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清北学堂2013暑假物理竞赛特训(vip)课程第二次导学——电学导学


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2013 暑假物理竞赛特训(vip)课程第二次导学

电学导学 一、 竞赛要求 1、库仑定律和电场强度 2、电势和电势差 3、电场中的导体和电介质 4、电容器 5、静电场的能量 二、重点知识 电场,电势,电势能和电场中的导体 二、 难点突破 电势能,静电场中的导体
§1 、 库仑定律和电场强



§1.1 电荷守恒定律:电荷既不能创造,也不能被消灭,它们只能从一个物体转移到另一个 物体,或者从物体的一部分转移到另一部分,正负电荷的代数和始终保持不变。 §1.2、库仑定律:真空中,两个静止的点电荷 q1 和 q 2 之间的相互作用力的大小和两点电荷 电量的乘积成正比,和它们之间距离 r 的平方成正比;作用力的方向沿它们的连线,同号相斥, 异号相吸

F ?k

q1 q 2 r2

式 中 k 是 比 例 常 数 , 依 赖 于 各 量 所 用 的 单 位 , 在 国 际 单 位 制 ( SI ) 中 的 数 值 为 :

k ? 9 ?10 N ? m / C ( 常 将 k 写 成 ? 0 ? 8.85 ? 10 ?12 C 2 / N ? m 2 )
9 2 2

k?

1 4?? 0 的 形 式 , ? 0 是 真 空 介 电 常 数 ,

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库仑定律成立的条件: (1)电荷是点电荷; (2)两点电荷是静止或相对静止的; (3 ) 只适用真空。 §1.3、电场强度:电场强度是从力的角度描述电场的物理量,其定义式为

E?

F q

式中 q 是引入电场中的检验电荷的电量,F 是 q 受到的电场力。可以计算出在真空中 点电荷所产生的电场中各点的电场强度为

Qq 2 F Q E? ?k r ?k 2 q q r
式中 r 为该点到场源电荷的距离,Q 为场源电荷的电量。 §1.4、场强的叠加原理:在若干场源电荷所激发的电场中任一点的总场强,等于每 个场源电荷单独存在时在该点所激发的场强的矢量和。 。 §1.5、 电通量、高斯定理 (1)电通量:电通量是指穿过某一截面的电场线的条数,其大小为 ? ? ES sin ? (2)高斯定理:在任意场源所激发的电场中,对任一闭合曲面的总通量可以表示为

? ? 4?k ? qi

k?


1 4?? 0 )
?

? 0 ? 8.85 ?10?12 C 2 / Nm 为真空介电常数
i 为闭合曲面所围 式中 k 是静电常量, 的所有电荷电量的代数和。 (3)利用高斯定理求几种常见带电体的场 强 ①无限长均匀带电直线的电场

?
r

?q

? ? ? ? ?

P

? ?
l

r

? ?

P

一无限长直线均匀带电,电荷线密度为 ? , ? 如图 1-1-2(a)所示。考察点 P 到直线的距离为 r。由于带电直线无限长且均匀带电,因此直线 图 1-1-2(a) 图 1-1-2(b) 周围的电场在竖直方向分量为零,即径向分布, 且关于直线对称。取以长直线为主轴,半径为 r, 长为 l 的圆柱面为高斯面,如图 1-1-2(b),上下表面与电场平行,侧面与电场垂直,因 此电通量

? ? E ? 2?r ? l ? 4?k ? qi ? 4?kl ?? 2k?
E? r
②无限大均匀带电平面的电场 根据无限大均匀带电平面的对称性, 可以判定整个带 电平面上的电荷产生的电场的场强与带电平面垂直并指 向两侧,在离平面等距离的各点场强应相等。因此可作一 柱形高斯面,使其侧面与带电平面垂直,两底分别与带电

E

图 1-1-3

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平面平行,并位于离带电平面等距离的两侧如图 1-1-3 由高斯定律:

? ? 2E ? S ? 4?k ? qi ? 4?k ? ?S

E ? 2?k? 式中 ? 为电荷的面密度,由公式可知,无限大均匀带电平面两侧是匀强电场。 平行板电容器可认为由两块无限带电均匀导体板构成,其间场强为 E? ,则由场强叠
加原理可知

??

Q S

E? ? 4?k?
③均匀带电球壳的场强 有一半径为 R,电量为 Q 的均匀带电球壳,如图 1-1-4。由于电荷分布的对称性,故 不难理解球壳内外电场的分布应具有球对称性,因此可在球壳内外取同心球面为高斯面。 对高斯面 1 而言:

? ? E ? 4?r 2 ? 4?k ? qi ? 0, E ? 0 ;
? ? E ? 4?r 2 ? 4?k ? qi ? 4?kQ, E ?
? ? o E ? ? kQ ? ? r2
r?R r?R

2 1

对高斯面 2:

kQ r 。

图 1-1-4

④球对称分布的带电球体的场强 推导方法同上,如图 1-1-4, 对高斯面 1,

? ? E ? 4?r 2 ? 4?k ? qi ? 4?k
对高斯面 2,

r3 kQr Q, E ? 3 3 R R ;

