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衢州市2013年1月高三年级教学质量检测试卷数学(理科)


衢州市 2013 年 1 月高三年级教学质量检测试卷 数学(理科)
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.设集合 M ? { x ? R | x ? 3 x ? 10 ? 0}, N ? { x ? Z || x |? 2} ,则 M ? N 为(
2



B.(1, 2) C.{

?1, 0,1} 1 ? 2i 2.在复平面内,复数 对应的点的坐标为( ) 1? i 1 3 3 1 C.(?1,3) A.(? , ) B.( , ) 2 2 2 2
3.下列函数中,在区间 (0,

A.(?2, 2)

D.{?2, ?1,0,1, 2}

D.(3,1)


?

2

) 上为增函数且以 ? 为周期的函数是(

x B. y ? sin x C. y ? ? cos 2 x D. y ? ? tan x A. y ? s i n 2 4.设 a, b 是两条直线, ? , ? 是两个平面,则 a ? b 的一个充分条件是( ) A. a? ? , b | ? ?? ? | , B.a ? ? , b ? ? , ? || ? C.a ? ? , b ? ? , ? || ? D. a? ? , b | ? ?? ? | ,
5.现有 12 名同学合影,站成前排 4 人后排 8 人,摄影师从后排 8 人中抽 2 人调整到前排,若其他 人的相对顺序不变,则不同的调整方法种数是( )

A.C82 A32

6 B.C62 A6

C.C82 A52

D.C82 A62


6.若 {a n } 为等差数列, S n 是其 n 项和,且 S11 ?

22? ,则 tan a6 的值为( 3
D. ?

3 3 2 2 2 7.如图,圆 O : x ? y ? ? 内有一段正弦曲线 y ? sin x ,直线 x ? m( ?? ? m ? ? ) 与圆和正弦 AB 曲线从上至下交于 A, B , C .设 f ( m ) ? ,下列说法正确的是( ) BC ① f ( m ) 是奇函数; ② f ( ? m )?f (m ) ? 1; ③ f ( 0) ? 1 ; ④ f ( m ) 是周期函数. A.①③ B.②③ C.③④ D.②④ x2 2 2 8.已知抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 上一点 M (1, m)(m ? 0) 到其焦点的距离为 5, 双曲线 2 ? y ? 1 a ) (a ? 0) 的左顶点为 A ,若双曲线的一条渐近线与直线 AM 平行,则实数 a 的值是( 1 1 1 1 A. B. C. D. 25 9 5 3 9.已知正四面体 ABCD 的棱长为 2,所有与它的四个顶点距离相等的平面截这个四面体所得截面
A. 3 B. ? 3 C. ? 3
的面积之和是( )

A. 3?

3

B.4

C.3

D. 3

10. 已 知 f ( x ) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 满 足 f ( ?

3 3 3 ? x ) ? f ( ? x ) , 当 x ? (0 , )时 , 2 2 2


2 f ( x ) ? l n (x ? x ?1 ,则函数 f ( x ) 在区间 [0, 6] 上的零点个数是( ) A.3 B.5 C.7 D.9

1

二、填空题: (本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11.已知某个几何体的三视图如图,根据图中标出的尺寸(单位:cm) ,求出这个几何体的体积是 3 cm

12.如果执行上面图中的程序框图,那么输出 t= . 13.在等比数列 {a n } 中, S n 为其前 n 项和,已知 a5 ? 2 S4 ? 3, a6 ? 2 S5 ? 3 ,则 a1 ?

.

?4 x ? y ? 9 ? 0 ? 14.已知实数 x , y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 x ? 3 y 的最大值是 . ?y ?3 ? x2 y2 2 15.设斜率为 的直线 l 与椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 交于不同的两点 P , Q ,若点 P , Q 在 x 2 a b
???? ???? ???? ???? 16.在 ?ABC 中, AB?AC ? 7,| AB ? AC |? 6 ,则 ?ABC 面积的最大值为
2 2

轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点,则该椭圆的离心率是

.

.

17. [ x ] 表示不超过实数 x 的最大整数, 3.2] ? 3,[?4.5] ? ?5 .在平面上由满足 [ x ] ? [ y] ? 50 的 [ 点 ( x , y ) 所形成的图形的面积是 三、解答题: (本大题共 5 小题,共 72 分) 18. (本题满分 14 分) 已知 ?ABC 中, A、B、C 的对边分别是 a、b、c , 角 满足 b cos C ? (I)求角 B 的大小; (II)若 b ? 1 ,求 ?ABC 内切圆半径的最大值. .

1 c?a. 2

2

19.(本题满分 14 分)已知一个不透明的箱子中放有 6 张写有数字的卡片,1 张写有数字 3,2 张 写有数字 2,3 张写有数字 1.现从箱子中任取 3 张卡片(无放回,且每张卡片取出的机会均等) , 记随机变量 X 为取出的 3 张卡片数字之积. (I)求 X 为 3 的倍数的概率; (II)求 X 的数学期望 E ( X ) .

