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教材梳理(二 用数学归纳法证明不等式


庖丁巧解牛 知识·巧学 一、数学归纳法证明不等式的基本步骤 (1)证明当 n 取第一个值 n0(如 n0=1 或 n0=2 等等)时,命题正确; (2)证明如下事实:假设当 n=k(k∈N 且 k≥n0)时,命题正确,由此推出当 n=k+1 时命题 也正确. 完成了以上两步后,就可断定命题对于从 n0 开始的所有自然数都正确. 用数学归纳法证明,要完成两个步骤,这两个步骤是缺一不

可的.但从证题的难易来分 析,证明第二步是难点和关键,要充分利用归纳假设,做好命题从 n=k 到 n=k+1 的转化, 这个转化要求在变化过程中结构不变,先比较 n=k 与 n=k+1 这两个不等式间的差异,以决 定 n=k 时不等式做何种变形.一般地,只能变出 n=k+1 等式的一边,然后再利用比较、分析、 综合、放缩及不等式的传递性来完成由 n=k 成立推出 n=k+1 不等式成立的证明. 辨析比较 数学归纳法与其他证明不等式的方法 数学归纳法证明不等式有它的局限性,它只能用来证明与自然数有关的不等式.而其他 证明不等式的方法运用比较广泛.但具体运用时,各自都有自己的具体要求,比如数学归纳 法就有严格的两个步骤,反证法就有严格的格式(必须先假设结论的否命题,再推出矛盾, 最后否定假设,肯定原命题) ,分析法也有自己的格式(综合法的逆过程) ,综合法是广泛运 用已知的定理、性质、推论等来证明.但是与自然数有关的不等式其他方法不如数学归纳法 来得简洁,在数学归纳法的第二步中,也经常使用反证法、分析法、综合法、放缩法等作为 辅助手段. 二、数学归纳法证明不等式的重点和难点 1.重点:巩固对数学归纳法意义和有效性的理解,并能正确表达解题过程,以及掌握利 用数学归纳法证明不等式的基本思路. 2.难点:在证明中,对于 n=k+1 时的证明是整个数学归纳法证明过程中的难点.要注意 分离出该命题中, 可以使用归纳假设的部分 (没有使用归纳假设的证明不是数学归纳法的证 明) ,即假设 f(k)>g(k)成立,证明 f(k+1)>g(k+1)成立.对这个条件不等式的证明,除了灵活运 用作差比较法、作商比较法、综合法、分析法等常用的不等式证明方法外;放缩法作为证明 不等式的特有技巧,在用数学归纳法证明不等式时,更被经常使用. 误区警示 数学归纳法证明不等式, 不能简单套用两个基本步骤, 一定要用到归纳假设, 对于 n=k+1 时的证明注意以下几点: (1)在从 n=k 到 n=k+1 的过程中,应分析清楚不等式两端(一般是左端)项数的变化,也 就是要认清不等式的结构特征; (2)瞄准当 n=k+1 时的递推目标,有目的地进行放缩、分析; (3)活用起点的位置; (4)有的试题需要先作等价变换. 三、数学归纳法证明不等式的运用范围 数学归纳法是用来证明与自然数有关命题的一种有效方法, 在我们高中数学中, 经常会 以数列和函数为知识载体, 构造一些与自然数有关的命题, 数学归纳法是证明它们的有效手 段,但不是唯一手段. 联想发散 在上一节中,我们还学习了归纳猜想证明的方法,在数学归纳法证明不等式的运用中, 可不可以也先根据题目的条件归纳出一般规律, 大胆猜想出一个不等式的命题, 然后运用数

学归纳法来证明呢? 典题·热题 知识点一: 命题的结构特征

1 1 1 1 5 ? ? ??? ? ,n≥2,n∈N. n ?1 n ? 2 n ? 3 3n 6 1 思路分析:本题在由 n=k 到 n=k+1 时的推证过程中, 不是第 k 项,应是第 2k 项,数列 3k
例 1 求证: 各项分母是连续的自然数, 最后一项是以 3k 收尾.根据此分母的特点, 在 3k 后面还有 3k+1、 3k+2,最后才为 3k+3,即 3(k+1).不等式左端增加了

1 1 1 , , 共三项,而不 3k ? 1 3k ? 2 3k ? 3

是只增加

1 一项. 3(k ? 1)

