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高考数学第一轮考点三角函数的图像与性质复习课件


1.能画出 y=sinx,y=cosx,y=tanx 的图象,了解 三角函数的周期性. 考 2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π)上的性 纲 质(如单调性、最大值和最小值以及与 x 轴的交点 要 求 等),理解正切函数在区间(-π,π)内的单调性. 2 2 1.三角函数的图象在每年的高考中都有考查, 应熟 热 练掌握各个三角函数的图象. 点 2.三角函数的周期性、最值、单调性是高考重点 提 考查的内容,应重点掌握. 示 3.多以选择题、填空题的形式考查,属容易题.

1.周期函数 (1)周期函数的定义 对于函数f(x),如果存在一个非零常数T, 使得当x取定义域内的每一个值时,都有 f(x+T)=f(x) ,那么函数f(x)就叫做周期 函数. 非零常数T 叫做这个函数的周期.

(2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一 个 最小的正数 ,那么这个 最小正数 就叫做f(x)的最小正周期.

如果函数y=f(x)的周期是T,那么函数y= f(ωx)(ω≠0)的周期是多少?
T T 提示:函数 y=f(ωx)的周期是 ,而不是 . |ω| ω

2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性 质 函 y=sinx y=cosx y=tanx 数 图 象 定 义 域

x∈R

x∈R

x∈R且x≠ +kπ,k∈Z

函 数
值 域 单 调 性

y=sinx
{y|-1≤y≤1}

y=cosx
{y|-1≤y≤1}

y=tanx
R

函 数

y=sinx

y=cosx

y=

tan x

最 值

无最 值

函数 奇偶性 对称中 对 心 称 性 对称轴

y=sinx


y=cosx


y=tanx



2π 2π π

周期

正弦函数和余弦函数的图象的对称轴及对 称中心与函数图象的关键点有什么关系? 提示:y=sinx与y=cosx的对称轴方程中 的x都是它们取得最大值或最小值时相应 的x,对称中心的横坐标都是它们的零点.

π 1.下列函数中,周期为2的是 ( x A.y=sin2 B.y=sin2x x C.y=cos D.y=cos4x 4

)

答案:D

2.函数y=|sinx|的一个单调增区间是 ( )
解析:由 y=|sinx|图象易得函数单调递增区间[kπ, π 3 kπ+ ],k∈Z,当 k=1 时,得[π, π]为 y=|sinx|的单 2 2 调递增区间.

答案:C

3.函数y=3-2cos(x- )的最大值为 ________,此时x=________.
π 解析:y=3-2cos(x-4)的最大值为 5, π π 此时 cos(x-4)=-1,即 x-4=π+2kπ(k∈Z), 5 ∴x=4π+2kπ(k∈Z).

5 答案:5 4π+2kπ(k∈Z)

π π 4.函数 y=cos(x+3),x∈(0,3]的值域是________. π π π 2 解析:∵0<x≤3,∴3<x+3≤3π, 又 y=cosx 在[0,π]上是减函数, 2 π π ∴cos π≤cos(x+ )<cos , 3 3 3 1 1 即-2≤y<2.

3 5.已知 y=a-bcos3x(b>0)的最大值为2,最小值为- 1 求函数 y=-4asin(3bx)的周期、 最值及取得最值时的 x, 2, 并判断其奇偶性.

3 ? ?a+b=2 解:依题意得? ?a-b=1 2 ?

? 1 ?a= ,∴? 2 , ?b=1 ?

2π ∴y=-4asin(3bx)=-2sin3x,则周期 T= 3 , π 当 3x=2kπ+2, 2kπ π 即 x= 3 +6(k∈Z)时,ymin=-2,

π 当 3x=2kπ-2, 2kπ π 即 x= 3 -6(k∈Z)时,ymax=2, 设 f(x)=-2sin3x, ∵f(-x)=-2sin3(-x)=-2sin(-3x)=2sin3x=-f(x), ∴f(x)为奇函数.

【例1】 已知函数f(x)=cos2x-2sinxcosx- sin2x. (1)在给定的坐标系中,作出函数f(x)在区间[0, π]上的图象. (2)求函数f(x)在区间[- ,0]上的最大值和 最小值.

思路分析:(1)把 f(x)化简为 f(x)=Acos(ωx+φ)的形式,然 后列表,画图象. π (2)先求出 ωx+φ 在[-2,0]上的范围,然后根据单调性 求解.

解:(1)f(x)=cos2x-2sinxcosx-sin2x=cos2x-sin2x= 2 π cos(2x+4). 列表: π π π 3 9 π 2π 2x+4 4 2 2π 4π π 3 5 7 x 0 π π π π 8 8 8 8 f(x) 1 0 - 2 0 2 1

图象如下图:

π 3 π π (2)∵-2≤x≤0,∴-4π≤2x+4≤4, π 3 ∴当 2x+4=-4π, π 即 x=-2时,f(x)有最小值,f(x)min=-1, π 当 2x+4=0, π 即 x=- 时,f(x)有最大值,f(x)max= 2, 8 π 即 f(x)在[- ,0]上的最小值为-1,最大值为 2. 2

x 变式迁移 1 用五点作图法画出函数 y= 3sin + 2 x cos 的图象. 2

x π 解:(1)列表:将函数解析式化简为 y=2sin( + ),列表 2 6 如下:

π 2π 5π 8π (2)描点:描出点(- ,0),( ,2),( ,0),( ,-2), 3 3 3 3 11π ( ,0). 3 (3)连线:用平滑的曲线将这五个点连接起来,最后将其 向两端伸展,得到图象如下图.

