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3.1.1直线的倾斜角与斜率


3.1.1 直线的倾斜角与斜率教学设计
【教材分析】 直线是最基本、最简单的几何图形,它既能为进一步学习做好知识上的必要准备,又能为今 后灵活地运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础.事实上,只有透彻理解并熟练掌 握直线的倾斜角和斜率这两个基本概念,学生才能对直线及其位置进行定量的研究.对直线 的倾斜角和斜率, 必须要求学生理解它们的准确含义和作用, 并在运用上形成

相应的技能和 熟练的技巧. 本小节从激光舞入手,引入直线的倾斜角概念,注重了由浅及深的学习规律,并体现了由特 殊到一般的研究方法.引导学生认识到之所以引入直线在平面直角坐标系中的倾斜角和斜率 概念,是进一步研究直线方程的需要. 【教学目标】 1.理解直线的倾斜角和斜率的定义, 充分利用斜率和倾斜角是从数与形两方面刻划直线相对 于 x 轴倾斜程度的两个量这一事实,在教学中培养学生数形结合的数学思想. 2.通过斜率概念的建立和 k=tanα 的图像,帮助学生进一步理解数形结合思想,培养学生树 立辩证统一的观点,培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神. 3.培养和提高学生联系、对应、转化等辩证思维能力,认识事物之间的相互联系,培养相互 合作意识,培养学生思维的严谨性,注意学生语言表述能力的训练. 【重点难点】 教学重点:直线的倾斜角和斜率概念. 教学难点:倾斜角与斜率的关系以及斜率的意义. 【教学方法】 互动-交流-归纳-总结 【教具准备】 多媒体 【课时安排】 1 课时 【教学过程】 一、情境创设 1、视频引入 同学们欣赏视频,思考下能用什么数学语言刻画不同的直线? 2、问题引入 对于平面直角坐标系内的一条直线 l ,它的位置由哪些条件确定? 我们知道,两点确定一条直线.一点能确定一条直线的位置吗?也就是说已知直线 l 经过 点 P,直线 l 的位置能够确定吗? 过一点 P 可以作无数条直线 l,l ’ , l ’ ’ , ?它们都经过点 P (组成一个直线束) , 这些直线区别在哪里呢? 容易看出,它们的倾斜程度不同.怎样描述直线的倾斜程度呢? ’二、构建新知 1、直线倾斜角的定义: 当直线 l 与 x 轴相交时,我们取 x 轴作为基准,x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角叫 做直线的倾斜角 注意: (1)直线向上方向; (2)x 轴的正方向。

练习:见 ppt 探究 1:根据倾斜角α 的变化 ,直线 l 与 X 轴位置有几种情况?并画出相应的图像。 规定:当直线和 x 轴平行或重合时,它的倾斜角为 0° 因此,直线的倾斜角的取值范围为: 0? ? a ? 180? 探究 2:倾斜角确定时这条直线的位置确定吗? 相同倾斜角可作无数互相平行的直线 探究 3、如何才能确定直线位置? 过一点且倾斜角为 α 能不能确定一条直线?能 一点+倾斜角 ? 确定一条直线 (两者缺一不可) 思考: 日常生活中,还有没有表示倾斜程度的量?

2、直线的的斜率 如图 3.1-3,日常生活中,我们经常用“升高量与前进量的比”表示倾斜面的“坡度” (倾斜 升高量 程度) ,即

坡度 ?

前进量

直线斜率的定义: 我们把一条直线的倾斜角α 的正切值叫做这条直线的斜率。 用小写字母 k 表示,即

k ? tan a

例如: a ? 30 ?
?

k ? tan 30 ?

0 当α 为钝角时,倾斜角为α =135 时,由 即这条直线的斜率为-1

a ? 60? ? k ? tan 60 ?

3 3 3

a ? 45? ? k ? tan 45 ? 1

k ? tan 135 ? ? tan 45 ? ?1

思考:当直线与 X 轴垂直时,直线的倾斜角是多少? a ? 90 ? tan a(不存在) 即k不存在
小结:倾斜角α 不是 90°的直线都有斜率,并且倾斜角不同,直线的斜率也不同.因此, 可以用斜率表示直线的倾斜程度. 注意:由图像知:
K ? tan ?

3? 2

?

?

?
2

- -

1 - 0 1

k

?

?
2

?

3? 2

直线的倾斜角与斜率的关系: (1)如果 k=0,直线平行于 x 轴或与 x 轴重合,直线的倾斜角为 0 度。 (2)若 k>0,直线的倾斜角为锐角。k 值增大,直线的倾斜角也增大。 (3)若 k<0,直线的倾斜角为钝角。k 值增大,直线的倾斜角也增大。 (4)若 k 不存在,直线垂直于 x 轴,此时直线的倾斜角为 90 度。 三、例题讲解 例 1:已知直线的倾斜角,求直线的斜率: ⑴α =300; ⑵ α =1350 ; ⑶ α =600 ; ⑷ α =900 变式:已知直线的斜率,求其倾斜角: ⑴k=0; ⑵k=1; ⑶k=-1; ⑷k 不存在 例 2:见 ppt 变式训练:见 ppt 四、课堂小结: 1、直线的倾斜角定义及其范围: 0 ? ? ? 180 2、直线的斜率定义: k ? tan a (a ? 90 ) 3、 ?a ? 0 ? k ? tan 0 ? 0

? ?0 ? a ? 90 ? k ? tan a ? 0 ? ?a ? 90 ? tan a(不存在) ? k不存在 ?90 ? a ? 180 ? k ? tan a ? 0 ?
P89 A 组 1

五、布置作业: P86 练习 1, 六、板书设计

1、直线倾斜角的定义: 注意: (1)直线向上方向; (2)x 轴的正方向。 2、直线斜率的定义:

3.1.1 直线的倾斜角与斜率 例 1: 变式: 例 2: : 变式:

七、课后反思


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