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2008年河南平顶山市普通高级中学毕业班第一次教学质量调研考试数学理科


2008 年普通高中毕业班教学质量调研考试

理科数学
第Ⅰ卷
注意事项: 1.答题前,考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准 考证号填写清楚. 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效. 参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么 球的表面积公式

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
如果事件 A,B 相互独立,那么

S ? 4πR2
其中 R 表示球的半径 球的体积公式

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,那么

n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
k Pn (k ) ? Cn p k (1 ? p) n ?k (k ? 0,2, n) 1, …,

4 3 πR 3 其中 R 表示球的半径 V?

一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.把答案涂在答题卡上. (1)函数 y ?

log 2 ( x ? 1) 2? x

的定义域是

A. (1,2] (2)已知

B.(1,2)

C.(2,+∞)

D.(-∞,2)

1 ? tan ? ? ? 2 ,则 tan(? ? ) 的值是 1 ? tan ? 4
B.2 C. ?

A. ? 2 (3)设复数 z ? A.2

1 2

D.

1 2

(2 ? i )(1 ? i ) 2 ,则 z 等于 1 ? 2i
B.-2 C.2 i D.-2 i

(4)下列各题中,使 M 是 N 成立的充要条件的一组是 A.M:a>b,N:ac2>bc2 C.M:a>b>0,c>d>0,N:ac>bd B.M:a>b,c>d,N:a-d>b-c D.M:|a-b|=|a|+|b|,N:ab≤0

(5)函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? b 的图象如图所示,则它的解析式是

理科数学

第 1 页 (共 8 页)

3 1 1 1 B. y ? sin x ? 1 sin x ? 1 2 2 2 2 1 3 C. y ? sin 2 x ? 1 D. y ? sin 2 x ? 1 2 2 1 (6) ( x ? ) 7 展开式的第四项等于 7, x
A. y ?
2 n 则 lim(1 ? x ? x ? ? ? x ) ? n ??

A.

5 4
2

B.
2

5 6

C. ?

1 6

D. ?

1 4

(7)设点 A 在圆 x ? y ? 2 y 上,点 B 在直线 y ? x ? 1 上,则|AB|的最小值是 A. 2 ? 1 B. 1 ?

2 2

C. 2

D.

2 2

} (8)设 M ? {( x, y) x, y ? R , N ? { f ( x) f ( x) ? a cos 2 x ? b sin 2 x} ,给出 M 到 N 的映
射 F : (a, b) ? f ( x) ? a cos 2 x ? b sin 2 x ,则点 (1, A.

3) 的象 f ( x) 的最小正周期为
D.

? 2
2

B. 2?

C. ?

? 4

(9)设 f ( x) ? ? x ? 2ax 与 g ( x) ? A. (?1,0) ? (0,1)

a 在区间 [1, 2] 上都是减函数,则 a 的取值范围是 x ?1
C. (0,1) D. (0,1]

B. (?1,0)

(10)由 0,1,2,3,4,5 六个数字组成数字不重复且百位数字不是 5 的 5 位数的个数为 A.504 个 B.408 个 C.720 个 D.480 个

(11)矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 成 60? 角,把矩形所在的平面以 AC 为折痕,折成一个 直二面角 D-AC-B,连结 BD,则 BD 与平面 ABC 所成角的正切值为 A.

70 10

B.

21 7

C.

3 2

D.

7 2

(12)已知点 M(-3,0),N(3,0),B(1,0),圆 C 与直线 MN 切于点 B,过 M、 N 与圆 C 相切的两直线相交于点 P,则 P 点的轨迹方程为 A. x ?
2

y2 ? 1( x ? ?1) 8

B. x ?
2

y2 ? 1( x ? 1) 8

y2 ? 1( x ? 1) C. x ? 8
2

y2 ? 1( x ? 1) D. x ? 10
2

理科数学

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平顶山市 2008 届高三调研考试 理科数学
第Ⅱ卷
注意事项: 1.答题前,考生先用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清 楚. 2.本卷共 10 小题,共 90 分. 三 17 18 19 20 21 22





总 分

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在 横线上. (13)已知 | AB |? 3 ,| AC |? 4 , AB 与 AC 的夹角为 60°,则 AB 与 AB ? AC 的夹角余弦为

??? ?

????

??? ?

????

??? ?

??? ???? ?