20. 本题满分 14 分) ( 如图, 在几何体 NABCD 中, ? 平面 ABC , DC || AN , CD ? 2 AN ? 4 , CD 又 AB ? AC ? BC ? 2 ,点 M 是 BD 上动点(与 B , D 点不重合). (I)若 M 为 BD 中点,求证 AM ? BC ; (II)当直线 MN 与平面 ACDN 所成角为 30 时,求二面角 B ? MC ? A 的正切值.
?

D

N

M C B

A

3

21.(本题满分 15 分)已知抛物线 C : x ? 2my (m ? 0) 的焦点为 F ,直线 y ? x ? 2 与 x 轴的交
2

点 Q 到 F 的距离为

17 . 2

(I)求 m 的值; (II)设 P 为直线 y ? x ? 2 上的动点,过 P 作抛物线 C 的切线,切点分别为 A, B .求 ?ABP 面积的最小值,以及取得最小值时点 P 的坐标.

22.(本题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? x ? ax, g ( x) ? ln x.
2

(I)若 f ( x ) ? g( x ) 对于定义域内的 x 恒成立,求实数 a 的取值范围; (II)设 r ( x ) ? f ( x ) ? g(

1 ? ax 1 ) ,若对任意的 a ? (1, 2) ,总存在 x0 ? [ ,1] ,使不等式 2 2 2 r ( x0 ) ? k (1 ? a )成立,求实数 k 的取值范围.

4

衢州市 2013 年 1 月高三年级教学质量检测试卷

数学(理)参考答案
一、选择题 1——5 6——10 二、填空题 11. C A C C D B B D A D

8000 3 cm 3

12. 120

13. 3

14. ?1

15.

2 2

16. 12

17. 12

三、解答题 18.解: (I) b cos C ?

1 c?a 2

1 ? sin B cos C ? sin C ? sin A 2 1 ? sin B cos C ? sin C ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C 2 ? cos B ? ? 1 2 ?B ? 2? 3
------ 7 分

(II) 设内切园的半径为 R

1 1 ? ac sin B ? (a ? b ? c) R 2 2
?R ? 3 ac 2 a ? c ?1

?b ? 1

? a 2 ? c 2 ? ac ? 1

? (a ? c)2 ? 1 ? ac

3 (a ? c) 2 ? 1 3 ?R ? ? (a ? c ? 1) 2 a ? c ?1 2
而 (a ? c) ? 1 ? ac ? (
2

a?c 2 ) 2

?a ? c ?

2 3 3

? R 的最大值为 1 ?

3 2

------------------------14 分

5

19. 解: (Ⅰ)随机变量 X 的取值为 1,2,3,4,6,12

P ( X ? 3) ?

1 C32C1 3 ? 3 C6 20 1 1 1 C3C1 C2 6 3 ? ? 3 C6 20 10 1 2 C1 C2 1 ? 3 C6 20

P( X ? 6) ? P( X ? 12) ?

? P( X ? 3的倍数) ?

6 ? 3 ?1 1 ? ----------7 分 20 2
--------9 分
1 2 C3C2 3 P ( X ? 4) ? ? 3 C6 20

3 C3 1 (Ⅱ) P ( X ? 1) ? 3 ? C6 20 1 C32C2 6 3 P( X ? 2) ? ? ? 3 C6 20 10

? X 的分布列为:
1 3 3 3 3 1 20 10 20 20 10 20 1 3 3 3 1 3 41 + ?2 + ? E( X ) ? ? 3 + ? 4 + ? 6 + ? 12 = --------14 分 20 10 20 10 20 20 10
20.解: (Ⅰ)取 BC 中点 E,连接 AE,ME. ? ME ? DC ? AB ? AC ? BC ? A E? B C ?M 是 BD 中点 ? DC ? 面ABC ? M E? 面 A B C ?M E? B C ---------- -6 分 ? BC ? 面AME ? B C? A M (Ⅱ)解法一:取 AC 的中点 F,连接 BF,DF.G 过 M 作 MG ? BF 交 DF 于点 G,连接 GM,NG
? ? BF ? AC ? M F ? A C B F? 面 A C D ? △ABC 为正三角形 ,F 为中点 就是所求的角 设 DM ? ? DB(0 ? ? ? 1) ? MG ? 面ACD ??M N G
? GM ? 3?

X P( X )

1

2

3

4

6

12

在△DNM 中
MN ? DM ? DN ? 2DM ? DN cos ?NDM = 20? ? 20? ? 8
2 2 2 2

D
1 2

?

GM 1 ? MN 2

?? ?

