当前位置:首页 >> 高考 >> 高考数学综合能力题30讲第14讲 立体几何中的有关计算

高考数学综合能力题30讲第14讲 立体几何中的有关计算


数学高考综合能力题选讲 14

立体几何中的有关计算
100080 北京中国人民大学附中 题型预测
立体几何中的计算主要是求角和距离.其中二面角的平面角和点到平面的距离(体积) 常常作为考查的重点.

梁丽平

范例选讲 例 1 长方体 ABC D? A1 B1C1 D1 中, AB ? BC ? 1 ,
A1 D1 B1 C1

AA1 ? 2 , E 是侧棱 BB1 中点.

(1)求直线 AA1 与平面 A1 D1 E 所成角的大小;
E

(2)求二面角 E ? AC1 ? B 的大小; (3)求三棱锥 A ? C1 D1 E 的体积.
A

D

C B

讲解:(1)要求线面所成角,首先需要找到这个角,为此,我们应该先作 出面 A1 D1 E 的一条垂线.不难发现, AE 正为所求.
B 由长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 知:D1 A1 ? 面ABB1 A1 , AE ? 面A B 1 A1 , 又 所以, D1 A1 ? AE .

在矩形 ABB1 A1 中,E 为 BB1 中点且 AA1 ? 2 ,AB ? 1 , 所以,AE ? A1 E ? 2 , 所以, ?A1 AE 为等腰直角三角形, EA1 ? AE . 所以, AE ? 面 A1 D1 E . 所以, ?A1 AE 就是直线 AA1 与平面 A1 D1 E 所成的角,为 45? . (2)要作出二面角的平面角,一般的思路是最好能找到其中一个面的一条 垂线,则可利用三垂线定理(或逆定理)将其作出.

注 意 到

, AB ? 面B1B C C 所 以 , 面 1
D1 A1 G E D F C B B1 C1

A B ? 面B1 B C1 ,所以,只需在 面B1 BCC1 内过点 E C 1 C

作 EF ? BC1 于 F,则 EF ? 面 ABC1 . 过 F 作 FG ? AC1 于 G,连 EG,则 ?EGF 就是二 面角 E ? AC1 ? B 的平面角. 在 ?EBC1 中, EF ?
2 S ?EBC 1 BC1 ? EB ? C1 B1 5 ? , BC1 5

A

所以, C1 F ? C1 E 2 ? EF 2 ?

3 5 . 5
AB 30 ? . AC1 10

在 ?ABC1 中, FG ? C1 F ? sin ?FC1G ? C1 F ?
EF 6 ? . FG 3

在 Rt?EFG 中, tan ?EGF ?

所以,二面角 E ? AC1 ? B 的平面角的大小为 arctan

6 . 3

(3)要求三棱锥 A ? C1 D1 E 的体积,注意到(2)中已经求出了点 E 到平面
AC1 D1 的距离 EF.所以,

1 1 1 V A?C1D1E ? VE ? AC1D1 ? S ?AC1D1 ? EF ? AD1 ? CD1 ? EF ? . 3 6 6 另一方面,也可以利用等积转化.

因为 AB // D1C1 ,所以, AB // 面C1 D1 E .所以,点 A 到平 面C1 D1 E 的距离就 等于点 B 到平 面C1 D1 E 的距离.所以,
1 1 1 V A?C1D1E ? VB ?C1D1E ? VD1 ? EBC 1 ? S ?EBC 1 ? D1C1 ? EB ? C1 B1 ? D1C1 ? . 3 6 6

点评:求角的一般方法是:先作出所求角,然后再解三角形.利用三垂线定 理作出二面角的平面角是很常用的方法.

例2

如图: 三棱台 ABC ? A1 B1C1 中, 侧棱 CC1
A1

C1 B1

⊥底面 ABC , ?ACB ? 120 ? , AC ? a, BC ? 2a ,
B1C1 ? a ,直线 AB1 与 CC1 所成的角等于 60°.

C

(1)求二面角 B1 ? AC ? B 的大小; (2)求点 B 到平面 B1 AC 的距离.
A B

讲解

无论从已知(直线 AB1 与 CC1
C1 A1 B1

所成的角等于 60°)的角度还是从所求 (二面角 B1 ? AC ? B )的角度,过 B1 作
CC1 的平行线都是当然之举.

H E C D A B

在平面 B1C1CB 中, B1 作 B1 D // C1C 过 交 CB 于点 D ,连接 AD ,则 ?ADB1 就是 直 线 AB1 与 CC1 所 成 的 角 . 所 以 ,
?ADB1 ? 60? .

又因为 CC1 ⊥底面 ABC ,所以, B1 D ⊥底面 ABC .
? 在平面 ABC 内过点 D 作 DE ? AC 于 E , B1 E , B1 E ? AC , 连 则 所以, B1 ED

就是二面角 B1 ? AC ? B 的平面角. 在 ?ACD 中, AD ?
AC 2 ? CD 2 ? 2 AC ? CD cos120 ? ? 3a .

在 Rt ?AB1 D 中, B1 D ? AD ? cot 60? ? a . 在 Rt ?CED 中, DE ? CE ? sin 60? ?
a 3 a 2
3 a. 2

在 Rt ?EB1 D 中, tan ?B1 ED ?

?

