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2011年全国高中数学联赛试题及答案


2011 年全国高中数学联赛
一 试

一、填空题(每小题 8 分,共 64 分) 1 .设集合 A ? {a1 , a 2 , a 3 , a 4 } ,若 A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为 B ? {?1, 3, 5, 8} ,则集合 A ? . 2.函数 f ( x) ?
x2 ? 1 的值域为 x ?1

. . .

3.设 a , b 为正实数,

1 1 ? ? 2 2 , (a ? b) 2 ? 4(ab) 3 ,则 loga b ? a b

4.如果 cos5 ? ? sin5 ? ? 7(sin3 ? ? cos3 ? ) , ? ? [0,2? ) ,那么 ? 的取值范围是

5.现安排 7 名同学去参加 5 个运动项目,要求甲、乙两同学不能参加同一个项目,每 个项目都有人参加,每人只参加一个项目,则满足上述要求的不同安排方案数 为 . (用数字作答) 6.在四面体 ABCD 中,已知 ?ADB? ?BDC? ?CDA? 60? , AD ? BD ? 3 , CD ? 2 ,则 四面体 ABCD的外接球的半径为 . 7. 直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 与抛物线 y 2 ? 4 x 交于 A,B 两点, C 为抛物线上的一点,?ACB ? 90? , 则点 C 的坐标为 8. 已知 a n ? C n ?3 6 200 .

? ?

200 ? n

? 1 ? ? (n ? 1,2, ?,95) , 则数列 {a n } 中整数项的个数为 ?? ? ? ? 2?

n



二、解答题(本大题共 3 小题,共 56 分) 9. ( 16 分 ) 设 函 数 f ( x) ?| lg(x ? 1) | , 实 数 a, b(a ? b) 满 足 f (a) ? f (?
f (10a ? 6b ? 21) ? 4 lg 2 ,求 a , b 的值.

b ?1 ) , b?2

10. (20 分)已知数列 {a n } 满足: a1 ? 2t ? 3 (t ? R 且 t ? ?1) ,
a n ?1 ? (2t n ?1 ? 3)a n ? 2(t ? 1)t n ? 1 (n ? N * ) . a n ? 2t n ? 1

(1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)若 t ? 0 ,试比较 a n ?1 与 a n 的大小.
1 x2 y 2 11. (本小题满分 20 分)作斜率为 的直线 l 与椭圆 C : ? ? 1 交于 A, B 两点(如 3 36 4

图所示) ,且 P(3 2 , 2 ) 在直线 l 的左上方. (1)证明:△ PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上; (2)若 ?APB ? 60? ,求△ PAB 的面积.

y P O A 解 答 x B

1. {?3,0, 2,6} . 提示:显然,在 A 的所有三元子集中,每个元素均出现了 3 次,所以

3(a1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ) ? (?1) ? 3 ? 5 ? 8 ? 15 ,

故 a1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ? 5 ,于是集合 A 的四个元素分别为 5-(-1)=6,5-3=2,5-5=0, 5-8=-3,因此,集合 A ? {?3, 0, 2, 6} . 2. (??, ?

2 ? ? ? ] ? (1, ??) . 提示:设 x ? tan? ,? ? ? ? ,且 ? ? ,则 4 2 2 2
1 1 cos ? ? f ( x) ? ? tan? ? 1 sin? ? cos? 1 2 sin( ??

?
4


)

1 2 ? ] ? (1,??) . 设 u ? 2 sin( ? ? ) ,则 ? 2 ? u ? 1 ,且 u ? 0 ,所以 f ( x) ? ? (??,? u 2 4

3.-1. 提示:由

1 1 ? ? 2 2 ,得 a ? b ? 2 2ab .又 a b

(a ? b) 2 ? 4ab ? (a ? b) 2 ? 4ab ? 4(ab) 3 ? 4 ? 2 ab? (ab) 3 ? 8(ab) 2 ,


a ? b ? 2 2ab .



于是
a ? b ? 2 2ab .



? ?a ? 2 ? 1, ? ?a ? 2 ? 1, 再由不等式①中等号成立的条件,得 ab ? 1 .与②联立解得 ? 或? ? ?b ? 2 ? 1, ? ?b ? 2 ? 1,

故 loga b ? ?1 . 4. ?
? ? 5? ? , ? . 提示:不等式 ?4 4 ?

cos5 ? ? sin5 ? ? 7(sin3 ? ? cos3 ? )

等价于
1 1 sin3 ? ? sin5 ? ? cos3 ? ? cos5 ? . 7 7

又 f ( x) ? x 3 ?