即 M 为 BD 的中点

N

G M H C E B

由(Ⅰ)可得: 过 E 作 EH ? CM 于 H,连接 AH 就是所求的二面角 ? AE ? 面BCD ? AH ? CM ??A H E
AE ? 3

2 5 在△BCM 中可以求得 HE ? 5

15 ? tan ?AHE ? 2

A

F

所以 所求二面角的正切值为

15 -----------14 分 2

解法二:如图以 BC、AE 所在直线为 x,y 轴,E 为坐标原点建立空间直角坐标系。则
A(0, ? 3, 0), B(1, 0, 0), C (?1, 0, 0), D(?1, 0, 4), N (0, ? 3, 2)

设 BM ? ? DB(0 ? ? ? 1)

6

则 M (2? ? 1,0, 4? ) 易知平面 ACD 的法向量为 n ? (? , ?
???? ? NM ? (1 ? 2? , 3, 4? ? 2)

3 3 , 0) 2 2 ? ????? 1 由 题 意 得 : c o s? n ,N M ? ? 2

?

D z M H C E y x B

?? ?

1 2
? ? 设平面 ACM 的法向量为 p ? ( x, y, z ) ,则

N

? M (0,0, 2)
???? ? ? ? ? AM ? p ? 0 ? ? ? ???? ? ? AC ? p ? 0 ?

? ? 3 解得: p ? (3, 3, ? ) 2

A

F

?? 易知平面 BCM 的法向量为 m ? (0,1,0)

?? ? ? 2 3 2 ? cos ? m, p ?? ? 57 19

所以所求二面角的正切值为

15 2

21. 解: (Ⅰ)由已知 Q(2,0) , F (0,

m ). 2

QF ? (2 ? 0) 2 ? (0 ?

m 2 17 ) ? ,得 m ? 1 . 2 2
2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,抛物线 C 的方程是 x ? 2 y . 设 P( x0 , y0 ), A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 切线 PA 的方程为: y ? y1 ? x1 ( x ? x1 ) ,即 y ? x1 x ? y1 , 同理,切线 PB 的方程为: y ? x2 x ? y2 . 因为它们都过点 P( x0 , y0 ) ,所以点 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) 同时满足方程 y ? x0 x ? y0 , 又因为 y0 ? x0 ? 2 ,所以直线 AB 的方程为 y ? x0 ( x ? 1) ? 2 . 所以点 P 到直线 AB 的距离为 d ?
2

x0 2 ? 2 x0 ? 4 x0 2 ? 1
2 2

?

x0 2 ? 2 x0 ? 4 x0 2 ? 1

又 AB ? 1 ? x0 x1 ? x2 ? 2 1 ? x0 ? x0 ? 2 x0 ? 4

1 AB ? d ? ( x0 2 ? 2 x0 ? 4)3 ? 3 3 ,等号当且仅当 x0 ? 1 时取得. 2 此时,点 P(1, ?1) .
所以 S ? 22.解: (Ⅰ) f ( x) ? g ( x) ,? a ? x ? 设 ? ( x) ? x ?

ln x ( x ? 0) x

x 2 ? ln x ? 1 ln x , ? ?( x) ? x x2

7

当 x ? (0,1) 时, ? ?(x) ? 0 ,当 x ? (1,??) 时, ? ?(x) ? 0

?? ( x) ? ? (1) ? 1,? a ? ?? ?, 1 ? -------------------5 分

(Ⅱ) r ?( x) ?

a ? 2x ? a ? 1 ? ax
? ?

2ax( x ?

a2 ? 2 ) 2 2a , a ? 2 ? a ? 1 ? 2 ? 1 ? 1 2a 2 a 2 2 2 1 ? ax
1? a , 2
( a ? (1,2) )

所以 r (x ) 在 ? ,?? ? 上为增函数,? r ( x0 ) max ? r (1) ? 1 ? a ? ln 所以,得 1 ? a ? ln

?1 ?2

1? a 1? a ? k (1 ? a 2 ) ,设 ? (a) ? 1 ? a ? ln ? k (a 2 ? 1) 2 2

? (1) ? 0 ,由 ? (a) ? 0 在 a ? (1,2) 恒成立,
?? ?(a) ? a (2ka ? (1 ? 2k )) 1? a

① 若 k ? 0 ,则?? ?(a) ? ② k ? 0 时, ? ?(a) ? ?

?a 所以 ? (a ) 在 a ? (1,2) 递减,此时 ? (a) ? ? (1) ? 0 不符合; 1? a

2ka 1 (a ? ( ? 1)) ,? (a ) 在 a ? (1,2) 递减,此时 ? (a) ? ? (1) ? 0 不符合; 1? a 2k 2ka 1 1 ? 1 ? ?1? ) (a ? ( ? 1)) ,若 ? 1 ? 1 ,则 ? (a ) 在区间 (1 , min ?2, 1? a 2k 2k ? 2k ?

③ k ? 0 时,?? ?(a) ?

上递减,此时 ? (a) ? ? (1) ? 0 不符合;

?k ? 0 1 ? 综合得 ? 1 ?k? 4 ? 2k ? 1 ? 1 ?
即实数 k 的取值范围为 ?

? 1 ? , ? ? ? -----------------------------------15 分 ? 4 ?

8


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