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含参数的一元二次不等式的解法


一轮总复习.文科数学
第二章 不等式

【考点分析】 不等式是研究数学问题的重要工具,而含有参 数的一元二次不等式的解法常与函数、导数结合,是求函数单调区 间的基础。 【重要思想】分类讨论

第二节

含参数的一元二次不等式的解法

知识回顾

典例剖析

r />巩固提升

作业

一、知识回顾
1.“三个二次”的关系 判别式 Δ=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx +c(a>0)的图象 一元二次方程 ax2+bx 有两相异实根 +c=0(a>0)的根 x1,x2(x1<x2) 有两相等实根 b x1=x2=- 2a 没有实数 根

Δ>0

Δ=0

Δ<0

ax2+bx+c>0 (a>0)的 ?x / x ? x1 或x ? x2 }{ x / x ? ? 2a } {x|x∈R} 解集 ___ ax2+bx+c<0(a>0)的 解集

b

?x / x1 ? x ? x2 }

?

?

2、解一元二次不等式的方法:数形结合
开口 充分利用其对应二次函数的图象,先看_____, 判别式 再看____________, 根的大小 最后看__________. 【二次项系数】

?

【图象与x轴交点个数】 【十字相乘法因式分解或求根公式】

补充:如果能因式分解,说明对应方程一定有根。

二、典例剖析
例1 解关于x的不等式
解:方程

( x ? 1)( x ? a) ? 0(a ? R)

当 当

( x ? 1)( x ? a) ? 0 的两根 x1 ? 1, x2 ? a a ? 1时,不等式的解集为 ?x / 1 ? x ? a?;

a ? 1时,不等式的解集为 ? ; 当 a ? 1 时,不等式的解集为 ? x / a ? x ? 1?
变式1 解关于x的不等式

x ? (1 ? a) x ? a ? 0
2

ax ? (1 ? a) x ? 1 ? 0 解:原不等式可化为 (ax ? 1)( x ? 1) ? 0 (a ? R)
变式2 解关于x的不等式
2
① 当a ②当 a

1 1 ? ? 0 时, ? 1 不等式 的解集为 ? ? x / x ? 或x ? 1? a ? ? a 1 当 a ? 0 时, 还需比较 与1 的大小。 a 1? 1 ? ③当 0 ? a ? 1 即 ? 1时,不等式的解集为 ?x /1 ? x ? ?

? 0 时,x ? 1 ? 0 ,不等式的解集为 ?x / x ? 1?

a? ? a 1 ④ 当 a ? 1 即 ? 1 时 ,不等式的解集为 ? a 1 ? 1 ? ? 1 时,不等式的解集为 ? x / ? x ? 1? ⑤当 a ? 1 即 a ? a ?

●三个防范 (1)二次项系数中含有参数时, 参数的符号影响不等式的解集; 不要忘了二次项系数是否为零的情况. (2)解含参数的一元二次不等式,可先考虑因式分解,再对根 的大小进行分类讨论;若不能因式分解,则可对判别式进行分类 讨论,分类要不重不漏. (3)不同参数范围的解集切莫取并集,应分类表述.

例2 解关于x的不等式 解:? ? (1)当 ?

x ? ax ? 1 ? 0(a ? R)
2

?a ?4
2

? 0 即 ? 2 ? a ? 2 时,不等式的解集为R a ? ? a ? ? 2 (2)当 ? ? 0 即 时不等式的解集为? x / x ? ? 2? ? (3)当 ? ? 0 即 a ? ?2或a ? 2 时,
x ? ax ? 1 ? 0
2

方程

a ? a2 ? 4 a ? a2 ? 4 , x2 ? 的两根 x1 ? 2 2

? a ? a2 ? 4 a ? a2 ? 4 ? ? ? 或x ? 不等式的解集为 ? x / x ? ? 2 2 ? ? ? ?

解题心得

你能说说解含参数的一元二次不等式按怎样的层次 进行分类讨论?

点评: 解含参数的一元二次不等式,要把握好分类讨论的层 次,一般按下面次序进行讨论:首先根据二次项系数的符号进行 分类,其次根据根是否存在,即 Δ 的符号进行分类,最后在根存 在时,根据根的大小进行分类.

