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湖南省怀化市湖天中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析


湖南省怀化市湖天中学 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷 (文科)
一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的一项. 1. (5 分)已知 a,b,c∈R,下列说法正确的是() A.a>b?ac >bc
2 2

B.

?a>b

C.a>b>0?

D.a>b?a >b

2

2

2. (5 分)在△ ABC 中,∠A,∠B,∠C 所对的边为 a,b,c,a=8,B=60°,A=45°,则 b= () A. B. C. D.

3. (5 分)已知等比数列{an}的公比 q=﹣ ,则 A. B . ﹣3 C.

等于()

D.3

4. (5 分)在△ ABC 中,∠A,∠B∠C 所对的边为 a,b,c,a=7,b=8,cosC= 是() A.6

,则边 c

2

B. 7

C. 8

D.9

5. (5 分)已知(3,1)和(﹣4,6)在直线 3x﹣2y+a=0 的两侧,则 a 的取值范围是() A.a<1 或 a>24 B.a=7 或 a=24 C.﹣7<a<24 D.﹣24<a<7 6. (5 分)等差数列{an}的前 3 项和为 30,前 6 项和为 100,则它的前 9 项和是() A.130 B.170 C.210 D.260 7. (5 分)在△ ABC 中,a=80,b= 100,A=45°,则此三角形解的情况是() A.一解 B.两解 C.一解或两解 D.无解 8. (5 分)已知不等式 ax ﹣5x+b>0 的解集为{x|﹣3<x<2},则不等式 bx ﹣5x+a>0 的解集 为() A.{x|﹣ <x< } <﹣3 或 x>2} B.{x|x<﹣ 或 x> } C. {x|﹣3<x<2} D. {x|x
2 2

9. (5 分)在△ ABC 中,若 A.等腰三角形 C. 等腰或直角三角形

,则△ ABC 是() B. 直角三角形 D.钝角三角形

10. (5 分)已知 a≥0,b≥0,且 a+b=2,则() A. B. C.a +b ≥2
2 2

D.a +b ≤3

2

2

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11. (5 分)已知数列{an},a1=1,an=2an﹣1,则 an=. 12. (5 分)在△ ABC 中,∠A,∠B∠C 所对的边为 a,b,c,A=60°,b=1,S△ ABC= c 等于. 13. (5 分)已知数列{an},其前 n 项和为 sn,且 sn=n +n,则通项公式 an=. 14. (5 分)已知正数 x、y,满足 + =1,则 x+2y 的最小值.
2

,则

15. (5 分)设变量 x、y 满足约束条件

,则 x +y 的最大值为.

2

2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算过程. 16. (12 分)解不等式: 2 (1)9x +1≥6x (2)﹣x +
2

>0.
2 2 2

17. (12 分)已知 a、b、c 分别是△ ABC 中角 A、B、C 的对边,且 a +c ﹣b =ac. (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 c=3a,求 tanA 的值. 18. (12 分)某住宅小区计划植树不少于 100 棵,若第一天植 2 棵,以后每天植树的棵树是前 * 一天的 2 倍,则需要的最少天数 n(n∈N )为多少? 19. (13 分)等差数列{an}中,a4=10 且 a3,a6,a10 成等比数列,求数列{an}前 20 项的和 S20.

20. (13 分)某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为 4800m ,深为 3m,如果池底每 2 2 1m 的造价为 150 元,池壁每 1m 的造价为 120 元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总 造价是多少元? 21. (13 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,Sn+1=4an+2(n∈N+) (1)若 bn=an+1﹣2an,求 bn; (2)若 ,求{cn}的前 6 项和 T6;

3

(3)若

,证明{dn}是等差数列.

湖南省怀化市湖天中学 2014-2015 学年高二上学期期中数 学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的一项. 1. (5 分)已知 a,b,c∈R,下列说法正确的是() A.a>b?ac >bc
2 2

B.