? y?x ? (14)设 z ? 2 y ? x ,式中变量 x , y 满足 ? x ? y ? 2 ,则 z 的最小值为_________. ? y ? 3x ? 6 ?
(15)设正四棱锥 V ? ABCD 的所有棱长都是 a ,并且 A、B、C、D、V 都在一个球面上, 则这个球面的面积为_______________. (16)设 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? ? f ( x ) ,当 x ? (0,1) 时, f ( x ) ? 2 ? 1,那么
x

f (log 2 10) ?



理科数学

第 3 页 (共 8 页)

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分 10 分) 已知 f ( x) ? 2 sin(x ?

?

) cos(x ? ) ? 2 3 cos2 ( x ? ) ? 3 . 2 2 2

?

?

(Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)设 0 ? ? ? ? ,且函数 f ( x) 为偶函数,求满足 f ( x) ? 1 , x ?[0, ? ] 的 x 的集合.

(18)(本小题满分 12 分) 有一种舞台灯,外形是正六棱柱,在其每一个侧面上安装 5 只颜色 各异的彩灯,假若每只灯正常发光的概率为 0.5 . 若一个面上至少 有 3 只灯发光,则不需要维修,否则需要更换这个面.假定更换一个 面需要 100 元,用ξ 表示维修一次的费用. (Ⅰ)求恰好有 2 个面需要维修的概率; (Ⅱ)写出ξ 的分布列,并求ξ 的数学期望.

理科数学

第 4 页 (共 8 页)

(19)(本大题满分 12 分) 如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=AA1,D 是 BC 上一点,且 AD⊥C1D. (Ⅰ)求证:A1B∥平面 AC1D; (Ⅱ)求二面角 C-AC1-D 的大小.

理科数学

第 5 页 (共 8 页)

(20)(本小题满分 12 分) 设椭圆 C1 的中心在原点,其右焦点与抛物线 C 2 : y ? 4 x 的焦点 F 重合,过点 F 与 x 轴垂
2

直的直线与 C1 交于 A、 两点, C 2 交于 C、 两点, B 与 D 已知

CD AB

?

4 . 3

(Ⅰ)求椭圆 C1 的方程; (Ⅱ)过点 F 的直线 l 与 C1 交于 M、N 两点,与 C 2 交于 P、Q 两点,若

PQ MN

?

5 ,求直线 l 的方程. 3

理科数学

第 6 页 (共 8 页)

(21)(本小题满分 12 分)
* 设数列 {a n } 的各项都是正数,且对任意 n ?N 都有 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? Sn 成立,其中
3 3 3 3 2

S n 是数列 {a n } 的前 n 项和.
(Ⅰ)求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? 3 ? (?1)
n n ?1

? ? ? 2an ( n ?N* ),试确定 ? 的值,使

得对任意 n ?N ,都有 bn ?1 ? bn 成立.
*

理科数学

第 7 页 (共 8 页)

(22)(本小题满分 12 分) 设 a ? 0 ,函数 f ( x) ? x ? (a ? 3) x ? 2a ? 3 e , g ( x) ? 2 ? a ? x ?
2 x

?

?

4 . x ?1

(I)当 a ? 1 时,求 f ( x) 的最小值; (II)假设存在 x1 , x2 ? (0, ??) ,使得| f ( x1 ) ? g ( x2 ) |<1 成立,求 a 的取值范围.

理科数学

第 8 页 (共 8 页)

平顶山市 2008 届高三调研考试 理科数学答案
一.选择题:BDAD CBAC DABB .

二.填空题:(13)

13 1 2 ,(14) ?2 ,(15) 2? a ,(16) ? . 13 4

三.解答题: (17)解:(Ⅰ) f ( x) ? sin(2 x ? ? ) ? 3[2cos 2 ( x ? ) ? 1]

?

2

? sin(2 x ? ? ) ? 3 cos(2 x ? ? ) = 2 cos(2 x ? ? ?


?
6

)
…………3 分 …………5 分 …………7 分

f ( x) ? 2sin(2 x ? ? ? ) , 3

?

所以, f ( x) 的最小正周期 ? ; (Ⅱ)当 ? ?

?
6

时,f(x)为偶函数 .

由 f ( x) ? 1 ,得 2cos 2 x ? 1 ,所以 cos 2 x ?
? x ?[0, ? ],? 2 x ?

