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均值不等式与柯西不等式专项训练


1

均值不等式应用
一.均值不等式常用类型 1. (1) 若 a, b ? R , 则 a ? b ? 2ab
2 2

(2)若 a, b ? R , 则 ab ?

2. (1)若 a, b ? R , 则
*

a?b ? ab 2 2 a ?b? * (3)若 a, b ? R ,则 ab ? ? ? ? ? 2 ?

a2 ? b2 (当且仅当 a ? b 时取 “=” ) 2

* (2)若 a, b ? R , 则 a ? b ? 2 ab (当且仅当 a ? b 时取 “ =” )

(当且仅当 a ? b 时取“=” )

3.若 x ? 0 ,则 x ?

1 ); ? 2 (当且仅当 x ? 1 时取“=” x 1 若 x ? 0 ,则 x ? ? ?2 (当且仅当 x ? ?1 时取“=” ) x

若 x ? 0 ,则 x ? 1 ? 2即x ? 1 ? 2或x ? 1 ? -2 (当且仅当 a ? b 时取“=” ) x x x 3.若 ab ? 0 ,则 a ? b ? 2 (当且仅当 a ? b 时取“=” ) b a 若 ab ? 0 ,则

a b a b a b ? ? 2即 ? ? 2或 ? ? -2 b a b a b a

(当且仅当 a ? b 时取“=” )

a ? b 2 a2 ? b2 (当且仅当 a ? b 时取“=” ) ) ? 2 2 注: (1)当两个正数的积为定值时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定值时,可以求 它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大” . (2)求最值的条件“一正,二定,三相等” (3)均值定理可以用来求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题。 二.应用 (一)求最值 1.直接应用 1 2 例.求函数 y=3x + 2 的值域。 2x
4.若 a, b ? R ,则 (

2.应用技巧一:凑项 例.已知 x ?

5 ,求函数 y ? 4 x ? 2 ? 1 的最大值。 4 4x ? 5

3.应用技巧二:凑系数 例. 当 时,求 y ? x(8 ? 2x) 的最大值。

4.技巧三: 分离 5.技巧四:亦可使用换元

例. 求 y ?

x 2 ? 7 x ? 10 ( x ? ?1) 的值域。 x ?1

6.技巧五:注意:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,应结合函数 f ( x) ? x ? 单调性。例:求函数 y ?

a 的 x

x2 ? 5 x2 ? 4

的值域。

哲学家也要学数学, 因为他必须跳出浩如烟海的万变现象而抓住真正的实质。 ??又因为这是使灵魂过渡到真理和永存的捷径。 ---柏拉图

2

7.条件求最值 (1).若实数满足 a ? b ? 2 ,则 3a ? 3b 的最小值是 (2).若 log 4 x ? log 4 y ? 2 ,求 .

1 1 ? 的最小值.并求 x,y 的值 x y

(3).已知 a>0,b>0,ab-(a+b)=1,求 a+b 的最小值。 (4).已知 x,y 为正实数,3x+2y=10,求函数 W= 3x + 2y 的最值. (二)利用均值不等式证明不等式 1.已知 a, b, c 为两两不相等的实数,求证: a
2

? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca

2.正数 a,b,c 满足 a+b+c=1,求证:(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc

(三)均值不等式与恒成立问题 例:已知 x ? 0, y ? 0 且

1 9 ? ? 1 ,求使不等式 x ? y ? m 恒成立的实数 m 的取值范围。 x y

(四)均值定理在比较大小中的应用: 例 : 若 a ? b ? 1, P ? 是 .

lg a ? lg b , Q ?

1 a?b (lg a ? lg b), R ? l g ( ) , 则 P, Q, R 的 大 小 关 系 2 2

三.课后检测 1 1.求函数 y=x+ 的值域。

x

2.设 0 ? x ? 3 ,求函数 y ? 4 x(3 ? 2 x) 的最大值。 2 3.已知 0 ? x ? 1 ,求函数 y ? 4.已知 x ? 0, y ? 0 ,且
?

x(1 ? x) 的最大值.

1 9 ? ? 1 ,求 x ? y 的最小值。 x y

5. 若 x, y ? R 且 2 x ?

y ? 1 , 1 ? 1 的最小值
x y

? 6. 已知 a, b, x, y ? R 且 a ? b ? 1 , x ? x y

y 的最小值
2

7.已知 x,y 为正实数,且 x +

2

y2
2

=1,求 x 1+y

的最大值. 的最小值.

8.已知 a,b 为正实数,2b+ab+a=30,求函数 y= 9.已知 a、b、c ? R ,且 a ? b ? c ? 1。求证: ?
2 2
?

1

ab

? 1 ?? 1 ?? 1 ? ? 1?? ? 1?? ? 1? ? 8 ? a ?? b ?? c ?