?a>b

C.a>b>0?

D.a>b?a >b

2

2

考点: 不等关系与不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: A.c=0 时不成立; B.c<0 时不成立; C.利用不等式的性质即可得出. D.取 a=﹣1,b=﹣2,即可判断出. 解答: 解:A.c=0 时不成立; B.c<0 时不成立; C.a>b>0? ,正确;

D.取 a=﹣1,b=﹣2,不正确. 故选:C. 点评: 本题查克拉不等式的基本性质,属于基础题. 2. (5 分)在△ ABC 中,∠A,∠B,∠C 所对的边为 a,b,c,a=8,B=60°,A=45°,则 b= ()

A.

B.

C.

D.

考点: 专题: 分析: 值. 解答:

正弦定理. 解三角形. 由 A 与 B 的度数求出 sinA 与 sinB 的值,再由 a 的值,利用正弦定理即可求出 b 的 解:∵a=8,B=60°,A=45°,

∴根据正弦定理

得:b=

=

=4



故选:C. 点评: 此题考查了正弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握正弦定理是解本题的关 键.

3. (5 分)已知等比数列{an}的公比 q=﹣ ,则 A. B . ﹣3 C.

等于()

D.3

考点: 等比数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 根据等比数列的通项公式化简 = ,代入数据求值.

解答: 解:由题意得,公比 q=﹣ ,

所以

=

= =﹣3,

故选:B. 点评: 本题考查等比数列的通项公式的应用,注意整体思想的应用. 4. (5 分)在△ A BC 中,∠A,∠B∠C 所对的边为 a,b,c,a=7,b=8,cosC= 是() A.6
2

,则边 c

B. 7

C. 8

D.9

考点: 余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 利用余弦定理列出关系式,把 a,b,cosC 的值代入计算即可求出 c 的值.

解答: 解:∵在△ ABC 中,a=7,b=8,cosC=
2 2 2

, =113﹣104=9,

∴由余弦定理得:c =a +b ﹣2abcosC=49+64﹣2×7×8×

故选:D. 点评: 此题考查了余弦定理,熟练掌握余弦定理是解本题的关键. 5. (5 分)已知(3,1)和(﹣4,6)在直线 3x﹣2y+ a=0 的两侧,则 a 的取值范围是() A.a<1 或 a>24 B.a=7 或 a=24 C.﹣7<a<24 D.﹣24<a<7 考点: 二元一次不等式(组)与平面区域. 专题: 计算题;转化思想. 分析: 将两点坐标分别代入直线方程中,只要异号即可. 解答: 解:因为(3,1)和(﹣4,6)在直线 3x﹣2y+a=0 的两侧, 所以有(3×3﹣2×1+a)<0, 解得﹣7<a<24 故选 C. 点评: 本 题考查线性规划知识的应用. 一条直线把整个坐标平面分成了三部分,让其大于 0 的点,让其大于 0 的点以及让其小于 0 的点. 6. (5 分)等差数列{an}的前 3 项和为 30,前 6 项和为 100,则它的前 9 项和是() A.130 B.170 C.210 D.260 考点: 等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 依题意,S3、S6﹣S3、S9﹣S6 成等差数列,从而可求得答案. 解答: 解:∵等差数列{an}的前 3 项和为 30,前 6 项和为 100,即 S3=30,S6=100, 又 S3、S6﹣S3、S9﹣S6 成等差数列, ∴2(S6﹣S3)=(S9﹣S6)+S3, 即 140=S9﹣100+30, 解得 S9=210, 故选:C. 点评: 本题考查等差数列的性质,熟练利用 S3、S6﹣S3、S9﹣S6 成等差数列是关键,属于 中档题. 7. (5 分)在△ ABC 中,a=80,b=100,A=45°,则此三角形解的情况是() A.一解 B.两解 C. 一解或两解 D.无解 考点: 正弦定理. 专题: 计算题. 分析: 由 a,b 及 sinA 的值,利用正弦定理即可求出 sinB 的值,发现 B 的值有两种情况, 即得到此三角形有两解. 解答: 解:由正弦定理得: = ,