5 【例 2】 (1)已知函数 y=-sin x+ 3sinx+ ,求其取得 4 最大值和最小值时的 x,并说出最大值和最小值是什么; π π 1 (2)若 x∈[-3,4],求函数 f(x)=cos2x+2tanx+1 的最值 及相应的 x 值.
2

思路分析:(1)式可以看做关于sinx的二次函数, 故可以用配方法解决,需要注意sinx的有界性; (2)式切化弦后不好处理,结合式子特点,可把 1换成sin2x+cos2x,统一为关于tanx的二次函 数求最值,这里要注意x有范围限制,可由其确 定tanx的取值范围.

5 32 解:(1)y=-sin x+ 3sinx+ =-(sinx- ) +2,因为 4 2 3 π 2π -1≤sinx≤1, 所以当 sinx= 2 , x=2kπ+3或 2kπ+ 3 , 即 k∈Z 时,ymax=2; π 1 当 sinx=-1,即 x=2kπ-2,k∈Z 时,ymin=4- 3.
2

sin2x+cos2x 1 (2)化简可得 f(x)= 2 +2tanx+1= +2tanx cos x cos2x +1=tan2x+1+2tanx+1=tan2x+2tanx+2=(tanx+1)2+1, π π 因为 x∈[- , ],tanx∈[- 3,1].显然,当 tanx= 3 4 π -1,即 x=- 时,函数有最小值 1;当 tanx=1,即 x= 4 π 时,函数有最大值 5. 4

(1)求二次函数在给定闭区间上的最值时,要 注意对称轴与给定区间的关系,当对称轴在给 定的区间内时,在对称轴处取一最值,在离对 称轴较远的端点处取另一最值;当对称轴不在 给定的闭区间内时,在区间的两个端点处取得 最值.(2)解决本题的关键是根据函数式的特点, 灵活运用“1”的代换,把函数式转化为只与正 切函数有关的式子.

变 式 迁 移 2 (2009· 京 卷 ) 已 知 函 数 f(x) = 2sin(π - 北 x)cosx. (1)求 f(x)的最小正周期; π π (2)求 f(x)在区间[-6,2]上的最大值和最小值.

解:(1)因为 f(x)=2sin(π-x)cosx=2sinxcosx=sin2x,所以 函数 f(x)的最小正周期为 π. π π π (2)由-6≤x≤2得-3≤2x≤π, 3 所以- 2 ≤sin2x≤1. 3 即 f(x)的最大值为 1,最小值为- 2 .

【例 3】 (2009· 福建卷)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ).其中 π ω>0,|φ|<2. π 3π (1)若 cos4cosφ-sin 4 sinφ=0,求 φ 的值; (2)在(1)的条件下, 若函数 f(x)的图象的相邻两条对称轴之 π 间的距离等于3,求函数 f(x)的解析式;并求最小正实数 m, 使得函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位后所对应的函数是偶函 数.

3π π 思路分析:(1)把 sin 变换成 sin ,然后利用两角和的余 4 4 弦公式解决;(2)正弦函数图象两相邻对称轴之间的距离是半 个周期,根据这点求出 ω,也就确定了函数 f(x)的解析式,若 要平移函数图象使其为偶函数, 则只保证 y 轴为这个函数图象 的一条对称轴即可.

π 3π 解:(1)由 cos cosφ-sin sinφ=0 得 4 4 π π cos4cosφ-sin4sinφ=0, π 即 cos( +φ)=0. 4 π π 又|φ|<2,∴φ=4.

π T π (2)由(1)得,f(x)=sin(ωx+4).依题意, 2=3. 2π π 又 T= ,故 ω=3,∴f(x)=sin(3x+ ). ω 4 函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位后所对应的函数为 π g(x)=sin[3(x+m)+4] π π g(x)是偶函数当且仅当 3m+4=kπ+2(k∈Z). kπ π π 即 m= 3 +12(k∈Z),从而,最小正实数 m=12.

本题第(1)问的目的在于考查基本的三角恒等变 换和根据三角函数值求一个有限制条件的角, 也是试题的入口,难度不大;第(2)问仍然设计 了一个入口,就是函数图象相邻两条对称轴之 间的距离,这是教科书上没有讲解的知识点, 需要考生借助于三角函数的图象,作出这两条 对称轴之间的距离是半个周期的判断,

第(2)问中平移图象使这个函数为偶函数 是本题考查的重心,试题设计的使解题方 向有选择的余地,一是借助于直观的函数 图象,根据偶函数图象关于y轴对称解决, 二是根据偶函数的定义通过g(x)=g(-x) 对任意x恒成立,在得到的恒等式中不含x 的部分必须为0,求出m的值.试题设计 步步深入,是一道考查三角函数图象与性 质的优秀试题.