10.求函数 y ? 2 x ? 1 ? 5 ? 2 x ( 1 ? x ? 5 ) 的最大值。

哲学家也要学数学, 因为他必须跳出浩如烟海的万变现象而抓住真正的实质。 ??又因为这是使灵魂过渡到真理和永存的捷径。 ---柏拉图

3

柯西不等式
一、二维形式的柯西不等式

(a 2 ? b 2 )(c 2 ? d 2 ) ? (ac ? bd ) 2 (a , b , c , d ? R , 当且仅当ad ? bc时, 等号成立.)
二、二维形式的柯西不等式的变式

(1) a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ? ac ? bd (a , b , c , d ? R , 当且仅当ad ? bc时, 等号成立.) (2) a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ? ac ? bd (a , b , c , d ? R , 当且仅当ad ? bc时, 等号成立.)
(3)( a ? b)(c ? d ) ? ( ac ? bd ) 2 (a , b , c , d ? 0 , 当且仅当ad ? bc时, 等号成立.)
三、二维形式的柯西不等式的向量形式

? ? ? ? ? ? . (当且仅当? 是零向量, 或存在实数k , 使? ? k ? 时, 等号成立.)
借用一句革命口号说:有条件要用;没有条件,创造条件也要用。比如说吧,对 a^2 + b^2 + c^2,并 不是不等式的形状,但变成(1/3) * (1^2 + 1^2 + 1^2) * (a^2 + b^2 + c^2)就可以用柯西不等式了。 基本方法 (1)巧拆常数: 例 1:设 a 、 b 、 c 为正数且各不相等。求证: (2)重新安排某些项的次序: 例 2: a 、 b 为非负数, a + b =1, x1 , x 2 ? R 求证: (ax1 ? bx 2 )(bx1 ? ax2 ) ? x1 x2 (3)改变结构: 例 3、若 a > b > c (4)添项: 例 4: a, b, c ? R 求证:
? ?

2 2 2 9 ? ? ? a?b b?c c?a a?b?c

求证:

1 1 4 ? ? a ?b b?c a ?c
a b c 3 ? ? ? b?c c?a a?b 2

检测题

? ? ? ? ? 【1】 、设 a ? (?2,1,2), b ? 6 ,则 a ? b 之最小值为________;此时 b ? ________。
【2】 设 a ? (1,0,? 2), b ? (x,y,z),若 x2 ? y2 ? z2 ? 16,则 a b 的最大值为 【3】设 a、b、c 为正数,求 (a ? b ? c)( ?

?

?

? ?



4 a

9 36 ? ) 的最小值 b c

.

【4】. 设 x,y,z ? R,且满足 x2 ? y2 ? z2 ? 5,则 x ? 2y ? 3z 之最大值为

【5】 、设 x, y, z ?R, x 2 ? y 2 ? z 2 ? 25 ,试求 x ? 2 y ? 2 z 的最大值与最小值。 【6】 、设 x, y, z ?R, 2 x ? y ? 2 z ? 6 ,试求 x 2 ? y 2 ? z 2 之最小值。 4 9 16 【7】 设 a,b,c 均为正数且 a ? b ? c ? 9,则 ? ? 之最小值为 a b c 1 2 3 【8】 、 设 a, b, c 均为正数, 且 a ? 2b ? 3c ? 2 , 则 ? ? 之最小值为________, 此时 a ? ________。 a b c
哲学家也要学数学, 因为他必须跳出浩如烟海的万变现象而抓住真正的实质。 ??又因为这是使灵魂过渡到真理和永存的捷径。 ---柏拉图

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2 2 2 【9】 、 设 x, y, z ? R, 若 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? z ? 4 , 则 3 x ? y ? 2 z 之范围为何?又 3 x ? y ? 2 z 发 生最小值时, x ? ?

【10】 设?ABC 之三边长 x,y,z 满足 x ? 2y + z = 0 及 3x + y ? 2z = 0,则?ABC 之最大角是多少 度? 【解】 ?

?2 1 1 1 1 ?2 ? x ? 2y ? z ? 0 ? x:y:z = : : = 3:5:7 1 ?2 ?2 3 3 1 ?3x ? y ? 2 z ? 0

设三边长为 x = 3k,y = 5k,z = 7k 则最大角度之 cos? =

(3k ) 2 ? (5k ) 2 ? (7k ) 2 1 = ? ,∴? = 120? 2(3k )(5k ) 2

( x ? 1) 2 ( y ? 2) 2 ( z ? 3) 2 【11】. 设 x,y,z ? R 且 ? ? ? 1,求 x ? y ? z 之最大值,最小值。 16 5 4
【解】 ∵

( x ? 1) 2 ( y ? 2) 2 ( z ? 3) 2 ? ? ?1 16 5 4
? x ?1 2 y?2 2 z ?3 2 ) ?( ) ?( ) 2 5 ? 4 ? x ?1 y?2 ? ? ? ? ?4.( ) ? 5.( ) ? 2. 4 5 ? ?

由柯西不等式知 [42 ? ( 5 )2 ? 22] ?(

z ?3 ? ( ) 2 ? ?

2

? 25 ? 1 ? (x ? y ? z ? 2)2

? 5 ? |x ? y ? z ? 2|

? ?5?x?y?z?2?5 ∴ ?3?x?y?z?7 故 x ? y ? z 之最大值为 7,最小值为 ? 3

【12】. 求 2sin? ? 3 cos? sin? ? cos? cos? 的最大值与最小值。 答. 最大值为 2 2 ,最小值为 ? 2 2 【详解】 令向量 a ? (2sin?, 3 cos?,? cos?), b ? (1,sin?,cos?) 由柯西不等式 | a . b | ? | a || b |得 | 2sin? ? 3 cos? sin? ? cos? cos? | ? 4 sin ? ? 3 cos ? ? cos ? ,
2 2 2

?

?

?

?

? ?

1 ? sin 2 ? ? cos2 ? ? 4(sin 2 ? ? cos2 ? )(1 ? sin 2 ? ? cos2 ? ) ? 2 2
所求最大值为 2 2 ,最小值为 ? 2 2

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+ ,求证: a2 b2 c2 a+b+c + + ≥ b+c a+c a+b 2 三.练习 1....均值不等式与柯西不等式 2页 1下载券 R0019,高中数学竞赛专题... 6页 2下载...

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