? ? E ? 4?r 2 ? 4?k ? qi ? 4?kQ, E ?
? kQr ? ? 3 E?? R ? kQ ? ? r2
⑤电偶极子产生的电场

kQ r2 。

r?R r?R

真空中一对相距为 l 的带等量异号电荷的点电荷系统 ?? q,?q ? ,且 l 远小于讨论中所 涉及的距离,这样的电荷体系称为电偶极子,并且把连接两电荷的直线称为电偶极子的轴 线,将电量 q 与两点电荷间距 l 的乘积定义为电偶极矩。 E? a.设两电荷连线中垂面上有一点 P,该点到两电荷连线的距离 为 r,则 P 点的场强如图 1-1-5 所示,其中 ? q

E ? ? E? ? k

l2 r2 ? 4

E

E?
r

?q

?
l/2 l/2 q

图 1-1-5

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E ? 2 E? cos? ? 2k
ql l2 (r 2 ? ) 4

q
2

?k

l2 r ? 4 ql ?k 3 3 r 2

?

l 2 r2 ? l2 4

b.若 P? 为两电荷延长线上的一点,P? 到两电荷连线中点的距离为 r, 如图 1-1-6 所示, 则
?q
?q l/2 l/2
r

P?
E?

E? ? k

q l? ? ?r ? ? 2? ?
2

, E? ? k

q l? ? ?r ? ? 2? ?
2

E?

,

? ? ? ? 1 1 ? ? E ? E? ? E? ? kq ? 2 2 ?? l? ? l? ? ?? r ? ? ? r ? ? ? 2? ? 2? ? ?? ?2 ?2 q ?? l ? l ? ? ? ? k 2 ??1 ? ? ? ?1 ? ? ? r ? ? 2r ? ? ?? 2r ? ? q? l l? ? k 2 ?1 ? ? 1 ? ? r ? r r? 2ql ?k 3 r
c.若 T 为空间任意一点, 它到两电荷连线的中点的距离为 r,如图 1-1-7 所示,则 ql? 在 T 点产生的场强分量为

图 1-1-6

ET E?

?
T

E //

?q

?q

E? ? k

ql? 2ql sin ? ?k 3 r r3 ,

图 1-1-7

由 ql// 在 T 点产生的场强分量为

E// ? k


2ql// 2ql cos? ?k 3 r r3

ql 3 cos2 ? ? 1, 3 r E? sin ? 1 tan ? ? ? ? tan ? E// 2 cos ? 2
2 2 ET ? E? ? E// ?k

§1.6、 静电场中的环路定理 环路定理:静电场中单位正电荷沿任意封闭曲线绕行一圈,静电力做的总功恒为零。 设静电场中任意一条封闭曲线如图, 其上任取两点 a 和 b,则根据静电场为保守力场的 含义,必有 得

? I E ??l ? ? ? E ??l 等式两边的表达式移向一边,
a a

b

b

?
a

b

I

E ??l ? ? ? E ??l ? 0
a

b

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把图中 a 到 b 的路径 ? 反向,即成一个回路,得 这就是静电场环路定理的表达式。

回路

? E ? ?l ? 0

§2 电势与电势差 §2.1 电势差、电势、电势能 电势差:在电场中的两点间移动电荷所做的功与被移动电荷电量的比值,定义为这两 点间的电势差,即

U AB ?

WAB q

§2.2 几种常见带电体的电势分布 (1)点电荷周围的电势 点电荷周围任一点的电势可表示为:

U ?k

Q r

式中 Q 为场源电荷的电量,r 为该点到场源电荷的距离。 (2)均匀带电球壳,实心导体球周围及内部的电势。

? kQ ? U ?? r kQ ? ?R

(r ? R) (r ? R)

式中 Q 为均匀带电球壳的电量,R 为球壳的半径,r 为该点到球壳球心的距离。 §2.3 电势能 电势是反映电场能的性质的物理量,电场中任意一点 A 的电势,在数值上等于一个单 位正电荷 A 点处所具有的电势能,因此电量为 q 的电荷放在电场中电势为 U 的某点所具 有的电势能表示为 ? ? qU 。 §2.4、电势叠加原理 电势叠加原理: 任一点的电势等于每个电荷单独存在时, 在该点产生的电势的代数和。 §2.4 匀强电场中电势差与场强的关系 在匀强电场中,场强 E 与电势差 U 之间满足

U ? Ed
这就是说,在匀强电场中,两点间的电势等于场强大小和这两点在沿场强方向的位移 的乘积。 §3、电场中的导体与电介质 §3.1、 静电感应、静电平衡和静电屏蔽 ①静电感应与静电平衡 静电感应:把金属放入电场中时,自由电子除了无规则的热运动 外,还要沿场强反方向做定向移动,结果会使导体两个端面上分别出 现正、负净电荷。 静电平衡状态:导体内部的合场强为零,自由电荷停止移动, 处于静电平衡状态下的导体具有下列四个特点: (a)导体内部场强为零; (b) 净电荷仅分布在导体表面上 (孤立导体的净电荷仅分布在导