变式迁移 3

π (2009· 广东卷)函数 y=2cos (x- )-1 是 4
2

( A.最小正周期为 π 的奇函数 B.最小正周期为 π 的偶函数 π C.最小正周期为 的奇函数 2 π D.最小正周期为2的偶函数

)

π π π 解析:y=cos[2(x- )]=cos(2x- )=cos( -2x)=sin2x, 4 2 2 2π 故函数是奇函数且最小正周期是 2 =π,故选 A.

答案:A

π 【例 4】 (1)求函数 y=sin( -2x),x∈[-π,π]的单调递 3 减区间; π x (2)求 y=3tan( - )的周期及单调区间. 6 4

思路分析:题目所给解析式中x的系数都为负, 把x的系数变为正数,解相应不等式求单调区 间.
π 解:(1)由 y=sin( -2x)得 3 π y=-sin(2x-3), π π π 由- +2kπ≤2x- ≤ +2kπ 得 2 3 2 π 5 -12+kπ≤x≤12π+kπ,k∈Z, 又 x∈[-π,π],

7 π 5 11 ∴-π≤x≤- π,- ≤x≤ π, π≤x≤π. 12 12 12 12 π ∴函数 y=sin(3-2x), x∈[-π, π]的单调递减区间为[-π, 7 π 5 11 - π],[- , π],[ π,π]. 12 12 12 12

π x π (2)函数 y=3tan( - )的周期 T= =4π. 6 4 1 |- | 4 π x x π 由 y=3tan( - )得 y=-3tan( - ), 6 4 4 6 π x π π 由- +kπ< - < +kπ 得 2 4 6 2 4 8 - π+4kπ<x< π+4kπ,k∈Z, 3 3

π x ∴函数 y=3tan( - )的单调递减区间为 6 4
? 4 ? 8 ?- π+4kπ, π+4kπ?(k∈Z). 3 ? 3 ?

变式迁移 4 设函数 f(x)=a· b,其中向量 a=(2cosx,1),b =(cosx, 3sin2x+m) (1)求函数 f(x)的最小正周期和在[0, π]上的单调递增区间; π (2)当 x∈[0,6]时,-4<f(x)<4 恒成立,求实数 m 的取值 范围.

解:(1)f(x)=2cos2x+ 3sin2x+m π =2sin(2x+6)+m+1, 2π ∴函数 f(x)的最小正周期 T= =π,在[0,π]上的单调递 2 π 2π 增区间为[0,6]、[ 3 ,π].

π (2)当 x∈[0,6]时,∵f(x)递增, π ∴当 x=6时,f(x)取得最大值为 m+3, 当 x=0 时,f(x)取得最小值为 m+2.
?m+3<4 ? 由题设知? ?m+2>-4 ?

解之,得-6<m<1.

1.用“五点法”作 y=Asin(ωx+φ)的图象关键是五个点 π 3π 的选取,一般令 ωx+φ=0,2,π, 2 ,2π,即可得到绘图所 T 需的五个点的坐标,其中 x 的取值依次成等差数列,公差为 . 4 同时,若要求画出给定区间上的函数图象时,应适当调整 ωx +φ 的取值,以便列表时能使 x 在给定的区间内取值.

2.在求定义域时,既要注意一般函数求定义域的规律, 又要注意三角函数本身的定义域,如题中出现 tanx 时,一定 π 有 x≠ +kπ(k∈Z),不能遗忘.解题时,一般要依据原函数解 2 析式求定义域,若需要先把解析式化简,一定要注意变形时 x 的取值范围不能发生变化.

3.三角函数的奇偶性的判断主要依据定 义,即看f(-x)与f(x)的关系,但要先求三 角函数的定义域,看定义域在数轴上是否 关于原点对称,当定义域关于原点对称时, 再用奇偶性的定义判断即可.

4.求函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间时,基 π π 本思路是把 ωx+φ 看成一个整体,由-2+2kπ≤ωx+φ≤2+ π 3π 2kπ(k∈Z)解出 x 的范围是增区间,由 +2kπ≤ωx+φ≤ + 2 2 2kπ(k∈Z)解出 x 的范围为减区间.

求y=-Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调 区间,只需求y=Asin(ωx+φ)的相反区间 即可,一般常用复合函数的单调性法则或 数形结合求解. 对于y=Acos(ωx+φ),y=Atan(ωx+ φ)的单调性的讨论同上.

5.利用三角函数的单调性比较大小时,往往是 利用奇偶性、周期性或诱导公式转化为同一单 调区间上的两个同名函数值,再用单调性比 较. 6.求三角函数的值域或最值时,通常是把函数 式恒等变形为一个角的一种三角函数的形式, 如y=Asin(ωx+φ),或者利用换元法转化为二 次函数的最值问题,但都应特别注意x的取值范 围对三角函数值的限制,不能机械地套用三角 函数的有界性.


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