1 5 x 是 (??,??) 上的增函数,所以 sin ? ? cos ? ,故 7

2k? ?

?
4

? ? ? 2k? ?

5? (k ?Z). 4

因为 ? ? [0,2? ) ,所以 ? 的取值范围是 ?

? ? 5? ? , ?. ?4 4 ?

5.15000. 提示:由题设条件可知,满足条件的方案有两种情形:
1 ? 5! ? 3600种方案; (1)有一个项目有 3 人参加,共有 C 73 ? 5!?C 5

1 (2)有两个项目各有 2 人参加,共有 (C72 ? C52 ) ? 5!?C52 ? 5! ? 11400种方案; 2

所以满足题设要求的方案数为 3600?11400? 15000. 6. 3 . 提示:设四面体 ABCD的外接球球心为 O ,则 O 在过△ ABD的外心 N 且垂直 于平面 ABD的垂线上. 由题设知, △ ABD是正三角形, 则点 N 为△ ABD的中心. 设 P, M 分 别为 AB , CD 的中点,则 N 在 DP 上,且 ON ? DP , OM ? CD . 因 为 ?CDA? ?CDB ? ?ADB? 60? , 设 CD 与 平 面 A B D 所成角为 ? ,可求得
c o? s? 1 3 ,s i ? n? 2 3


1 2 2 3 CD ? 1, DN ? ? DP ? ? ?3 ? 3 . 2 3 3 2 1 3

在△ DMN 中, DM ? 由余弦定理得

C M O D N A P B

MN 2 ? 12 ? ( 3 ) 2 ? 2 ?1 ? 3 ?

?2,

故 MN ? 2 .四边形 DMON 的外接圆的直径
OD ? MN ? sin? 2 2 3 ? 3.

故球 O 的半径 R ? 3 . 7 . (1,?2) 或 (9,?6) . 提 示 : 设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ), C (t 2 ,2t ) , 由 ?
? x ? 2 y ? 1 ? 0, 得 2 ? y ? 4 x,

y 2 ? 8 y ? 4 ? 0 ,则 y1 ? y 2 ? 8 , y1 ? y 2 ? ?4 .

又 x1 ? 2 y1 ? 1, x 2 ? 2 y 2 ? 1 ,所以
x1 ? x 2 ? 2( y1 ? y 2 ) ? 2 ? 18 , x1 ? x 2 ? 4 y1 ? y 2 ? 2( y1 ? y 2 ) ? 1 ? 1 .

因为 ?ACB ? 90? ,所以 CA ? CB ? 0 ,即有
(t 2 ? x1 )(t 2 ? x 2 ) ? (2t ? y1 )(2t ? y 2 ) ? 0 ,


t 4 ? ( x1 ? x 2 )t 2 ? x1 ? x 2 ? 4t 2 ? 2( y1 ? y 2 )t ? y1 ? y 2 ? 0 ,


t 4 ? 14t 2 ? 16t ? 3 ? 0 ,


(t 2 ? 4t ? 3)(t 2 ? 4t ? 1) ? 0 .

显然 t 2 ? 4t ? 1 ? 0 , 否则 t 2 ? 2 ? 2t ? 1 ? 0 , 则点 C 在直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 上, 从而点 C 与点 A 或点 B 重合.所以 t 2 ? 4t ? 3 ? 0 ,解得 t 1 ? ?1, t 2 ? ?3 .

故所求点 C 的坐标为 (1,?2) 或 (9,?6) .
?3 8.15. 提示: a n ? C n 200
200 ? n 3

?2

400 ? 5 n 6



要使 a n (1 ? n ? 95) 为整数,必有

200? n 400? 5n 均为整数,从而 6 | n ? 4 . , 3 6 200? n 400? 5n 和 均为非负整数,所 3 6

当 n ? 2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80 时, 以 a n 为整数,共有 14 个.
?3 38 ? 2 ?5 ,在 C 86 当 n ? 86 时, a 86 ? C 86 200 200 ?

200 ! 中, 200 !中因数 2 的个数为 86!?114 !

? 200? ? 200? ? 200? ? 200? ? 200? ? 200? ? 200? ? 2 ? ? ? 2 2 ? ? ? 2 3 ? ? ? 2 4 ? ? ? 2 5 ? ? ? 2 6 ? ? ? 2 7 ? ? 197 , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

同理可计算得 86 ! 中因数 2 的个数为 82, 114 !中因数 2 的个数为 110,所以 C 86 200 中因数 2 的 个数为 197? 82?110? 5 ,故 a 86 是整数.
?3 36 ? 2 ?10 ,在 C 92 当 n ? 92 时, a 92 ? C 92 200 200 ?