图 1-3-1

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体的外表面上); (c)导体为等势体,导体表面为等势面; (d)电场线与导体表面处处垂直,表面处合场强不为 0。 ②静电屏蔽 静电平衡时内部场强为零这一现象,在技术上用来实现静电屏蔽。金属外壳或金属网 罩可以使其内部不受外电场的影响。如图 1-3-1 所示,由于感应电荷的存在,金属壳外的 电场线依然存在,此时,金属壳的电势高于零,但如图把外壳接地,金属壳外的感应电荷 流入大地(实际上自由电子沿相反方向移动),壳外电场线消失。可见,接地的金属壳既 能屏蔽外场,也能屏蔽内场。 §3.2、 电介质及其极化 ①电介质 电介质分为两类:a 非极性分子电介质,b 极性分子电介质. ②电介质的极化 当把介质放入电场后,非极性分子正负电荷的中心被拉开,分子成为一个偶极子;极 性分子在外电场作用下发生转动,趋向于有序排列。因此,无论是极性分子还是非极性分 子,在外电场作用下偶极子沿外电场方向进行有序排列(如图 ? ? 1-3-3),在介质表面上出现等量异种的极化电荷(不能自由移 ? ? 动,也不能离开介质而移到其他物体上),这个过程称为极化。 ? ? 极化电荷在电介质内部产生一个与外电场相反的附加电 场,因此与真空相比,电介质内部的电场要减弱,但又不能像 E 导体一样可使体内场强削弱到处处为零。减弱的程度随电介质 而不同,故物理上引入相对介电常数 ? 来表示电介质的这一特 图 1-3-3 性,对电介质 ? 均大于 1,对真空 ? 等于 1,对空气 ? 可近似认 为等于 1。 §3.3. 电像法 电像法的实质在于将一给定的静电场变换为另一易于计算的等效静电场, 多用于求解 在边界面(例如接地或保持电势不变的导体)前面有一个或一个以上点电荷的问题,在某 些情况下,从边界面和电荷的几何位置能够推断:在所考察的区域外,适当放几个量值合 适的电荷,就能够模拟所需要的边界条件。这些电荷称为像电荷,而这种用一个带有像电 荷的、无界的扩大区域,来代替有界区域的实际问题的方法,就称为电像法。例如: ①一无限大接地导体板 A 前面有一点电荷 Q,如图 1-3-5 所示,则导体板 A 有(图中 左半平面) 的空间电场, 可看作是在没有导体板 A 存在情况下, 由点电荷 Q 与其像电荷-Q 所共同激发产生。像电荷—Q 的位置就是把导体板 A 当作平面镜时,由电荷 Q 在此镜中 的像点位置。于是左半空间任一点的 P 的电势为

式中 r 和 r ? 分别是点电荷 Q 和像电荷-Q 到点 P 的距离, 并且

?1 1 ? U ? kQ? ? ? ? r r? ?

y

P( x, y, z )
r

r?
2d
x

r ? x ? y ? z , r ? ? ?2d ? x ? ? y ? z , 此处 d 是点
2 2 2 2 2 2 2 2

Q

电荷 Q 到导体板 A 的距离。 z 电像法的正确性可用静电场的唯一性定理来论证,定性 分析可从电场线等效的角度去说明。 图 1-3-5 ②一半径为 r 的接地导体球置于电荷 q 的电场中, 点电荷到球心的距离为 h,球上感应电荷同点电荷 q 之间的相互作用也可以用一像电 荷 q ? 替代,显然由对称性易知像电荷在导体球的球心 O 与点电荷 q 的连线上,设其电量

A

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为 q ? ,离球心 O 的距离为 h? ,如图 1-3-6 所示,则对球面上任一点 P,其电势

? q q? U ? k? ? ? 2 2 r 2 ? h?2 ? 2rh? cos? ? r ? h ? 2rh cos?
整理化简得

? ? ? 0, ? ?
z

q 2 r 2 ? h?2 ? 2q 2 rh? cos? ? q?2 r 2 ? h 2 ? 2q?2 rh cos?
要使此式对任意 ? 成立,则必须满足
h

?

?

?

?

?q

p

q 2 r 2 ? h?2 ? q?2 r 2 ? h 2 q 2 h? ? q?2 h

?

?

?

?

?q

?

o

r2 r 图 , q? ? q h h 解得 ③对(2)中情况,如将 q 移到无限远处 h ? ? ,同时增大 q,使在球心处的电场 11221-3-61-3-6 r2 q h? ? E0 ? k 2 h 无限 h 保持有限(相当于匀强电场的场强),这时,像电荷 ? q? 对应的 h? ? r r2 q q ? ? r3 2 h h h 保持有限, 趋近球心, 但 因而像电荷 q ? 和 ? q? 在球心形成一个电偶 ? r3 ? P ? q?h? ? E0 k 极子,其电偶极矩 。 无限远的一个带无限多电量的点电荷在导体附近产生的电场 E 0 可看作是均匀的,因 q?h? ?
此一个绝缘的金属球在匀强电场中 E 0 受感应后,它的感应电荷在球外空间的作用相当于

r3 ? E0 一个处在球心,电偶极矩为 k 的电偶极子。
§4 电容器 §4.1、 电容器的电容 电容器是以电场能的形式储存电能的一种装置,与以化学能储存电能的蓄电池不同。 任何两个彼此绝缘又互相靠近的导体,都可以看成是一个电容器,电容器所带电荷 Q 与它两板间电势差 U 的比值,叫做电容器的电容,记作 C,即

C?