先开口 再判别式 两根大小

能因式分解

三、巩固提升
考点一 含参数的一元二次不等式的解法

(1)x

2

? 2ax ? 3a ? 0(a ? R)
2

( 2)

ax ? (2a ? 2) x ? 4 ? 0(a ? R)
2

误区警示:对于含有参数的不等式,在求解过程中,注意不 要忽视对其中的参数恰当的分类讨论,尤其是涉及形式上看似一 元二次不等式,而其中的二次项系数中又含有参数变量时,往往 需要针对这个系数是否为 0 进行分类讨论,并且如果对应的一元 二次方程有两个不等的实根且根的表达式中又含有参数时,还要 再次针对这两根的大小进行分类讨论.

伪二次,别遗漏!

【例2】已知函数f(x)= 1 ax2-(2a+1)x+2ln x(a∈R). 2 求f(x)的单调区间;

考点二

求函数的单调区间

ax 2 ? (2a ? 1) x ? 2 (ax-1)(x-2) 解:f′(x)= (x>0). x x
2? x ① 当 a=0 时, f '( x ) ? x ,令 f′(x)>0 得 0<x<2; 令
f′(x)<0 得 x>2.故 f(x)的单调递增区间是(0,2),单调递减 区间是(2,+∞). ② 当 a ? 0 时, ,令 f′(x)>0 得 0<x<2; 令 f′(x)<0 得 x>2. 故 f(x)的增区间是(0,2),减区间是(2,+∞).

?1 ? 1 1 ? ③当 0<a< 时, >2,在区间(0,2)和 a,+∞?上,f′(x)>0; a 2 ? ? ? 1? ? 在区间 2,a? 上, f′ (x)< 0,故 ? ?

f(x)的单调递增区间是 (0, 2),

?1 ? ? 1? ? ,+∞?,单调递减区间是?2, ?. a? ?a ? ?

(x-2)2 1 ④当 a= 时, f′(x)= ≥0, 故 f(x)的单调递增区间是(0, 2 2x +∞).
? 1? 1 1 ⑤当 a> 时,0< <2,在区间?0,a?和(2,+∞)上,f′(x)>0; a 2 ? ? ?1 ? 在区间?a,2?上,f′(x)<0,故 ? ? ?1 ? +∞),单调递减区间是?a,2?. ? ? ? 1? f(x)的单调递增区间是?0,a?,(2, ? ?

综上,当 a ? 0时,f ( x ) 的增区间是(0,2),减区间 ?? 是(2, );

1 1 当 0 ? a ? 时, f ( x ) 的增区间是 (0,2), ( ,?? ) 2 a 减区间是 ( 2, 1 ) a
1 f ( x ) 的增区间是 (0,??) 当 a ? 时, 2 1 1 当 a ? 时,f ( x ) 的增区间是(0, ), (2, ?? )

1 减区间是 ( , 2) a

2

a

结合定义域!

作业

1.解关于 x 的不等式.

(1)12x2-ax>a2(a∈R); a?x-1? (2) >1(a>0). x- 2

x?a ? 0( a ? R ) (3) 2 x?a

解析:(1)由12x -ax-a >0?(4x+a)(3x-a)>0?
? a? ?x- ?>0, 3? ?

2

2

? a? ?x+ ? 4? ?

a a a a ①a>0时,-4<3,解集为{x|x<-4或x>3}; ②a=0时,x2>0,解集为{x∈R且x≠0}; a a a a ③a<0时,-4>3,解集为{x|x<3或x>-4}. a?x-1? ?a-1?x+2-a (2) -1>0? >0?[(a-1)x+2-a](x-2) x-2 x-2 >0.

①当a=1时,不等式的解为x>2. a-2 ②当a≠1时,关键是比较 与2的大小. a-1 a-2 -a a-2 ∵ -2= ,又a>0,∴当a<1时, >2, a-1 a-1 a-1 a-2 不等式的解为2<x< ; a-1 a-2 当a>1时, <2, a-1

a-2 不等式的解为x< 或x>2. a-1 综上所述,当0<a<1时,原不等式的解集为{x|2<x< a-2 };当a=1时,原不等式的解集为{x|x>2}; a-1 a-2 当a>1时,原不等式的解集为{x|x< 或x>2}. a-1

a a 答案:(1)①a>0时,解集为{x|x<- 或x> }; 4 3 ②a=0时,解集为{x∈R且x≠0}; a a ③a<0时,解集为{x|x<3或x>-4}. a-2 (2)当0<a<1时,解集为{x|2<x< }; a-1 当a=1时,解集为{x|x>2}; a-2 当a>1时,解集为{x|x< 或x>2}. a-1

(3)解答:原不等式即为(x-a)(x-a2)<0. 因为 a-a2=a(1-a),所以 (1)当 a<0 或 a>1 时,a<a2, 此时不等式的解为 a<x<a2; (2)当 0<a<1 时,a>a2,此时不等式的解为 a2<x<a;

(3)当a=0或a=1时,a=a2, 原不等式变形为(x-a)2<0,不成立. 综上,当a<0或a>1时,原不等式的解集为{x|a<x<a2}; 当0<a<1时,原不等式的解集为{x|a2<x<a}; 当a=0或a=1时,原不等式的解集为?.