1 , 2

…………8 分 …………9 分

?
3

或2x ?

5? , 3

所以,所求 x 的集合为 {x | x ?

?
6

或x ?

5? } . 6

……………10 分
3 5 C5 ? C54 ? C5 1 ? , 25 2

(18) (Ⅰ) 解: 因为一个面不需要维修的概率为 P (3) ? P (4) ? P (5) ? 5 5 5 所以一个面需要维修的概率为

1 . 2
2 C6 15 . ? 26 64

……3 分

因此,六个面中恰好有 2 个面需要维修的概率为 P (2) ? 6

……6 分

0 1 2 C6 1 C6 C6 15 1 3 (Ⅱ)因为 ? ~ B (6, ) ,又 P (0) ? 6 ? , P6 (1) ? 6 ? , P (2) ? 6 ? , 6 6 2 32 2 64 2 64 2 6 3 4 5 C6 1 C6 C6 15 C6 5 3 , P (5) ? 6 ? , P (6) ? 6 ? , ? , P6 (4) ? 6 ? 6 6 6 2 32 2 64 2 16 2 64

P6 (3) ?

所以维修一次的费用 ? 的分布为:

理科数学

第 9 页 (共 8 页)

?
P

0

100

200

300

400

500

600

1 64 1 2

3 32

15 64

5 16

15 64

3 32

1 64
……10 分

因为 ? ~ B (6, ) ,所以 E? ? 100 ? 6 ?

1 ? 300 元. 2

……12 分

(19)解:(Ⅰ)∵ABC-A1B1C1 是正三棱柱,∴ CC1⊥平面 ABC,∵ AD⊥C1D, ∴ AD⊥BC, ∴ D 是 BC 的中点. 连结 AC1 与 A1C 相交于 E 点,在△A1BC 中,∵D、E 是中点, ∴A1B∥DE,又 DE 在平面 AC1D 内,∴A1B∥平面 AC1D. (Ⅱ)作 CF⊥C1D 于 F,则 CF⊥平面 AC1D,连结 EF,∵CE⊥AC1 ∴ EF⊥AC1,∴ 则∠CEF 就是二面角 C-AC1-D 的平面角. ∵ CF ? ……8 分 ……6 分 ……3 分

2 5 , CE ? 2 , 5
CF 10 ? , CE 5

……10 分

∴ sin ?CEF ?

即,二面角 C-AC1-D 的 大小为 arcsin

10 . 5

……12 分

方法二:设 D1 是 B1C1 的中点,以 DC 为 x 轴, DA 为 y 轴,DD1 为 z 轴建立空间直角坐标系 (如图), ……7 分 并设 C (1, 0, 0),则 B(?1, 0, 0), A(0, 3, 0) ,

1 3 C1 (1, 0, 2) ,∵AC 的中点为 F ( , , 0) , 2 2
∴ BF ? ( ,

??? ?

3 3 , 0) , 2 2
?

……8 分

∴平面 AC1C 的法向量 n1 ? (3, 3, 0) .

……9 分

设平面 AC1D 的法向量为 n2 ? ( x, y, z ) ,∵ DA ? (0, 3, 0) , DC1 ? (1, 0, 2)

?

??? ?

???? ?

理科数学

第 10 页 (共 8 页)

∴?

? 3 y ? 0, ? ? ,∴ n2 ? (2,0, ?1) , ?x ? 2z ? 0 ?

……10 分

? ? n1 ? n2 15 ? ? ∴ cos n1 , n2 ? ? ? ? , n1 ? n2 5
因此,二面角 C-AC1-D 的大小为 arccos

……11 分

15 . 5

……12 分

(20)解:(Ⅰ)由抛物线方程,得焦点 F(1,0). 设椭圆 C1 的方程:

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) . a2 b2

…………1 分

? y 2 ? 4x 解方程组 ? 得 C(1,2),D(1,-2). ?x ? 1
由于 C1 ,C 2 都关于 x 轴对称, ∴

…………2 分

| FC | | CD | 4 3 3 3 ? ? , | FA |? ? 2 ? , ∴ A(1, ) . | FA | | AB | 3 4 2 2

…………3 分

1 9 ? 2 ? 1 又 a2 ? b2 ? c2 ? 1 , 2 a 4b 1 9 因此, 2 ? 2 ? 1 ,解得 b 2 ? 3 并推得 a 2 ? 4 . b ? 1 4b
∴ 故椭圆 C1 的方程为

…………5 分

x2 y2 ? ?1 . 4 3
? y 2 ? 4x ? x ? ty ? 1
2

…………6 分

(Ⅱ)设 l:x=ty+1,解方程组 ?
2



消元得: y ? 4ty ? 4 ? 0 , ? ? 16t ? 16 ? 0 , ∴ | PQ |? 1 ? t
2

16t 2 ? 16 ? 4(t 2 ? 1) .