Q U

电容的意义就是每单位电势差的带电量,显然 C 越大,电容器储电本领越强,而电容 是电容器的固有属性,仅与两导体的形状、大小位置及其间电介质的种类有关,而与电容 器的带电量无关。 电容器的电容有固定的、可变的和半可变的三类,按极片间所用的电介质,则有空气 电容器、真空电容器、纸质电容器、陶瓷电容器、涤纶电容器、云母电容器、电解电容器 等。 每个电容器的型号都标明两个重要数值:电容量和耐压值(即电容器所承受的最大电 压,亦称击穿电压)。 §4.2、几种常用电容器的电容 (1)平行板电容器 若两金属板平行放置,距离 d 很小,两板的正对面积为 S、两 极板间充满相对介电常数为 ? 的电介质,即构成平行板电容器。 设平行板电容器带电量为 Q、则两极板间电势差

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U ? Ed ?

4?k?

故电容 (2)真空中半径为 R 的孤立导体球的电容 由公式可知,导体球的电势为:

Q ?S C? ? U 4?kd

?

d?

4?k Q ? d ? S

U?

kQ R
Q R ? U k

因此孤立导体球的电容为

C?

地球半径很大,电容很大,容纳电荷的本领极强。 (3)同轴圆柱形电容器 高 H、半径 R1 的导体圆柱外,同轴地放置高也为 H、内半径为

R 2 > R1 的导体筒, 当 H ?? R2 时, 便构成一个同轴圆柱形电容器。 如果 R 2 - R1 ?? R1 ,
则可将它近似处理为平行板电容器,由公式可得其电容为

2?RH? ?RH ? ?C ? 4?kD ? 2kD ? R ? R1 ? R3 ? ? D ? R2 ? R1 ? ?
(4)同心球形电容器 半径为 R1 的导体球(或球壳)和由半径为 R2 的导体球壳同心放置,便构成了同心球 形电容器。 若同心球形电容器内、 外球壳之间也充以介电常数为 ? 的电介质, 内球壳带电量为 Q, 外球壳带 -Q 电荷,则内、外球壳之间的电势差为

U ? U内 ? U 外

?k

Q Q ? Q Q ? ? ?k ?? k ?k ? ?R1 ?R2 ? ?R2 ?R2 ? ? Q? 1 1 ? ?k ? ? ? ?? R R2 ? 1 ? ?
C? Q ?R1 R2 ? U ?R2 ? R1 ?k

故电容

当 R2 ? ? 时,同心球形电容器便成为孤立导体(孤立导分是指在该导体周围没有其 他导体或带电体,或者这些物体都接地)球形电容器,设 R1 ? R ,则其电容为

k R C? k。 若孤立导体外无电介质,则 ? ? 1 ,即
§4.3、 (1)串联 电容器的连接

C?

?R

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几个电容器,前一个的负极和后一个的正极相连,这种连接方式称为电容器的串联。 充电后各电容器的电量相同,即 Q1 ? Q2 ? ?= Q ;第一个电容器的正极与第 n 个电容器
i ?1 的负极之间的电 U 为各电容器电压 U i 之和,即 ,因此电容器串联可以增大耐 压值。用一个电量为 Q,电压为 U 的等效电容来代替上述 n 个串联的电容器,则电容为 n

U ? ?U i

C?

Q ? Q / ?U1 ? U 2 ? ? ? U n ? U n 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? Ci?1 C C1 C2 Cn i ?1

(2)并联 把 n 个电容器的正极连在一起,负极连在一起,这种连接方式称为电容器的并联。充 电后正极总电量 Q 等于各电容器正极电量 Qi 之和,即

Q ? ? Qi
i ?1

n

压 U 等于各电容器的电压 U i ,即 U ? U i , ?i ? 1,2, ? n ? 。 用一个电量为 Q、电压为 U 的等效电容器代替上述几个并联的电容器,则电容为

;正极和负极之间的电

Qi Q ? i ?1 C? ? U U
C ? C1 ? C2 ? ?Cn ? ? Ci
i ?1 n

n

§ 5 静电场的能量 §5.1、 带电导体的能量 一带电体的电量为 Q,电容为 C,则其电势 U 设想带电体上的电量 Q,是一些分散在无限远处的电荷,在外力作 用下一点点搬到带电体上的,因此就搬运过程中,外力克服静电场 U i 力作的功,就是带电体的电能。该导体的电势与其所带电量之间的

U?