2 3 . 3

所以,二面角 B1 ? AC ? B 的平面角的大小为: arctan

2 3 . 3

(2)由 D 为 BC 中点,故点 B 到平面 B1 AC 的距离等于点 D 到平面 B1 AC 的 距离的 2 倍,作 DH ? B1 E 于 H.由(1)知 AC ? 面B1 ED ,所以, AC ? DH , 所以, DH ? 面B1 AC ,所以, DH 就是点 D 到平面 B1 AC 的距离. 在 Rt ?EB1 D 中, DH ?
DE ? DB1 ? EB1 DE ? DB1 DE 2 ? DB1
2

?

21 a. 7

所以,点 B 到平面 B1 AC 的距离等于

2 21 a. 7

另外,我们也可以用体积法求出这个距离. 设点 B 到平面 B1 AC 的距离为 h .则由 VB1 ? ACB ? VB ? ACB1 及
VB1 ? ACB ? 1 1 ?1 3 3 ? S ?ABC ? B1 D ? ? ? AC ? BC ? sin ?ACB ? ? B1 D ? a , 3 3 ?2 6 ?

S ?ACB1 ?

1 1 7 2 AC ? B1 E ? AC ? ED 2 ? B1 D 2 ? a 可得: 2 2 4
?
3 3 ? 3a 2

h?

3V B ? ACB1 S ?ACB1

6 ? 2 21 a . 7 7a 4

所以,点 B 到平面 B1 AC 的距离等于

2 21 a. 7

点评

等积变形是求体积和求距离时常用的方法.

高考真题
A' C' B'

1.(1998 年全国高考)已知斜三棱柱 ABC- A'B'C'的侧面 A'ACC'与底面 ABC 垂直,∠ABC=

90? ,BC=2,AC= 2 3 且 AA'⊥A'C,AA'=A'C.
A

①求侧棱 AA'与底面 ABC 所成角的大小; ②求侧面 A'ABB'与底面 ABC 所成二面角的大
B

C

小; ③求顶点 C 到侧面 A'ABB'的距离.
D' A' B' C'

2.(1999 年全国高考)如图,已知四棱柱 ABCD- A'B'C'D',点 E 在棱 D'D 上,截面 EAC∥D'B,且面 EAC 与底
E

面 ABCD 所成的角为 45°,AB=a (1)求截面 EAC 的面积; (2)求异面直线 A'B'与 AC 之间的距离; (3)求三棱锥 B'-EAC 的体积.
D A B C

S

3. (2001 年全国高考)如图: 在底面是直角梯形的四棱锥 S-ABCD 中, ∠ABC=90°, SA⊥面 ABCD, SA=AB=BC=1, 1 AD= . 2 (1) 求四棱锥 S-ABCD 的体积; (2) 求面 SCD 与面 SBA 所成的二面角的平面角的正切值. A

B

C

D

[答案与提示:1.45? ;60? ; 3 . 2.

2 2 2 3 1 2 a ; 2a ; a . 3. ; . ] 2 4 4 2


更多相关文档:

...数学综合能力题选讲:第14讲 立体几何中的有关计算(...

数学高考综合能力题选讲 14 立体几何中的有关计算题型预测立体几何中的计算主要是求角和距离.其中二面角的平面角和点到平面的距离(体积) 常常作为考查的重点. 范...

...综合能力题选讲 第14讲 立体几何中的有关计算(含详...

【备战2014】北京中国人民大学附中高考数学 综合能力题讲 第14讲 立体几何中的有关计算(含详解) 隐藏>> 立体几何中的有关计算题型预测 立体几何中的计算主要是...

第14讲 立体几何中的有关计算

第14讲 立体几何中的有关计算_数学_高中教育_教育专区。数学高考综合能力题选讲...中, FG = C1 F sin ∠FC1G = C1 F EF 6 = . FG 3 30 AB = . ...

高考数学能力提高题第14讲 立体几何中的有关计算_免费...

高考数学综合能力题30讲第... 暂无评价 4页 1财富值 高考数学汇编—立体几何...高考数学能力提高题第14讲 立体几何中的有关计算 学习学习隐藏>> 高考数学能力...

...高考数学综合能力题30讲第15讲 立体几何中的有关证...

中国人民大学附中特级教师梁丽平 高考数学综合能力题30讲第15讲 立体几何中的有关证明 绝对正版,第一手资料 !由北京四中著名教师原创编辑,适合各地区版本的教材。绝...

...暑期复习综合能力题 第14讲 立体几何中的有关计算_...

高三数学暑期复习综合能力... 4页 2财富值 高考数学综合能力题30讲第... 暂无...高三数学暑期复习综合能力题 第14讲 立体几何中的有关计算 课件课件隐藏>> 上...

...高考数学综合能力题30讲第16讲 立体几何综合问题

中国人民大学附中特级教师梁丽平 高考数学综合能力题30讲第16讲 立体几何综合问题 隐藏>> 数学高考综合能力题选讲 16 立体几何综合问题 100080 北京中国人民大学附中...

第12讲 复数的运算与几何意义

第11讲 不等式的证明 第14讲 立体几何中的有关... 第15讲 立体几何中的有...精品中的精品:高考数学综合能力题30讲 作者:梁丽平 北京中国人民大学附中精品中的...

第26讲 建构数列模型的应用性问题

第12讲 复数的运算与几何... 第14讲 立体几何中的有关... 第15讲 立体几何...精品中的精品:高考数学综合能力题30讲 作者:梁丽平 北京中国人民大学附中精品中...

...北京中国人民大学附中高考数学 综合能力题选讲 第15...

】北京中国人民大学附中高考数学 综合能力题讲 第15讲 立体几何中的有关证明...,点 E 到平面 SCD 的距离就等于点 B 到面 SCD 距离的一半,即 h 14 ? ...
更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com