即 sinB= 则 B=arcsin

=

, ,

或 π﹣arcsin

即此三角形解的情况是两解. 故选 B 点评: 此题考查学生灵活运用正弦定理化简求值,掌握正弦函数的图象与性质,是一道基 础题. 8. (5 分)已知不等式 ax ﹣5x+b>0 的解集为{x|﹣3<x<2},则不等式 bx ﹣5x+a>0 的解集 为() A.{x|﹣ <x< } <﹣3 或 x>2} 考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 计算题. 2 分析: 由不等式 ax ﹣5x+b>0 的解集为{x|﹣3<x<2}得到 a、 b 的值, 代入到不等式中确定 出不等式,求出解集即可. 解答: 解:因为 ax ﹣5x+b>0 的解集为{x|﹣3<x<2} 2 根据一元二次不等式求解集的方法可得 ax ﹣5x+b=a(x+3) (x﹣2)且 a<0 解得 a=﹣5,b=30. 则不等式 bx ﹣5x+a>0 变为 30x ﹣5x﹣5>0 解得 x< ﹣ 或 x 故选 B 点评: 考查学生理解一元二次不等式解集求法的能力,会解一元二次不等式的能力, 9. (5 分)在△ ABC 中,若 A.等腰三角形 C. 等腰或直角三角形 ,则△ ABC 是() B. 直角三角形 D.钝角三角形
2 2 2 2 2

B.{x|x<﹣ 或 x> }

C.

{x|﹣3<x<2} D. {x|x

考点: 三角形的形状判断. 专题: 解三角形. 分析: 先由正弦定理得求出 sinA?cosA=sinB?cosB,利用倍角公式化简得 sin2A=sin2B,因 a≠b,进而求出,A+B= . ,

解答: 解:由正弦定理得 ∴sinA?cosA=sinB?cosB, ∴sin2A=sin2B, ∴2A=2B 或 2A+2B=π,但 a≠b,

∴2A≠2B,A+B=

,即△ ABC 是直角三角形.

故选:B. 点评: 本题主要考查正弦定理的应用.二倍角公式的应用,属基础题. 10. (5 分)已知 a≥0,b≥0,且 a+b=2,则() A. B. C.a +b ≥2
2 2

D.a +b ≤3

2

2

考点: 基本不等式. 2 2 分析: ab 范围可直接由基本不等式得到,a +b 可先将 a+b 平方再利用基本不等式联系. 解答: 解:由 a≥0,b≥0,且 a+b=2, ∴
2 2 2


2 2

而 4=(a+b) =a +b +2ab≤2(a +b ) , 2 2 ∴a +b ≥2. 故选 C. 点评: 本题主要考查基本不等式知识的运用,属基本题.基本不等式是沟通和与积的联系 式,和与平方和联系时,可先将和平方. 二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11. (5 分)已知数列{an},a1=1,an=2an﹣1,则 an=2 考点: 等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 易得数列{an}是首项为 1 公比为 2 的等比数 列,可得通项公式. 解答: 解:∵数列{an}中 a1=1,an=2an﹣1, ∴数列{an}是首项为 1 公比为 2 的等比数列, n﹣1 n﹣1 ∴an=1×2 =2 n﹣1 故答案为:2 点评: 本题考查等比数列的通项公式,涉及等比数列的判定,属基础题. 12. (5 分)在△ ABC 中,∠A,∠B∠C 所对的边为 a,b,c,A=60°,b=1,S△ ABC= c 等于 4. 考点: 三角形的面积公式. 专题: 解三角形. 分析: 利用 S△ ABC= 即可得出. , ,解得 c=4. ,则
n﹣1



解答: 解:∵A=60°,b=1,S△ ABC= ∴ ,即

故答案为:4. 点评: 本题考查了三角形的面积计算公式,属于基础题.