Q C 。我们不妨

1 函数关系如图 1-5-1 所示,斜率为 C 。设每次都搬运极少量的电荷 ?Q ,此过程可认为导体上的电势不变,设为 U i ,该过程中搬运电
荷所做的功为 Wi ? U i ?Q ,即图中一狭条矩形的面积(图中斜线所 示)因此整个过程中,带电导体储存的能量为

O

?Q

Q

图 1-5-1

其数值正好等于图线下的许多小狭条面积之和,若 ?Q 取得尽可能小,则数值就趋向 于图线下三角形的面积。

W ? ?Wi ? ?Ui ?Q

1 Q2 1 W ? ?U i ?Q ? QU ? ? CU 2 2 2C 2
上述带电导体的静电能公式也可推广到带电的电容器, 因为电容器两板间的电势差与 极板上所带电量的关系也是线性的。 §5.2、 电场的能量

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1 W ? CU 2 2 由公式 , 似乎可以认为能量与带电体的电量有关, 能量是集中在电荷上的。
其实,前面只是根据功能关系求得带电导体的静电能,并未涉及能量的分布问题。由于在 静电场范围内,电荷与电场总是联系在一起的,因此电能究竟与电荷还是与电场联系在一 起, 尚无法确定。 以后学习了麦克斯韦的电磁场理论可知, 电场可以脱离电荷而单独存在, 并以有限的速度在空间传播,形成电磁波,而电磁波携带能量早已被实践所证实。因此我 们说,电场是电能的携带者,电能是电场的能量。下面以平行板电容器为例,用电场强度 表示能量公式。

1 1 ?S ?E 2 Sd 2 2 2 W ? CU ? ? E d ? 2 2 4?kd 8?k
单位体积的电场能量称为电场的能量密度,用

? 来表示

??

W ?E 2 ? V 8?k

上式是一个普遍适用的表达式,只要空间某点的电场强度已知,该处的能量密度即可 求出,而整个电场区的电场能量可以通过对体积求和来求得。 §5.3、电容器的充电 充电完毕后,电容器所带电量

Q ? CU
电容器所带能量

1 W ? CU 2 2
而电源在对电容器充电过程中,所提供的能量为

W ? ? QU ? CU 2 ? 2W
例题分析 例 1、如图 1-1-1(a)所示,在半径为 R、体电荷密度为 ? 的均匀 带电球体内部挖去半径为 R? 的一个小球,小球球心 O? 与大球球 心 O 相距为 a,试求 O? 的电场强度,并证明空腔内电场均匀。 分析: 把挖去空腔的带电球看作由带电大球 ?R, ? ? 与带异号

O

R

O? R?

图 1-1-1(a)

电的小球 ?R?,? ? ? 构成。由公式求出它们各自在 O? 的电场强度,再叠加即得 E0? 。这是利 用不具有对称性的带电体的特点,把它凑成由若干具有对称性的带电体组成,使问题得以 简化。 在小球内任取一点 P,用同样的方法求出 E P ,比较 E P 和 E0? ,即可证明空腔内电场 是均匀的。采用矢量表述,可使证明简单明确。 解: 由公式可得均匀带电大球(无空腔)在 O? 点的电场强 O 度
a

O?

E大球 ,

B

E

大球 , o ?

kQa 4 ? ? ?k?a R 3 ,方向为 O 指向 O? 。
3

r

P

同理,均匀带异号电荷的小球 强度

?R?,? ? ? 在球心 O? 点的电场

图 1-1-1(b) (b)

E

大球 , o ?

?0 Eo? ? E
大球, o ?

所以

?E

小球

4 o? ? ?k?a 3 ,

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如图 1-1-1 (b) 所示, 在小球内任取一点 P, 设从 O 点到 O? 点的矢量为 a ,O?P 为 b , OP 为 r 。则 P 点的电场强度 E P 为

?

?

? ? ? ? EP ? E大球 , p ? E小球p

?? 4 ? ? 4 ? ?k?r ? ? ? ?k?b ? 3 ? 3 ? ? 4 4 ? ? ? ?k? (r ? b ) ? ?k?a 3 ? 3 ? 可见: E P ? E0
因 P 点任取,故球形空腔内的电场是均匀的 例 2、如图所示,在-d≤x≤d 的空间区域内(y,z 方向无限延伸)均匀分布着密度为 ρ 的正电荷,此外均为真空

x ≤d 处的场强分布; (2)若将一质量为 m,电量为 ? ? 的带点质点,从 x=d 处由静止释放,试问该带电
(1)试求 质点经过过多长时间第一次到达 x=0 处。 解: 根据给定区域电荷分布均匀且对称, 在 y、 z 方向无限伸展的特点, 我们想象存在这样一个圆柱 体,底面积为 S,高为 2x,左、右底面在 x 轴上的 坐标分别是-x 和 x,如图 1-1-8 所示。可以判断圆柱 体左、右底面处的场强必定相等,且方向分别是逆 x ? d 轴方向和顺 x 轴方向。再根据高斯定理,便可求出 坐标为 x 处的电场强度。 (1)根据高斯定律 E ? 2S ? 4?k ? ? ? S ? 2 x 。坐 标为 x 处的场强:

P
O 2x S

E
d
x

E ? 4?k?x ( x ≤d),x>0 时,场强与 x 轴
同向,x<0 时,场强与 x 轴反向。

图 1-1-8

(2)若将一质量为 m、电量为 ? q 的带电质点置于此电场中,质点所受的电场力为:

F ? ?qE ? ?4?k?qx ( x ≤d)
显然质点所受的电场力总是与位移 x 成正比,且与位移方向相反,符合准弹性力的特 点。质点在电场力的运动是简谐振动,振动的周期为

T ? 2?