200 ! 中,同样可求得 92 ! 中因数 2 的个数为 92!?108 !

a 88, 108 ! 中因数 2 的个数为 105,故 C 86 200 中因数 2 的个数为 197? 88?105? 4 ,故 92 不是整数.

因此,整数项的个数为 14?1 ? 15. 9.因为 f (a) ? f (?
b ?1 ) ,所以 b?2

b ?1 1 ? 1) |?| lg( ) |?| lg(b ? 2) | , b?2 b?2 所以 a ? 1 ? b ? 2 或 (a ? 1)(b ? 2) ? 1 ,又因为 a ? b ,所以 a ? 1 ? b ? 2 ,所以 (a ? 1)(b ? 2) ? 1 . | lg(a ? 1) |?| lg(?

又由 f (a) ?| lg(a ? 1) | 有意义知 0 ? a ?1,从而
0 ? a ?1 ? b ?1 ? b ? 2 ,

于是
0 ? a ?1 ? 1 ? b ? 2 .

所以
(10a ? 6b ? 21) ? 1 ? 10(a ? 1) ? 6(b ? 2) ? 6(b ? 2) ? 10 ? 1. b?2

从而
f (10a ? 6b ? 21) ?| lg[6(b ? 2) ? 10 10 ] |? lg[6(b ? 2) ? ]. b?2 b?2


f (10a ? 6b ? 21) ? 4 lg 2 ,

所以
lg[6(b ? 2) ? 10 ] ? 4 lg 2 , b?2

故 6(b ? 2) ?

10 1 . ? 16 .解得 b ? ? 或 b ? ? 1 (舍去) 3 b?2

1 2 把 b ? ? 代入 (a ? 1)(b ? 2) ? 1 解得 a ? ? . 3 5

所以 a ? ?

2 1 ,b ? ? . 5 3

10. (1)由原式变形得
a n ?1 ? 2(t n ?1 ? 1)(a n ? 1) ?1 , a n ? 2t n ? 1


2(a n ? 1) n a n ?1 ? 1 2(a n ? 1) ? ? t ?1 . n ?1 n t ? 1 a n ? 2t ? 1 a n ? 1 ?2 t n ?1

记 又

2b n an ?1 a ? 1 2t ? 2 , b1 ? 1 ? bn ,则 b n ?1 ? ? ?2. n b ? 2 t ?1 t ?1 t ?1 n 1 1 1 1 1 ? ? , ? ,从而有 bn ?1 bn 2 b1 2 1 1 1 n ? ? ( n ? 1) ? ? , b n b1 2 2



an ?1 2 2(t n ? 1) ? ,于是有 a n ? ?1 . n t ?1 n n

(2) a n ?1 ? a n ?
? ? ?

2(t n ?1 ?1) 2(t n ?1) ? n ?1 n

2(t ? 1) ?n(1 ? t ? ? ? t n ?1 ? t n ) ? (n ? 1)(1 ? t ? ? ? t n ?1 )? n(n ? 1) 2(t ? 1) ?nt n ? (1 ? t ? ? ? t n ?1 )? ? 2(t ? 1) ?(t n ? 1) ? (t n ? t ) ? ? ? (t n ? t n ?1 )? n(n ? 1) n(n ? 1) 2(t ? 1) 2 n ?1 n ? 2 ?(t ? t ? ? ? 1) ? t (t n ? 2 ? t n ?3 ? ? ? 1) ? ? ? t n ?1 ? , n(n ? 1)

显然在 t ? 0 (t ? 1) 时恒有 a n ?1 ? a n ? 0 ,故 a n ?1 ? a n . 11. (1)设直线 l : y ? 将y?
1 x ? m , A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) . 3

1 x2 y 2 x ? m 代入 ? ? 1 中,化简整理得 3 36 4
2 x 2 ? 6mx ? 9m 2 ? 36 ? 0 .