13. (5 分)已知数列{an},其前 n 项和为 sn,且 sn=n +n,则通项公式 an=2n,n∈N . 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由数列{an}的其前 n 项和 sn 求通项公式 an 时,通常先写出 n≥2 时 sn﹣1 的表达式,再 求出 an,并且验证 n=1 时 an 是否成立即可. 2 解答: 解:∵数列{an},其前 n 项和为 sn,且 sn=n +n, 2 ∴当 n≥2 时,sn﹣1=(n﹣1) +(n﹣1) , 2 ∴an=sn﹣sn﹣1=(n +n)﹣=2n; 当 n=1 时,a1=s1=1+1=2,满足 an; * ∴数 列的通项公式为 an=2n,n∈N . * 故答案为:2n,n∈N . 点评: 本题考查了由数列{an}的其前 n 项和 sn 求通项公式 an 的问题,是基础题目. 14. (5 分)已知正数 x、y,满足 + =1,则 x+2y 的最小值 18.

2

*

考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 利用基本不等式的性质即可求出. 解答: 解:∵正数 x、y,满足 + =1, ∴x+2y= , =10+ ,解得 x=12,y=3. =18.当且仅当 x>0,y>0,

∴x+2y 的最小值是 18. 故答案为 18. 点评: 熟练掌握基本不等式的性质是解题的关键.

15. (5 分)设变量 x、y 满足约束条件

,则 x +y 的最大值为 25.

2

2

考点: 简单线性规划. 专题: 数形结合. 2 2 分析: 作出变量 x、y 满足约束条件所表示的可行域,然后根据 x +y 的几何意义,从而得 到答案.

解 答: 解:画出满足约束条件

的平面区域,

如图示:

, ∴x +y 的最大值是 C 点到原点的距离的平方, 2 2 ∴x +y =25, 故答案为:25. 点评: 本题主要考查了利用线性规划求最值,属中等题.解题的关键是做出可行域然后利 用目标函数的几何意义进行求解.
2 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算过程. 16. (12 分)解不等式: (1)9x +1≥6x (2)﹣x +
2 2

>0.

考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 将不等式化为二次项系数为正整数,一边为 0 的形式然后解之. 解答: 解: (1)9x +1≥6x?9x ﹣6x+1≥0?(3x﹣1) ≥0,解得 x∈R; (2) )﹣x + 集为( ,1) . 点评: 本题考查了一元二次不等式的解法;首先化简不等式为 ax +bx+c≥0(a>0)的形式, 然后根据具体形式选择适当的方法解之,属于基础题. 17. (12 分)已知 a、b、c 分别是△ ABC 中角 A、B、C 的对边,且 a +c ﹣b =ac. (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 c=3a,求 tanA 的值. 考点: 余弦定理的应用. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ)直接利用余弦定理即可得到结论;
2 2 2 2 2 2 2 2

>0?3x ﹣5x+2<0?(x﹣1) (3x﹣2)<0? <x<1;所以不等式的解

2

(Ⅱ) 先将 c=3a 代入 a +c ﹣b =ac, 得

2

2

2

. 利用余弦定理求出



再根基同角三角函数之间的关系求出其正弦即可求出结论. 解答: 解: (Ⅰ)由余弦定理,得 ∵0<B<π, ∴ . (4 分)
2 2 2

= (2 分)

(Ⅱ) :将 c=3a 代入 a +c ﹣b =ac,得 由余弦定理,得 ∵0<A<π, ∴ ∴ . (10 分) . (12 分) .