m ?m ? 4?k?q k?q
t? T T ? 4 4

当质点从 x=d 处静止释放,第一次达到 x=0 处所用的时间为

?m k?q

例 3、如图 1-2-2 所示,两个同心导体球,内球半径为 R1 ,外球是个球壳,内半径为

R2 ,外半径 R3 。在下列各种情况下求内外球壳的电势,以及
壳内空腔和壳外空间的电势分布规律。 (1)内球带 ?q ,外球壳带 ? Q 。 (2)内球带 ?q ,外球壳不带电。
R3

R2

R1

图 1-2-2

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(3)内球带 ?q ,外球壳不带电且接地。 (4)内球通过外壳小孔接地,外球壳带 ? Q 。 解: 如图 1-2-2 所示,根据叠原理:

(1) R1 处有均匀的 ?q , R2 必有均匀的 ?q , R3 处当然有 ? ?Q ? q ? 电荷,因此:

U1 ? k
内球

?Q ? q ? q q ?k ?k R1 R2 R3

U2 ? k
外球

?Q ? q ? ? k ?Q ? q ? q q ?k ?k R2 R2 R3 R3
q q ?k R1 R2

U12 ? U1 ? U 2 ? k
电势差

U内 ? k
腔内

壳外

?Q ? q ? q q ?k ?k r R2 R3 ( R1 <r< R2 ) ?Q ? q ? ? k ?Q ? q ? q q U外 ? k ? k ? k r r R3 R3 (r> R3 )
U1 ? k q q q ?k ?k R1 R2 R3

(2) R1 处有 ? q , R2 处有 ?q , R3 处有 ?q ,因此: 内球

U2 ? k
外球

q q q q ?k ?k ?k R2 R2 R3 R3
q q ?k R1 R2

U12 ? U1 ? U 2 ? k
电势差

U内 ? k
腔内 壳外

U外

q q q ?k ?k r R2 R3 ( R1 <r< R2 ) q q q q ? k ?k ?k ? k r r r r (r> R3 )

(3) R1 处有 ? q , R2 处有 ?q ,外球壳接地,外球壳 U 2 ? 0 , R3 处无电荷。

U1 ? k
内球

q q ?k R1 R2
q q ?k R1 R2

U12 ? U1 ? U 2 ? k
电势差

U内 ? k
腔内 壳外

U外

(4)内球接地电势为零,内球带 ? q? , R2 处有 ? q? , R3 处有 ? ?Q ? q ? ,先求 q ? ,

q q ?k r R2 ( R1 <r< R2 ) q q ? k ?k ?0 r r (r> R3 )

?k
因为

?Q ? q?? ? 0 q? q? ?k ?k R1 R2 R3

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解得 内球

q? ? QR1 R2 / ?R1 R2 ? R2 R3 ? R1 R3 ?

U1 ? 0
U 2 ? ?k

外球

?Q ? q ?? q? q? ?k ?k R2 R2 R3

腔内

? kQ?R2 ? R1 ? / ?R1 R2 ? R2 R3 ? R1 R3 ? ? U 21 q? q ? ?Q ? q ?? U 内 ? ?k ? k k r R2 R3

?

kQR2 ? R1 ? ?1 ? ? ?R1R2 ? R2 R3 ? R1 R3 ? ? r ? ( R1 <r< R2 ) U 外 ? ?k

壳外

?Q ? q ?? ? kQR3 ?R2 ? R1 ? q? q? ?k ?k ?R1 R2 ? R2 R3 ? R1 R3 ?r r r R3

例 4、在距离一个接地的很大的导体板为 d 的 A 处放一个带电量为 ? q 的点电荷(图 1-3-7)。 (1)求板上感应电荷在导体内 P 点( PA ? r )产生 的电场强度。 (2)求板上感应电荷在导体外 P? 点产生的电场强度, 已知 P? 点与 P 点以导体板右表面对称。 (3)求证导体板表面化的电场强度矢量总与导体板表 面垂直。 (4)求导体板上感应电荷对电荷 ? q 的作用力, (5)若切断导体板跟地的连接线,再把 ? Q 电荷置于
P
r

P?

d

A

?q

导体板上,试说明这部分 ? Q 电荷在导体板上 E感 P 应如何分布才可以达到静电平衡(略去边缘效 ? 应)。 ? E? q ? 分析: 由于导体板很大且接地,因此只 ?q ? 有右边表面才分布有正的感应电荷,而左边接 ? 地那一表面是没有感应电荷的。静电平衡的条 ? 件是导体内场强为零,故 P 点处的场强为零, ? 而 P 点处的零场强是导体外及表面电荷产生场 ? 强叠加的结果。 解: (1)因为静电平衡后导体内部合场 图 1-3-8 乙 强为零, 所以感应电荷在 P 点的场强 E感 和 ? q 在 P 点的场强

图 1-3-7
? ? ?

?

?q

P??

? ? ? ?

P?
E感P?

图 1-3-8 丙
? ? ?

E ? q 大小相等,方向相反,即

E感 ? E ? q

? q 到 P 点的距离。

kq ? 2 r1 方向如图 1-3-8 乙, r1 是

? ? ? ?

?q
E? q
E感A?

A?
E? q

? ? ? ? ?

(2)由于导体板接地,因此感应电荷分布 在导体的右边。根据对称原理,可知感应电荷

? P? ? ? E感P? ?

A ?q

E感A?