于是有 x1 ? x 2 ? ?3m, x1 x 2 ?

y ? 2 y ? 2 9m 2 ? 36 , k PA ? 1 . 则 , k PB ? 2 2 x1 ? 3 2 x2 ? 3 2

k PA ? k PB ?

y1 ? 2 y ? 2 ? 2 x1 ? 3 2 x2 ? 3 2

( y ? 2)( x2 ? 3 2) ? ( y2 ? 2)( x1 ? 3 2) ? 1 ( x1 ? 3 2)( x2 ? 3 2)



上式中,
1 1 分子 ? ( x1 ? m ? 2 )( x 2 ? 3 2 ) ? ( x 2 ? m ? 2 )( x1 ? 3 2 ) 3 3 ? ? 2 x1 x 2 ? (m ? 2 2 )( x1 ? x 2 ) ? 6 2 (m ? 2 ) 3 2 9m 2 ? 36 ? ? (m ? 2 2 )(?3m) ? 6 2 (m ? 2 ) 3 2

? 3m 2 ? 12 ? 3m 2 ? 6 2m ? 6 2m ? 12 ? 0 ,

从而, k PA ? k PB ? 0 . 又 P 在直线 l 的左上方,因此, ?APB的角平分线是平行于 y 轴的直线,所以△ PAB 的 内切圆的圆心在直线 x ? 3 2 上. (2)若 ?APB ? 60? 时,结合(1)的结论可知 k PA ? 3, k PB ? ? 3 . 直线 PA 的方程为: y ? 2 ? 3 ( x ? 3 2 ) ,代入
x2 y 2 ? ? 1 中,消去 y 得 36 4

14x 2 ? 9 6 (1 ? 3 3 ) x ? 18(13 ? 3 3 ) ? 0 .

它的两根分别是 x 1 和 3 2 ,所以 x1 ? 3 2 ?

3 2 (13? 3 3 ) 18(13 ? 3 3 ) ,即 x1 ? .所以 14 14
3 2 (3 3 ? 1) . 7

| PA |? 1 ? ( 3 ) 2 ? | x1 ? 3 2 |?

同理可求得 | PB |? 所以

3 2 (3 3 ? 1) . 7

1 S?PAB ? ? | PA | ? | PB | ? sin 60? 2 1 3 2(3 3 ? 1) 3 2(3 3 ? 1) 3 ? ? ? ? . 2 7 7 2 ? 117 3 . 49

加 试 1. ( 40 分)如图, P, Q 分别是圆内接四边形 ABCD 的对角线 AC, BD 的中点.若 ?BPA? ?DPA,证明: ?AQB ? ?CQB . 2. (40 分)证明:对任意整数 n ? 4 ,存在一个 n 次多项式
f ( x) ? x n ? a n?1 x n?1 ? ? ? a1 x ? a0

具有如下性质: (1) a 0 , a1 , ? , a n ?1 均为正整数;

(2)对任意正整数 m ,及任意 k (k ? 2) 个互不相同的正整数 r1 , r2 , ?, rk ,均有
f (m) ? f (r1 ) f (r2 ) ? f (rk ) .

3.(50 分)设 a1 , a 2 , ? , a n (n ? 4) 是给定的正实数, a1 ? a 2 ? ? ? a n .对任意正实数 r , 满足
a j ? ai ak ? a j ? r (1 ? i ? j ? k ? n) 的三元数组 (i, j, k ) 的个数记为 f n (r ) .

证明: f n (r ) ?

n2 . 4

4.(50 分)设 A 是一个 3 ? 9 的方格表,在每一个小方格内各填一个正整数.称 A 中的 一个 m ? n (1 ? m ? 3, 1 ? n ? 9) 方格表为“好矩形” ,若它的所有数的和为 10 的倍数.称 A 中 的一个 1?1 的小方格为“坏格” ,若它不包含于任何一个“好矩形” .求 A 中“坏格”个数的 最大值. 解 答 1. 延长线段 DP 与圆交于另一点 E ,则 ?CPE ? ?DPA? ?BPA,又 P 是线段 AC 的中 点,故 AB ? CE ,从而 ?CDP ? ?BDA. 又 ?ABD? ?PCD,所以△ ABD∽△ PCD,于是
AB? CD ? PC? BD .
AB PC ,即 ? BD CD
? ?

从而有
AB ? CD ? 1 1 AC ? BD ? AC ? ( BD) ? AC ? BQ , 2 2



AB BQ . ? AC CD

又 ?ABQ ? ?ACD ,所以△ABQ∽△ACD,所以 ?QAB ? ?DAC . 延长线段 A Q 与圆交于另一点 F ,则 ?CAB ? ?DAF ,故 BC ? DF . 又因为 Q 为 BD 的中点,所以 ?CQB ? ?DQF . 又 ?AQB ? ?DQF ,所以 ?AQB ? ?CQB . 2. 令
f ( x) ? ( x ? 1)( x ? 2) ? ( x ? n) ? 2 ,
? ?