…………8 分

?3 x 2 ? 4 y 2 ? 12 ? 0 再解方程组 ? , ? x ? ty ? 1
得: (3t ? 4) y ? 6ty ? 9 ? 0 , ? ? 36t ? 36 (3t ? 4) ? 0 ,
2 2

2

2

12 1 ? t 2 12(t 2 ? 1) ? ∴ | MN |? 1 ? t ? . 3t 2 ? 4 3t 2 ? 4
2

…………10 分

理科数学

第 11 页 (共 8 页)



4(t 2 ? 1) 5 | PQ | 5 ? ,即 ? 2 12 (t ? 1) 3 | MN | 3 3t 2 ? 4



∴t ? ?

3 3



…………11 分

故直线 l 的方程为: y ?
3 3

3 x ? 3 或 y ? ? 3x ? 3 .
3 3 2 3 3 3

…………12 分
3 2

(21)解:(Ⅰ)∵ a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? Sn ,∴ a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ?1 ? S n ?1 , ∴ an ? Sn ? Sn ?1 ? ( Sn ? Sn ?1 )( Sn ? Sn ?1 ) ? an (S n ? S n ? an ) ,
3 2 2


2

2 an ? 2Sn ? an . 2 2

…………3 分

∴ an ?1 ? 2Sn ?1 ? an ?1 , ∴ an ? an ?1 ? 2an ? an ? an ?1 ? an ? an ?1 , ∴ an ? an ?1 ? 1 , ∴ {a n } 是以 1 为首项,1 为公差的等差数列. ∴ an ? n . …………6 分

注:用数学归纳法给出 an ? n 应同步给分.
(Ⅱ)∵ bn ? 3 ? (?1)
n n ?1

? ? ? 2n ,

∴ bn ?1 ? bn ? [3 ∴ (?1)
n ?1

n ?1

? (?1)n ? ? ? 2n?1 ] ? [3n ? (?1) n?1 ? ? ? 2n ] ? 2 ? 3n ? (?1) n ? 3? ? 2n ? 0 ,

3 ? 3? ? 2n ? 2 ? 3n ,∴ (?1) n ?1 ? ? ? ( ) n ?1 对一切 n ? N * 成立.…………9 分 2
3 2

当 n 为奇数时, ? ? ( ) n ?1 ? ? ? 1 , 当 n 为偶数时, ?? ? ( )n ?1 ? ? ? ? ∴?

3 2

3 , 2
…………12 分

3 ? ? ? 1. 2
2 x x

(22)解:(Ⅰ)∵ f '( x) ? ? x ? ( a ? 1) x ? a ? e ? ( x ? a )( x ? 1)e , ? ? ∵ a ? 1 ,所以 f ( x) 的极值点为 x1 ? ? a , x2 ? 1 , 而 f (1) ? (1 ? a)e , f (?a) ?
x ??? x ???

……2 分

a?3 ? 0, ea

lim f ( x) ? 0 , lim f ( x) ? ?? , f ( x) 的略图如下图.

理科数学

第 12 页 (共 8 页)

所以, f ( x) 的最小值是 (1 ? a )e . (II)由(Ⅰ)知 f ( x) 在 (0, ??) 的值域是, 当 a ? 1 时,为 [(1 ? a)e, ??) ,当 0 ? a ? 1时,为 (0, ??) .

……6 分

……8 分 ……9 分

4 在 (0, ??) 的值域是为 (??, ?a ? 1) , x ?1 e 所以,当 a ? 1 时,令 (1 ? a)e ? (?a ? 1) ? 1 ,并解得 a ? , e ?1
而 g ( x) ? 2 ? a ? x ? 当 0 ? a ? 1时,令 0 ? (?a ? 1) ? 1,无解. 因此, a 的取值范围是 a ?

e . e ?1

……12 分

理科数学

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