1 1 1 1 5 + + + > ,不等式成立. 3 4 5 6 6 1 1 1 5 ? ??? ? . (Ⅱ)假设当 n=k(k≥2,k∈N)时命题成立,即 k ?1 k ? 2 3k 6
证明: (Ⅰ)当 n=2 时,右边= 则当 n=k+1 时,

1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? ? (k ? 1) ? 1 (k ? 1) ? 2 3k 3k ? 1 3k ? 2 3(k ? 1)
1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ?( ? ? ? ) k ?1 k ? 2 3k 3k ? 1 3k ? 2 3k ? 3 k ? 1 5 1 1 1 1 ? ? ? ) > ?( 6 3k ? 1 3k ? 2 3k ? 3 k ? 1 5 1 1 1 1 5 1 1 5 ? ? ? ) ? ? (3 ? ? )? . > ?( 6 3k ? 3 3k ? 3 3k ? 3 k ? 1 6 3k ? 3 k ? 1 6
= 所以当 n=k+1 时,不等式也成立. 由(Ⅰ) (Ⅱ)可知,原不等式对一切 n≥2,n∈N*均成立. 误区警示 错误的思维定式认为从 n=k 到 n=k+1 时,只增加一项,求和式中最后一项即为第几项 的通项,所以一定要认清不等式的结构特征.

1 1 1 + +…+ ,n∈N, 2 3 n n 用数学归纳法证明: S 2 n >1+ ,n≥2,n∈N. 2
例 2 已知,Sn=1+ 思路分析:本题在由 n=k 到 n=k+1 时的推证过程中,不等式左端增加了 2k 项,而不是只增 加了

1 2 k ?1

这一项,否则证题思路必然受阻.

证明: (Ⅰ)当 n=2 时, S 2 2 =1+

1 1 1 13 2 ? 1+ , + + =1+ 2 3 4 12 2

∴命题成立. (Ⅱ)假设当 n=k(k≥2,k∈N)时命题成立,即

1 1 1 k S 2k =1+ + +…+ k ? 1 ? . 2 3 2 2
则当 n=k+1 时,

1 1 1 1 1 1 ? k ? ? ? k ?1 S 2k ?1 =1+ + +…+ k ? k 2 3 2 2 ?1 2 ? 2 2 k 1 1 1 k 1 1 1 ? k ? ? ? k ?1 ? 1 ? ? k ?1 ? k ?1 ? ? k ?1 >1+ ? k 2 2 ?1 2 ? 2 2 2 2 2 2 k 1 k 1 k ?1 ? 1 ? ? 2 k ? k ?1 ? 1 ? ? ? 1 ? 2 2 2 2 2
所以当 n=k+1 时,不等式也成立. 由(Ⅰ) (Ⅱ)可知,原不等式对一切 n≥2,n∈N 均成立. 方法归纳 本题在由 n=k 到 n=k+1 时的推证过程中,一定要注意分析清楚命题的结构特征,即由 n=k 到 n=k+1 时不等式左端项数的增减情况. 知识点二: 比较法 例 3 求证:1+

1 1 1 2n + +…+ ≥ . 2 3 n n ?1

思路分析:本题在由 n=k 到 n=k+1 时的推证过程中,关键的是证明 为证此,我们采用了不等式证明方法中的比较法.

2k ? 1 2(k ? 1) ? , k ? 1 (k ? 1) ? 1

2 ?1 ,左式=右式; 1?1 1 3 2? 2 4 当 n=2 时,左式=1+ = ,右式= = ; 2 2 2 ?1 3 3 4 > ,左式>右式. 2 3
证明: (Ⅰ)当 n=1 时,左式=1,右式= ∴当 n=1 或 n=2 时,不等式成立. (Ⅱ)假设当 n=k(k≥1)时,不等式成立,即 1+

1 1 1 2k + +…+ ? . 2 3 k k ?1 1 1 1 1 2k 1 2k ? 1 ? ? ? + +…+ ? . 2 3 k k ?1 k ?1 k ?1 k ?1

则当 n=k+1 时, 左式=1+



2k ? 1 2(k ? 1) k ? ? >0, k ? 1 (k ? 1) ? 1 (k ? 1)(k ? 2)



2k ? 1 2(k ? 1) ? =右式. k ? 1 (k ? 1) ? 1

由不等式的传递性,可得左式>右式, ∴当 n=k+1 时,不等式也成立. 由(Ⅰ) (Ⅱ)可得,对一切 n∈N,不等式都成立. 误区警示

在用数学归纳法证明不等式的过程中, 我们经常因思维定式认为只能做代数变形, 比较 法是一种综合证明法,不能在数学归纳法中使用,这是一种错误的认识.证明不等式的基本 方法在数学归纳法的第二步中都可以使用,究竟选择哪种方法要因具体题目而定. 知识点三: 放缩法 例 4 证明: ?

