 1? x4 b ? ??

x 1 ?0 1 ? x 4 dx = 2 lim b ? ??

1 d x2 arctan x 2 ?0 1 ? x 4 = 2 lim b ? ??
b

? ?

? ?

b 0



? ; 4
(3 分) 分) (3 分) (3 分) (1

四.解答题(每小题 10 分,共 30 分) :
1.求由抛物线 y 2 ? 2 x 与直线 y ? x ? 4 所围图形的面积。 解:两交点为 ?2, ? 2?, ?8, 4?,则 (3 分)
4

? y2 ? y3 ? y2 ? S?? ? y?4? ? dy ? ? ? 2 ? 4y ? 6 ? ? ?2 ? 2 ? ? ? ? ?
4

=18
?2

(3 分) 2.判断级数 ? ? ?1?
n ?1 ? n

(3 分)

(1 分)

1 是否收敛,若收敛,是绝对收敛还是条件收敛? n2
(3 分) (3 分)

解:设 an ?

1 , an ? 0 , 则 an ? an?1 , an ? 0 ?n ? ?? , n2 ? n 1 由 Leibniz 判别法知,级数 ? ? ?1? 2 收敛。 n ?1 n ? 1 而级数 ? 2 收敛,故原级数绝对收敛。 (4 分) n ?1 n

3.确定幂级数

? nx
n ?1
n ??

?

n ?1

的收敛域,并求其和函数。

解: 因为 分)

limn ? 1 ? 1 ,

n

所以收敛半径 R ? 1 。

(3

又当 x ? ?1 时幂级数发散, 故收敛域为 ?? 1, 1? 。 分) 设 (2 分)

(3

S ?x ? ? ? nxn ?1
n ?1

?

, 则

n ?1 n ?0 S ?t ? dt ? ? ?0 nt dt ? ? x ? x x n ?1 n ?1

?

?

x , 1? x

? 1 ? x ? 从而 S ? x ? ? ? S ?t ? dt ? ? , x ? ?? 1, 1? 。 ? ? 0 ?1 ? x ?2 ?1? x ?
x

(2

分)

五.证明题(9 分) :
证明:函数 f ?x ? ?

?
n ?1

?

1 ? e n2

x2 n2

在 ?0, ? ?? 上连续。
x2 n2

1 ? 证明: 因为 ?x ? ?0, ? ?? , 有 e n2
分)

?

1 , n2
x2 n2

(3

1 而级数 ? 2 收敛,故级数 n
(3 分)

?
n ?1

?

1 ? e n2

在 ?0, ? ?? 上 一 致 收 敛 。

又级数的每一项都是连续的,故由函数项级数的连续性知,

f ?x ?
(3 分)



?? ?,

? ??










更多相关文档:

考试题库_数学分析

考试题库_数学分析_理学_高等教育_教育专区。答案 第一套一,选择题: (每题 3 分,共 15 分) 1,已知 A: 2, A:0 B:1 C:2 D:3 3,f (x) 在 x...

2016数学分析2复习题定积分应用

2016数学分析2复习题定积分应用_研究生入学考试_高等教育_教育专区。定积分的应用一、写出下图阴影部分面积 A 的定积分表达式. 1.求由抛物线 y 2 ? x 与直线 ...

数学分析第二学期期末考试题及答案

数学分析学期考试题 一、单项选择题(从给出的四个答案中,选出一个最恰当的答案填入括号内,每小题 4 分, 共 32 分) 1、 函数 f (x) 在[a,b]上...

2009-2010数学分析2期末考题及答案

A 北京航空航天大学 2009-2010 学年 第学期期末 《 工科数学分析(2) 》 班号 学号 姓名 成绩 题成 号绩 一 三 四 五 六 附加 总分 阅卷人 校对...

华中师范大学数学分析期末考试试题2

华中师范大学数学分析期末考试试题2_研究生入学考试_高等教育_教育专区。数学分析期末考试试题一、叙述题: (每小题 6 分,共 18 分) 1、 牛顿-莱不尼兹公式 2...

数学分析1期末习题二

数学分析1期末习题二_数学_高中教育_教育专区。兰州财经大学 2016—2017 学年第一学期习题二 课程名称(数学分析 1)题号 得分 一二三四五六 总分 得分 评卷人...

11级数学分析(2)期末考试试题(B)

成都信息工程学院考试试卷 2011——2012 学年第 2 学期期末试题课程名称:数学分析Ⅱ使用班级:11 级应数、信息试卷形式:开卷 试题 系名___班级___姓名___学号...

数学分析(2)期末试题A

山东师范大学 2006-2007 学年第二学期期末考试试题 (时间:120 分钟 共 100 分) 课程编号:4081102 课程名称:数学分析 适用年级:2006 学制:_4_ 适用专业:应用...

数学分析试题2

数学分析试题2_理学_高等教育_教育专区。第 3 学期《数学分析测试题(5) 一、填空题(每空 3 分,共 18 分) 1、设 f ( x, y) ? y 2 xy ,则 f ...

数学分析(Ⅱ)期末考试题(内附答案)

数学分析期末考试题1、2... 7页 1下载券数​学​分​析​(​Ⅱ​)​期​末​考​试​题​(​内​附​答​案​) ...
更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com