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高中联合竞赛


全国高中数学联赛模拟试题(二)
(命题人:江厚利 审题人:李潜)

第一试
一、选择题(每小题 6 分,共 36 分)
? ? y ?3 1、已知集合 A ? ??x, y ? ? a ? 1? , B ? ?x, y ? ?a 2 ? 1?x ? ?a ? 1? y ? 15 .若 x?2 ? ?
A ? B ? ?

,则 a 的所有取值是

?

?

(A)-1,1 (C)±1,2

(B)-1,

1 2

5 2 D 2、如图 1,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1,点 M、N 分别 B 在 AB1、BC1 上,且 AM=BN.那么, A N ①AA1⊥MN; M ②A1C1∥MN; D1 ③MN∥平面 A1B1C1D1; ④MN 与 A1C1 异面. A1 B1 以上 4 个结论中,不正确的结论的个数为 图1 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

(D)±1,-4,

C

C1

3、用 Sn 与 an 分别表示区间 ?0,1? 内不含数字 9 的 n 位小数的和与个数.则

lim

an 的值为 n ?? S n

3 5 7 9 (B) (C) (D) 4 4 4 4 4、首位数字是 1,且恰有两个数字相同的四位数共有 (A)216 个 (B)252 个 (C)324 个 (D)432 个

(A)

5、对一切实数 x,所有的二次函数 f ?x ? ? ax2 ? bx ? c (a<b)的值均为非负
b?a 的最大值是 a?b?c 1 1 (A) (B) 3 2

实数.则

(C)3

(D)2

6、双曲线

x2 y2 ? ? 1 的一个焦点为 F1,顶点为 A1、A2,P 是双曲线上任意 a2 b2

一点.则分别以线段 PF1、A1A2 为直径的两圆一定

(A)相交 (C)相离

(B)相切 (D)以上情况均有可能

二、填空题(每小题 9 分,共 54 分)
1、已知复数 z1 ? 2 ? i , 2 z 2 ?

z1 ? i .若△ABC 的 3 个内角∠A、∠B、 ?2i ? 1? ? z1
C ,则 u ? z 2 的取值范围 2

∠C 依次成等差数列,且 u ? cos A ? 2icos 2

是 . 2、 P(a,b)在第一象限内, 点 过点 P 作一直线 l, 分别交 x、 轴的正半轴于 A、 y 2 2 B 两点.那么,PA +PB 取最小值时,直线 l 的斜率为 . 3、若△ABC 是钝角三角形,则 arccos(sinA)+arccos(sinB)+arccos(sinC)的取 值范围是 . 4、在正四面体 ABCD 中,点 M、P 分别是 AD、CD 的中点,点 N、Q 分别 是△BCD、△ABC 的中心.则直线 MN 于 PQ 的夹角的余弦值为 . 5、 在

?

x ?2

?

2 n ?1

的展开式中, 的幂指数是整数的各项系数之和是 x



6、集合 A、B、C(不必两两相异)的并集 A∪B∪C={1,2,3,?,n}.则满足 条件的三元有序集合组(A,B,C)的个数是 .

三、(20 分)
设 p>0,当 p 变化时,Cp:y2=2px 为一族抛物线,直线 l 过原点且交 Cp 于原点和点 Ap.又 M 为 x 轴上异于原点的任意点,直线 MAp 交 Cp 于点 Ap 和 Bp.求证:所有的点 Bp 在同一条直线上.

四、(20 分)
对于公差为 d(d≠0)的等差数列{an},求证:数列中不同两项之和仍是这 一数列中的一项的充要条件是存在整数 m?-1,使 a1=md.

五、(20 分)
求最大的正数?,使得对任意实数 a、b,均有

?a 2b 2 ?a ? b?2 ? ?a 2 ? ab ? b 2 ? .
3

第二试
一、(50 分)

如图 2,⊙O 切△ABC 的边 AB 于点 D,切边 AC 于点 C,M 是边 BC 上 一点,AM 交 CD 于点 N.求证:M 是 BC 中点的充要条件是 ON⊥BC. A

二、(50 分)

?a ? b ? c ?2 (a、b、c∈Z )的所有正 求出能表示为 n ?
abc
+

D

N M O

C

整数 n.

B

三、(50 分)

图2

在一个 2 n ? 1 ? 2 n ? 1 (n?2)的方格表的每个方格内填入 1 或-1,如 果任意一格内的数都等于与它有公共边的那些方格内所填数的乘积,则称这 种填法是“成功”的.求“成功”填法的总数.

?

? ?

?

参考答案
第一试
一、选择题: 题号 答案 二、填空题:
? 2 5? ?; , 1、 ? 2 2 ? ? ?

1 D

2 B

3 D

4 D

5 A

6 B

2、 ?

ab ; a

? ? 3? 3、 ? , ?2 2

? ?; ?

4、

1 ; 18

3 2 n ?1 ? 1 5、 ; 2

6、7n.

三、证略. 四、证略. 五、 ? max ?
27 . 4

第二试

一、证略; 二、1,2,3,4,5,6,8,9. 三、1 种(每空填 1).