图 1-3-8 丁 图 1-3-8 戍

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在导体外任意一点 P? 处场生的场强一定和感应电荷在对称点 P?? 处产生的场强镜像对称 (如图 1-3-8 丙),即 E感P?? ? E感P? ,而 因此

E感P?? ? E? q ?

kq r22 ,式中 r2 为 ? q 到 P?? 的距离,

E感 P ? ?

kq r22 ,方向如图 1-3-8 丙所示。
E

(3)根据(2)的讨论将 P? 取在导体的外表面,此处的场强由 ? q 和 E感P? 叠加而成 (如图 1-3-8 丁所示),不难看出,这两个场强的合场强是垂直于导体表面的。 (4)在导体板内取一点和 ? q 所在点 A 对称的 A? 点, A? 的场强由 所以 ? q 所受的电场力大小为

E ? q 和 E感A? 叠加

而为零。由对称可知,A 处的 E感A 和 E感A? 应是大小相等,方向相反的(如图 1-3-8 戍),

F ? E感A ? q ? E? q ? q ?

kq ?q ?2d ?2

?

kq2 4d 2
E

方向垂直板面向左。 (5)因为 ? q 和 E感 在导体内处处平衡,所以+Q 只有均匀分布在导体两侧,才能保 持导体内部场强处处为零。 从以上(2)、(3)、(4)的分析中可看出:导体外部的电场分布与等量异种电荷的

电场分布完全相似,即感应电荷的作用和在与 A 点对称的 A? 位置上放一个 ?q 的作用完全 等效,这就是所谓的“电像法”。 R 例 5、如图 2-4-1 所示,两个竖直放置 的同轴导体薄圆 Cx 筒,内筒半径为 R,两筒间距为 d,筒高为 L L ?? R ?? d ,内筒通过一个未知电容 C x 的电容器与 电动势 U 足够大的直流电源的 正极连接,外筒与该电源的负极相连。在两筒之间有相 距为 h 的 A、B 两点,其连线 AB 与竖直的筒中央轴平行。在 A 点有一质量为 m、电量为-Q 的带电粒子,它以 v 0 的初速率 运动,且方向垂直于由 A 点和筒中央轴构成的平面。为了使

?

?

A L B
h
d
u

此带电粒子能够经过 B 点,试求所有可供选择的 v 0 和 C x 值。 分析: 带电粒子从 A 点射出后,受到重力和筒间电场力的作用。重力竖直向下,使 带电粒子在竖直方向作自由落体运动;电场力的方向在垂直筒中央轴的平面内,沿径向指 向中央轴。 为了使带电粒子能通过 B 点, 要求它在垂直中央轴的平面内以 R 为半径作匀速 圆周运动,这就要求电场力能提供适当的向心力,即对 C x 有一定要求。为了使带电粒子 经过 B 点, 还要求它从 A 点沿 AB 到达 B 点的时间刚好等于带电粒子作圆周运动所需时间 的整数倍,亦即对圆周运动的速度 v 0 有一定的要求。 解: 带电粒子重力作用下,从 A 点自由下落至 B 点所需的时间为

图 2-4-1

t?

2h g

带电粒子在垂直于筒中央轴的平面内,作匀速圆周运动一圈所需的时间为

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T?

2?R v0

为了使带电粒子经过 B 点,要求

t ? nT , n ? 1,2 ??
由以上三式,得

v0 ?

2?R 2?Rn 2h ? ? n?r n ? 1,2 T t g ??
2 mv 0 R

带电粒子作匀速圆周运动(速率 v 0 ,半径 R)所需的向心力由电场力提供,电场力为

F?

此电场力由内外筒之间的电场提供。因 R

?? d ,近似认为内外筒构成平行板电容

器,其间是大小相同的径向电场 E,设内外筒电势差为 U R ,则带电粒子所受电场力应为

F ? QE ?

QU R d

由以上两式,得

UR ?

2 mv 0 d QR

v 0 代入,得

UR ?

2n 2? 2 Rdmg hQ

n ? 1,2 ??

因为内、外筒电容器 C R 与 C x 串联,故有

C RU R ? C xU x UR ?Ux ? U
解得

Cx ?

C RU R U ?U R

由公式可知,同轴圆柱形电容器电容

CR ?

RL 2kd

代入,得

n 2? 2 R 2 Lmg Cx ? k hQU ? 2n 2? 2 RLmg

?

?

n ? 1,2 ??

这就是全部可供选择的 C x 。 例 6、用 N 节电动势为 ? 的电池对某个电容器充电,头一次用 N 节电池串联后对电容 器充电;第二次先用一节电池对电容器充电,再用两节串联再充一次,再用三节串联再 充??直到用 N 节串联充电,哪一种方案消耗电能多?

1 E ? Q?N? ? 2 解: 第一次电源提供的能量 W ? Q?N? ? ,电容器储能 ,消耗的能量 1 1 2 ?E ? W ? E ? Q?N? ? ? C ?N? ? 2 2 。

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第二次充电时,电容器上电量从 0→Q1→Q2→Q3??而

Q1 ? C?
电源每次提供能量为

Q2 ? C (2? )

Q3 ? C (3? )

W1 ? ??Q ? ??Q1 ? C? 2
????