2. 已知不等式 ax2-3x+6>4 的解集为{x|x<1 或 x>b}. (1)求 a,b 的值; (2)解关于 x 的不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0. 思维启迪:(1)先化简不等式为标准形式,再依据解集确定 a 的 符号, 然后利用根与系数的关系列出 a, b 的方程组, 求 a, b 的值. (2) 所给不等式含有参数 c,因此需对 c 讨论写出解集.

解析:(1)因为不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x> b},所以x1=1与x2=b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根,b>1 且a>0. 3 ? ?1+b=a, 由根与系数的关系,得? ?1×b=2. a ?
? ?a=1, 解得? ? ?b=2.

(2)不等式ax2-(ac+b)x+bc<0, 即x2-(2+c)x+2c<0,即(x-2)(x-c)<0. 当c>2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为{x|2<x<c}; 当c<2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为{x|c<x<2}; 当c=2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为?. 所以,当c>2时,不等式ax2-(ac+b)x+bc<0的解集为{x|2 <x<c}; 当c<2时,不等式ax2-(ac+b)x+bc<0的解集为{x|c<x< 2};

当c=2时,不等式ax2-(ac+b)x+bc<0的解集为?.
答案:(1)a=1,b=2 (2)当c>2时,解集为{x|2<x<c};当c<2时,解集为{x|c< x<2};当c=2时,解集为?.

1 3 2 【典例 2】 (2014· 广东高考节选)已知函数 f(x)= x +x + 3 ax+1(a∈R).求函数 f(x)的单调区间.

[解]

f′(x)=x2+2x+a开口向上,Δ=4-4a=4(1-a).

①当1-a≤0,即a≥1时,f′(x)≥0恒成立,f(x)在R上单调 递增. ②当1-a>0时,即a<1时,令f′(x)=0,解得x1=
-2- 4?1-a? =-1- 1-a,x2=-1+ 1-a. 2 令f′(x)>0,解得x<-1- 1-a或x>-1+ 1-a; 令f′(x)<0,解得-1- 1-a<x<-1+ 1-a; 所以f(x)的单调递增区间为(-∞,-1- 1-a,+∞); 1-a )和(-1+

f(x)的单调递减区间为(-1- 1-a,-1+ 1-a). 综上所述:当a≥1时,f(x)在R上单调递增;当a<1时,f(x) 的单调递增区间为(-∞,-1- 1-a )和(-1+ 1-a ,+

∞),f(x)的单调递减区间为(-1- 1-a,-1+ 1-a).

【例 3】 已知 f(x)=ax (a∈R), g(x) =2ln x. (1)讨论函数 F(x)=f(x)- g(x)的单 调性; (2)若方程 f(x)=g(x)在区间[ 2,e] 上有两个不等解, 求 a 的取值范围.

2

(1)F(x)=ax2-2ln x,其定义域为(0,+∞),
2 2 ? ax -1? 2 ∴F′(x)=2ax- = (x>0). x x 1 2 ①当 a>0 时,由 ax -1>0,得 x> . a

1 由 ax -1<0,得 0<x< . a
2

? 1 ? ? 故当 a>0 时,F(x)在区间? ,+∞? ?上单调递增, a ? ? ? ? 1 ? 在区间? ?0, ?上单调递减. a ? ?

②当 a≤0 时,F′(x)<0 (x>0)恒成立.
故当 a≤0 时,F(x)在(0,+∞)上单调递减.

2ln x (2)原式等价于方程 a= 2 =φ(x)在区间[ 2,e]上有两个不 x 等解.

2x?1-2ln x? ∵φ′(x)= 在( 2, e)上为增函数, x4
1 在( e,e)上为减函数,则 φ(x)max=φ( e)= , e
2 而 φ(e)= 2<φ(2) e 2ln 2 ln 2 = = =φ( 2). 4 2
∴φ(x)min=φ(e),如图当 f(x)=g(x)在[ 2,e]上有两个不等解时有 ln 2 φ(x)min= , 2 ln 2 1 故 a 的取值范围为 2 ≤a<e .


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