高中数学联合竞赛模拟试题五
第一试
一、 选择题(每小题 6 分,共计 36 分) 1. 数集 M={s|s=x2+bx+c, x∈R}与 N={t|t=y2-by+c, y∈R}的关系为 A.M∩N B.M=N C.M∪N D.不能确定 2 2. 已知函数 y=2x 在[a,b](a<b)上的值域为[0,2],则点 (a,b)的轨迹是图中的 A.线段 AB,BC B.线段 AB,OC C.线段 OA,BC D.线段 OA,OC 3. 复数 z1= y B C -1 1 A x O

1 1 cos ? isin θ θ cos ? isin θ θ 的关系为 ? , z2 ? ? 1 ? cos ? isin 1 ? cos ? isin θ θ θ θ 1 ? cos ? isin 1 ? cos ? isin θ θ θ θ

A.z1>z2 B.z1=z2 C.z1<z2 D.不能比较大小 2 4. 设△ABC 的三个内角的对边分别为 a,b,c,如果 a =b(b+c),b2=c(c+a), 那么下列等式中不成立的是 A.∠A=2∠B=4∠C C.cosC-cosB-cosA=
1 2

B. ? ? D.sin2A+sin2B+sin2C=2

1 a

1 b

1 c

5. 给定四棱锥 S-ABCD,其中底面四边形不是平行四 S 边形,用一个与四条侧棱都相交的平面截这个四棱 D' A' 锥, 截得四边形 A'B'C'D', 记集合 M={四边形 A'B'C'D' C' 为平行四边形},则有 B' A.M 为空集 B.M 为无穷集合 A D C.M 为单元素集合 D.M 的元素个数不确定 6. 红、黄、蓝变色灯的拉线开关是这样设定的:接上电 C 源就出现红色,拉第一次开关后灯变为黄色,拉第二 B 次开关后灯变为蓝色,拉第三次开关后灯又变为红 色,如此循环往复。现在对编号为 1,2,3,??,1997 的 1997 盏变色灯通 上电源,先将编号为 2 的整数倍的灯的开关拉一下,然后将编号为 3 的整数倍 的灯的开关拉一下, 最后将编号为 5 的整数倍的灯的开关拉一下, 三次拉完后, 黄色灯的盏数为 A.1530 B.1464 C.932 D.866

二、 填空题(每小题 9 分,共计 54 分) 已知(-1)n23n≡bn(mod9)(0?bn?8),则 bn 的取值集合为 __________. A 1. 方程 log5(3x+4x)=log4(5x-3x)的解集为___________. 2. 如图, 三棱柱上有一个空间五边形 ABCDE, 的中点为 A1, AB A1 BC 的中点为 A2,CD 的中点为 A3,DE 的中点为 A4,连结 A1A3, 2A4, 是 A1A3 的中点, 是 A2A4 的中点, A M N 则 ___________. 3. 双曲线 y2-x2=1 与 y=
4x ? 2 x? 2

D E A4 A3 M N C A2

MN = AE

B

的交点为___________.

4. 对于 Sn={1,2,3,?,n}的每一个非空子集 A,我们将 A 中的每一个元素 k(1?k?n)都乘以(-1)k,然后求和,则所有这些和的总和为___________. 5. 在直角坐标系内,Rt△OAB 三个顶点的坐标为 O(0,0),A(1,0),B(1,2). 于斜边 OB 内任取一点 C(x,2x)(0<x<1),过 C 作 CD⊥OA 于 D,CE⊥AB 于 E,记△OCD 的面积为 S1(x),矩形 CDAE 的面积为 S2(x),△CEB 的面积 为 S3(x),又对同一个 x,记 f(x)为 S1(x)、S2(x)、S3(x)中的最大值,当 C 在线 段 OB 内变化时,f(x)的最小值为___________. 三、 (20 分)函数 y=(x+3)+lg[10-3+10x(x+4)]是否有最小值?若有,请求出 来,若无,请作出证明。

四、 (20 分)对于曲线 C1:3(x2+2y2)2=2(x2+4y2)上除原点外的每一点 P, 求证: 2 2 存在过 P 点的直线与椭圆 C2:x +2y =2 相交于点 A、 使△AOP 与△BOP B, 均为等腰三角形.

五、 (20 分)某县位于沙漠地带,人与自然长期进行顽强的斗争,到 1997 年底 全县的绿化率已经达到 30%(成为绿洲),从 1998 年开始,每年将出现这样的 局面,原有沙漠面积的 16%被栽上树,改造为绿洲,而原有绿洲面积的 4% 又被侵蚀,变为沙漠。 ⑴设全县面积为 1,而 1997 年底绿洲面积为 a1=30%,经过 n 年绿洲面积为 an+1,求证: an+1= a n ?
4 5 4 25

⑵至少需要经过多少年的努力,才能使全县的绿化率超过 60%(年数取整, 四舍五入)。

第二试
一、(50 分)在锐角△ABC 中,BD 是 AC 边上的高,E 是 AB 边上一点,满足 ∠AEC=45° ,BD=2CE,求证:DE∥BC 的充要条件是 CE=AC+AD.

二、(50 分)若|lgx|>|lg4x|>|lg2x|,则

2 1 ?x? 4 2

三、(50 分)有 n(n?6)名乒乓球选手进行单循环赛(无平局),比赛结果显示: 任意 5 人中既有 1 人胜于其余 4 人,又有 1 人负于其余 4 人,问恰胜两场的 人数有几个?


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