(6 分) (8 分)

点评: 本题考查了解三角形的知识,对余弦定理及其变式进行重点考查,属于中档题目, 只要细心分体已知条件式子的特点就不难解答这类问题 18. (12 分 )某住宅小区计划植树不少于 100 棵,若第一天植 2 棵,以后每天植树的棵树是前 * 一天的 2 倍,则需要的最少天数 n(n∈N )为多少? 考点: 指数函数的实际应用. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由题意,设第 n 天植树 y 棵,则 y=2 ,即 2+4+8+…+2 ≥100,从而求 n. 解答: 解:由题意,设第 n 天植树 y 棵,则 n y=2 , n 则 2+4+8+…+2 ≥100, 则 n≥6, 故最小需要 6 天. 点评: 本题考查了指数函数的应用,属于基础题. 19. (13 分)等差数列{an}中,a4=10 且 a3,a6,a10 成等比数列,求数列{an}前 20 项的和 S20. 考点: 等差数列的性质;数列的求和;等比数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 2 分析: 先设数列{an}的公差为 d,根据 a3,a6,a10 成等比数列可知 a3a10=a6 ,把 d 和 a4 代 入求得 d 的值.再根据 a4 求得 a1,最后把 d 和 a1 代入 S20 即可得到答案. 解答: 解:设数列{an}的公差为 d,则 a3=a4﹣d=10﹣d,a6=a4+2d=10+2d,a10=a4+6d=10+6d. 2 由 a3,a6,a10 成等比数列得 a3a10=a6 , 2 即(10﹣d) (10+6d)=(10+2d) ,
n n

整理得 10d ﹣10d=0, 解得 d=0 或 d=1. 当 d=0 时,S20=20a4=200. 当 d=1 时,a1=a4﹣3d=10﹣3×1=7, 于是 =20×7+190=330.

2

点评: 本题主要考查了等差数列和等比数列的性质.属基础题. 20. (13 分)某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为 4800m ,深为 3m,如果池底每 2 2 1m 的造价为 150 元,池壁每 1m 的造价为 120 元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总 造价是多少元? 考点: 基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 应用题. 分析: 此题首先需要由实际问题向数学问题转化,即建立函数关系式,然后求函数的最值, 其中用到了均值不 等式定理. 解答: 解: 设水池底面一边的长度为 xm, 水池的总造价为 y 元, 则底面积为 池底的造价为 1600×150=240000 元, 则 y=240000+720(x+ )≥240000+720×2 m,
2 3

=240000+720×2×40=297600, 当且仅 当 x= ,即 x=40 时,y 有最小值 297600(元)

答:当水池的底面是边长为 40m 的正方形时,水池的总造价最低,最低总造价是 297600 元. 点评: 本题考查建立数学模型的能力及利用基本不等式求函数的最值注意的条件:一正, 二定,三相等. 21. (13 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,Sn+1=4an+2(n∈N+) (1)若 bn=an+1﹣2an,求 bn; (2)若 ,求{cn}的前 6 项和 T6;

(3)若

,证明{dn}是等差数列.

考点: 数列的求和;等差关系的确定;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1) 由已知利用递推关系即可得出 bn+1=2bn, 利用等比数列的通项公式即可得出 bn; (2)利用(1)和等比数列的前 n 项和公式即可得出; (3)利用等差数列的定义即可证明. 解答: 解(1)∵a1=1,Sn+1=4an+2(n∈N+) , ∴Sn+2=4an+1+2an+2=Sn+2﹣Sn+1=4(an+1﹣an) ,

∴an+2﹣2an+1=2(an+1﹣2an) 即 bn+1=2bn ∴{bn}是公比为 2 的等比数列,且 b1=a2﹣2a1 ∵a1=1,a2+a1=S2 即 a2+a1=4a1+2, ∴a2=3a1+2=5, ∴b1=5﹣2=3, ∴ .

(2)∵





,∴

∴{cn}是首项为 ,公比为 的等比数列.

∴T6=

=

=



(3)∵









∴{dn}是等差数列. 点评: 熟练掌握递推关系、等比数列的通项公式、等比数列的前 n 项和公式、等差数列的 定义是解题的关键.


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