将①的右边展开即知 f ( x) 是一个首项系数为 1 的正整数系数的 n 次多项式. 下面证明 f ( x) 满足性质(2) . 对任意整数 t ,由于 n ? 4 ,故连续的 n 个整数 t ? 1, t ? 2, ? , t ? n 中必有一个为 4 的倍数, 从而由①知 f (t ) ? 2(mod 4) . 因此,对任意 k (k ? 2) 个正整数 r1 , r2 , ?, rk ,有

f (r1 ) f (r2 ) ? f (rk ) ? 2 k ? 0(mod 4) .

但对任意正整数 m ,有 f (m) ? 2(mod 4) ,故
f (m) ? ? f (r1 ) f (r2 ) ? f (rk )(mod 4) ,

从而 f (m) ? f (r1 ) f (r2 ) ? f (rk ) . 所以 f ( x) 符合题设要求. 3.对给定的 j (1 ? j ? n) ,满足 1 ? i ? j ? k ? n ,且
a j ? ai ak ? a j ?r



的三元数组 (i, j, k ) 的个数记为 g j (r ) . 注意到,若 i, j 固定,则显然至多有一个 k 使得①成立.因 i ? j ,即 i 有 j ? 1 种选法, 故 g j (r ) ? j ? 1 . 同样地,若 j , k 固定,则至多有一个 i 使得①成立.因 k ? j ,即 k 有 n ? j 种选法,故
g j (r ) ? n ? j .从而 g j (r ) ? min{ j ? 1, n ? j} .

因此,当 n 为偶数时,设 n ? 2m ,则有
f n (r ) ? ? g j (r ) ? ? g j (r ) ?
j ?2 j ?2 2 m ?1 n ?1 m ?1 2 m ?1 j ?m

?g

j

(r )

? ? ( j ? 1) ?
j ?2

m

j ? m ?1

? ( 2m ? j ) ?
n2 . 4

m(m ? 1) m(m ? 1) ? 2 2

? m2 ? m ? m2 ?

当 n 为奇数时,设 n ? 2m ?1 ,则有
f n (r ) ? ? g j (r ) ? ? g j (r ) ?
j ?2 j ?2 n ?1 m

j ? m ?1

?g

2m

j

(r )

? ? ( j ? 1) ?
j ?2

m

j ? m ?1

? ( 2m ? 1 ? j )

2m

? m2 ?

n2 . 4

4. 首先证明 A 中“坏格”不多于 25 个. 用反证法.假设结论不成立,则方格表 A 中至多有 1 个小方格不是“坏格” .由表格的 对称性,不妨假设此时第 1 行都是“坏格” .

设方格表 A 第 i 列从上到下填的数依次为 a i , bi , c i , i ? 1,2, ? ,9 .记
S k ? ? a i , Tk ? ? (bi ? c i ), k ? 0,1,2, ? ,9 ,
i ?1 i ?1 k k

这里 S 0 ? T0 ? 0 . 我们证明:三组数 S 0 , S 1 , ? , S 9 ; T0 , T1 , ? , T9 及 S 0 ? T0 , S1 ? T1 , ? , S 9 ? T9 都是模 10 的完 全剩余系. 事实上,假如存在 m, n, 0 ? m ? n ? 9 ,使 S m ? S n (mod 10) ,则
i ? m ?1

?a

n

i

? S n ? S m ? 0(mod 10) ,

即第 1 行的第 m ?1 至第 n 列组成一个“好矩形” ,与第 1 行都是“坏格”矛盾. 又假如存在 m, n, 0 ? m ? n ? 9 ,使 Tm ? Tn (mod 10) ,则
i ? m ?1

? (b

n

i

? c i ) ? Tn ? Tm ? 0(mod 10) ,

即第 2 行至第 3 行、 第 m ?1 列至第 n 列组成一个 “好矩形” , 从而至少有 2 个小方格不是 “坏 格” ,矛盾. 类似地,也不存在 m, n, 0 ? m ? n ? 9 ,使
S m ? Tm ? S n ? Tn (mod 10) .

因此上述断言得证.故

?S
k ?0

9

k

? ? Tk ? ? ( S k ? Tk ) ? 0 ? 1 ? 2 ? ? ? 9 ? 5(mod 10) ,
k ?0 k ?0

9

9

所以

? (S
k ?0

9

k

? Tk ) ? ? S k ? ? Tk ? 5 ? 5 ? 0(mod 10) ,
k ?0 k ?0

9

9

矛盾!故假设不成立,即“坏格”不可能多于 25 个. 另一方面,构造如下一个 3 ? 9 的方格表,可验证每个不填 10 的小方格都是“坏格” ,此 时有 25 个“坏格” . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 1 2

综上所述, “坏格”个数的最大值是 25.


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