1 1

1 2

?

1 3

???

1 n

? 2 n ,n≥2,n∈N. 1 k ?1

思路分析:本题在由 n=k 到 n=k+1 时的推证过程中,在证明 2 k ? 使用了均值定理进行放缩. 证明:(Ⅰ)当 n=2 时,左边= 1 ? ∴左边<右边, ∴n=2 时,原不等式成立. (Ⅱ)假设当 n=k 时,不等式成立,即 ?

? 2 k ? 1 时,

1 2

? 2?

1 2

?

3 2 ,右边= 2 2 . 2

1 1

1 2

? 1

1 3

???

1 k

?2 k . 1 k ?1

当 n=k+1 时, ?

1 1

1 2

?

1 3

???

1 k

?

k ?1

?2 k ?

?2 k ?

1 2 k ? k ? 1 ? 1 [k ? (k ? 1)] ? 1 ? ? ? 2 k ?1 k ?1 k ?1 k ?1

∴n=k+1 时,原不等式成立.由(Ⅰ)(Ⅱ)知对 n≥2 的任何自然数,原不等式成立. 知识点四: 转化等价命题 例 5 数列{an}的通项公式为 an=3n+2,将数列{an}中的第 2,4,8,…,2n 项依次取出,按原来的 顺序组成一个新数列{bn},记其前 n 项和为 Sn,Tn=n(9+an),当 n≥4 时,证明 Sn>Tn. 思路分析:要证 Sn>Tn,只需证 3× 2n+1+2n-6>3n2+11n,即证 2n+1>n2+3n+2.这就证明了原不等 式的等价不等式,从而将命题简化. 证明:∵an=3n+2, ∴ a 2 n =3× 2n+2, ∴Sn=a2+a4+a8+…+a a 2 n =3(2+4+8+…+2n)+2n=3× 2n+1+2n-6. 而 Tn=n(9+an)=3n2+11n. 要证 Sn>Tn,只需证 3× 2n+1+2n-6>3n2+11n, 即证 2n+1>n2+3n+2. 用数学归纳法来证明: (Ⅰ)当 n=4 时,S4=98,T4=92,S4>T4 成立. (Ⅱ)假设当 n=k(k≥4)时,结论成立,就是 2k+1>k2+3k+2,那么 2k+2-[(k+1)2+3(k+1)+2]>2(k2+3k+2)-(k2+5k+6) =k2+k-2=(k+2)(k-1).

∵k≥4, ∴(k+2)(k-1)>0. ∴2k+2>(k+1)2+3(k+1)+2. 这就是说,当 n=k+1 时,Sn>Tn 也成立. 由(Ⅰ)(Ⅱ)知,对 n≥4,Sn>Tn 都成立. 方法归纳 本题用数学归纳法证明 2n+1>n2+3n+2,第二步采用的是作差比较法:作差——利用归纳 假设——变形(因式分解)——定号.这比通常的“作差——变形——定号”多了利用归纳假 设这一步,这是因为归纳假设是用数学归纳法证明命题时所必需的. 巧解提示 也可不用数学归纳法来证明 2n+1>n2+3n+2(n≥4),而是利用二项展开式和放缩法直接证 得. 当 n≥4 时, 2n+1=2· 2n=2(1+1)n
0 1 2 n?1 1 =2( Cn ) ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? Cn 0 1 2 n?1 1 ≥2( Cn ) ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn

=n2+3n+4 >n2+3n+2. 知识点五: 单调性 例 6 已知数列{an}中,所有项都是正数,且 an+1≤an-a2n,求证:an<

1 . n

思路分析: (Ⅰ)当 n=1 时,由 a2≤a1-a12=a1(1-a1),且 a1>0,a2>0,可得 a1<1,命题成立. (Ⅱ)假设当 n=k(k≥1)时命题成立,即 ak< 则当 n=k+1 时,ak+1≤ak-a2k=ak(1-ak),

1 . k

1 , k 1 k ?1 ∴1-ak>1- = . k k
∵ak< 由于以上二式不是同向不等式,所以无法完成由 k 到(k+1)的证明.所以我们可以利用函 数 f(x)=-x2+x 的单调性进行证明:函数 f(x)=-x2+x 的最大值为 f(

1 1 1 )= ,且在(-∞, ]上为 2 4 2

增函数. 证明: (Ⅰ)当 n=1 时,由 a2≤a1-a12=a1(1-a1),且 a1>0,a2>0,可得 a1<1,命题成立.