W2 ? 2? ? ?Q2 ? 2? ?Q2 ? Q1 ?1 ? 2C? 2

WN ? ?QN ? QN ?1 ?1 N? ? NC? 2

W ? ? ?W ? ? C? 2 ?1 ? 2 ? 3 ? ? ? N ? ?

1 N ?N ? 1?C? 2 2

N? 条件下进行的。第二种方案中,只有最后一次搬运电量 ?QN ? QN ?1 ? 是在电势差 N? 下 进行的,其余 N ? 1 是在小于 N? 下进行的。

消耗的能量 显然,前一种方案消耗能量多,实际上,头一种方案电源搬运电量 Q 全部是在电势差

1 ?E ? ? W ? ? E ? CN? 2 ? ?E / N 2

例 7、 如图所示, O 为半径等于 R 的原来不带电的导体球的球心, O1、O2、O3 为位于球内的三个半径皆为 r 的球形空腔的球心,它们 与 O 共面,已知 OO1 ? OO2 ? OO3 ? O1、O2 为 O1 P1 P R R O2 O P2 O3 r

R .在 OO1、OO2 的连线上距 2

r 的 P1、P2 点处分别放置带电量为 q1 和 q2 的线度很小的 2

导体(视为点电荷),在 O3 处放置一带电量为 q3 的点电荷,设法使 q1、q2 和 q3 固定不动.在导体球外的 P 点放一个电量为 Q 的点电荷,P 点与 O1、O2、O3 共面,位于 O3O 的延长线上,到 O 的距离 OP ? 2R . 1.求 q3 的电势能. 2.将带有电量 q1、q2 的小导体释放,当重新达到静电平衡时,各表面上的电荷分布有 何变化? 此时 q3 的电势能为多少?

解:1.由静电感应知空腔 1、2 及 3 的表面分别出现电量为 ? q1 、 ? q 2 和 ? q 3 的面电荷, 由电荷守恒定律可知,在导体球的外表面呈现出电量 q1 ? q 2 ? q3 .由静电屏蔽可知,点电 荷 q1 及感应电荷( ? q1 )在空腔外产生的电场为零;点电荷 q2 及感应电荷( ? q 2 )在空腔 外产生的电场为零;点电荷 q3 及感应电荷( ? q 3 )在空腔外产生的电场为零.因此,在导 体球外没有电荷时,球表面的电量 q1 ? q 2 ? q3 作球对称分布. 当球外 P 点处放置电荷 Q 后,由于静电感应,球面上的总电量仍为 ?q1 ? q 2 ? q3 ? ,但

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这些电荷在球面上不再均匀分布,由球外的 Q 和重新分布在球面上的电荷在导体球内各点 产生的合场强为零. O3 处的电势由位于 P 点处的 Q、导体球表面的电荷 ?q1 ? q 2 ? q3 ? 及空腔 3 表面的感应 电荷( ? q 3 )共同产生.无论 ?q1 ? q 2 ? q3 ? 在球面上如何分布,球面上的面电荷到 O 点的 距离都是 R,因而在 O 点产生的电势为 k

q1 ? q2 ? q3 Q , Q 在 O 点产生的电势为 k ,这 R 2R

两部分电荷在 O3 点产生的电势 U ? 与它们在 O 点产生的电势相等,即有

Q ? ? q ? q 2 ? q3 ? Q ? 2q1 ? 2q 2 ? 2q3 ? U ? ? k? 1 ? ? ? k? ? R 2R ? 2R ? ? ?
(1) 因 q3 放在空腔 3 的中心处,其感应电荷 ? q 3 在空腔 3 壁上均匀分布.这些电荷在 O3 点产生 的电势为

U ?? ? k
根据电势叠加定理,O3 点的电势为

? q3 r

(2)

? Q ? 2q1 ? 2q 2 ? 2q 3 q 3 ? U ? U ? ? U ?? ? k ? ? ? 2R r ? ?
故 q3 的电势能

(3)

? Q ? 2q1 ? 2q 2 ? 2q3 q3 ? W ? q3U ? kq3 ? ? ? 2R r ? ?
2. 由于静电屏蔽,空腔 1 外所有电荷在空腔 1 内产生的合电场为零,空腔 1 内的电荷 q1 仅受到腔内壁感应电荷 ? q1 的静电力作用, 因 q1 不在空腔 1 的中心 O1 点, 所以感应电荷 ? q1 在空腔表面分布不均匀,与 q1 相距较近的区域电荷面密度较大,对 q1 的吸力较大,在空腔 表面感应电荷的静电力作用下,q1 最后到达空腔 1 表面,与感应电荷 ? q1 中和.同理,空腔 2 中 q2 也将在空腔表面感应电荷 ? q 2 的静电力作用下到达空腔 2 的表面与感应电荷 ? q 2 中 和.达到平衡后,腔 1、2 表面上无电荷分布,腔 3 表面和导体球外表面的电荷分布没有变 化.O3 的电势仍由球外的电荷 Q 和导体球外表面的电量 ?q1 ? q 2 ? q3 ? 及空腔 3 内壁的电荷

(4)

? q 3 共同产生,故 O3 处的电势 U 与 q3 的电势能 W 仍如(3)式与(4)式所示.

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