1 1 < ,故 n=2 时命题也成立. 4 2 1 (Ⅱ)假设 n=k(k≥2)时,命题成立,即 ak< , k 1 因为函数 f(x)=-x2+x 在(-∞, ]上为增函数, 2 1 1 所以由 ak< ≤ 及 ak+1≤ak-a2k 得 k 2
而 a2≤a1-a12=f(a1)≤

ak+1≤f(ak)<f(

1 1 1 k ?1 k ?1 1 1 ? )= ? 2 + = 2 < 2 ,即 ak+1< , k k k k ?1 k k ?1 k ?1
1 . n

所以当 n=k+1 时,命题也成立. 根据(Ⅰ) (Ⅱ)可知,对任何 n∈N*,an< 知识点六: 活用起点的位置 例 7 已知函数 f(x)=ax(1)求 a 的值; (2)设 0<a1<

3 2 1 1 1 1 x 的最大值不大于 ,又当 x∈[ , ]时,f(x)≥ . 2 6 4 2 8

1 1 ,an+1=f(an),n∈N*,证明:an< . 2 n ?1

思路分析:在用数学归纳法证明不等式的过程中,充分利用了数列递推关系式

3 2 a n+an 的函数单调性,需注意命题的递推关系式中起点位置的推移. 2 3 1 (1)解:由于 f(x)=ax ? x2 的最大值不大于 ,所以 6 2
an+1=f(an)= ? f(

a a2 1 )= ≤ ,即 a2≤1. 3 6 6

又 x∈[

1 1 1 , ]时 f(x)≥ , 4 2 8

? 1 f( )? ? ? 2 所以 ? ? f (1) ? ? 4 ?
∴a=1.

1 ?a 3 1 , ? ? , ?2 8 8 8 ? 即? 解得 a≥1. 1 ?a 3 1 , ? ? . ? 4 32 8 8 ?

1 1 ,不等式 0<an< 成立; 2 n ?1 2 1 1 因 f(x)>0,x∈(0, ),所以 0<a2=f(a1)≤ < , 3 6 3
(2)证明: (Ⅰ)当 n=1 时,0<a1< 故 n=2 时不等式也成立.

1 成立, k ?1 2 1 1 1 1 因为 f(x)=x- x2 的对称轴为 x= ,知 f(x)在[0, ]为增函数,所以由 0<ak< ≤ 得 3 3 3 k ?1 3 1 0<f(ak)<f( ),于是有 k ?1
(Ⅱ)假设 n=k(k≥2)时,不等式 0<ak< 0<ak+1<

1 2 1 1 1 1 k ?4 1 ? ? ? ? ? - · . 2 2 k ? 1 3 (k ? 1) k ? 2 k ? 2 k ? 2 2(k ? 1) (k ? 2) k ? 2

所以当 n=k+1 时,不等式也成立. 根据(Ⅰ) (Ⅱ)可知,对任何 n∈N*,不等式 an<

1 成立. n ?1

方法归纳 将起点的位置推移至 2 的目的,就是要将 ak 和 内,从而由 0<ak<

1 1 置于函数 f(x)的单调区间[0, ] k ?1 3

1 1 1 ≤ 得 0<f(ak)<f( ). k ?1 3 k ?1

问题·探究 交流讨论探究 问题 1 我们已经学习过贝努利不等式(1+x)n>1+nx 的证明,如果我们加强条件,如:已 知 x>-1,且 x≠0,n∈N,n≥2.如何来证明不等式(1+x)n>1+nx.证明的方法有哪些呢? 探究过程:老师:首先验证 n=2 时的情况. (1)当 n=2 时,左边=(1+x)2=1+2x+x2,右边=1+2x,因 x2>0,则原不等式成立. (2)假设 n=k 时(k≥2) ,不等式成立,即(1+x)k>1+kx. 现在要证的目标是(1+x)k+1>1+(k+1)x,请同学们考虑. 同学甲:因为应用数学归纳法,在证明 n=k+1 命题成立时,一定要运用归纳假设,所 以当 n=k+1 时.应构造出归纳假设适应的条件.所以有(1+x)k+1=(1+x)k(1+x).因为 x> -1(已知) ,所以 1+x>0,于是(1+x)k(1+x)>(1+kx) (1+x). 同学乙:现将命题转化成如何证明不等式(1+kx) (1+x)≥1+(k+1)x. 显然,上式中“=”不成立.故只需证: (1+kx) (1+x)>1+(k+1)x. 老师:证明不等式的基本方法有哪些? 同学丙:证明不等式的基本方法有比较法、综合法、分析法. 老师:在第二步证明中,合理运用归纳假设的同时,其本质是不等式证明,因此证明不 等式的所有方法、技巧手段都适用. 同学丁:证明不等式(1+kx) (1+x)>1+(k+1)x,可采用作差比较法. (1+kx) (1+x)-[1+(k+1)x]=1+x+kx+kx2-1-kx-x=kx2>0(因 x≠0,则 x2>0). 所以, (1+kx) (1+x)>1+(k+1)x. 同学甲:也可采用综合法的放缩技巧. (1+kx) (1+x)=1+kx+x+kx2=1+(k+1)x+kx2. 2 因为 kx >0,所以 1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x,即(1+kx) (1+x)>1+(1+k)x 成立. 老师:这些方法,哪种更简便,更适合数学归纳法的书写格式?学生丙用放缩技巧证明 显然更简便,利于书写. 探究结论:在证明中,对于 n=k+1 时的证明是整个数学归纳法证明过程中的重点和难点.要注 意分离出该命题中可以使用归纳假设的部分 (没有使用归纳假设的证明不是数学归纳法的证 明) ,并借助于其他数学方法(如分析法、比较法、综合法、反证法等). 问题 2 我们在证明不等式的时候,常用放缩法的技巧来达成目的,可在具体的题目中究竟 如何放缩还要视具体的题目而定,我们不妨来看看这样一个命题的证明,求证:2 上标 n+2 >n2,n∈N. 探究过程:老师: (1)当 n=1 时,左边=21+2=4;右边=1,左边>右边.所以原不等式成立. (2)假设 n=k 时(k≥1 且 k∈N)时,不等式成立,即 2k+2>k2. 现在,请同学们考虑 n=k+1 时,如何论证 2k+1+2>(k+1)2 成立. 同学甲:利用归纳假设 2k+1+2=2· 2k+2=2(2k+2)-2>2· k2-2. 老师:将不等式 2k2-2>(k+1)2,右边展开后得 k2+2k+1.由于转化目的十分明确,所 以只需将不等式的左边向 k2+2k+1 方向进行转化,即 2k2-2=k2+2k+1+k2-2k-3.由此不难看出, 只需证明 k2-2k-3≥0,不等式 2k2-2>k2+2k+1 即成立. 同学乙:因为 k2-2k-3=(k-3) (k+1) ,而 k∈N,故 k+1>0,但 k-3≥0 成立的条件是 k≥3,

所以当 k∈N 时,k-3≥0 未必成立. 老师:不成立的条件是什么? 同学乙:当 k=1,2 时,不等式 k-3≥0 不成立. 老师:由于使不等式不成立的 k 值是有限的,只需利用归纳法,将其逐一验证原命题成 立,因此在证明第一步中,应补充验证 n=2 时原命题成立.那么,n=3 时是否也需要论证? 同学丙: n=3 需要验证, 这是因为数学归纳法中的第一步验证是第二步归纳假设的基础, 而第二步中对于 k 是大于或等于 3 才成立,故在验证时,应验证 n=3 时,命题成立. 老师:通过上例可知,在证明 n=k+1 时命题成立过程中,针对目标 k2+2k+1,采用缩小 的手段,但是由于 k 的取值范围(k≥1)太大,不便于缩小,因此,用增加奠基步骤(把验 证 n=1 扩大到验证 n=1,2,3)的方法,使假设中 k 的取值范围适当缩小到 k≥3,促使放缩 成功,达到目标. 探究结论:设 S(n)表示原式左边,f(n)表示原式右边,则由上面的证法可知,从 n=k 到 n=k+1 命题的转化途径是:

要注意:这里 S′(k)不一定是一项,应根据题目情况确定.


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