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2013高考理科数学试卷及答案(湖北卷)


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2013 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)



学(理工类)

本试题卷共 6 页,22 题,其中第 15、16 题为选考题。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项

是符合题目要求 的. 2i 1.在复平面内,复数 z ? ( i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于 1? i A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

1 2.已知全集为 R ,集合 A ? {x ( ) x ? 1} , B ? {x x2 ? 6x ? 8 ? 0} ,则 A ? ?R B ? 2
A. {x x ? 0} C. {x 0 ? x ? 2或x ? 4} B. {x 2 ? x ? 4} D. {x 0 ? x ? 2或x ? 4}

3.在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次.设命题 p 是“甲降落在指定范围” 是“乙降落在指定范 ,q 围” ,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 A. (?p) ∨ (?q) B. p ∨ (?q) C. (?p) ∧ (?q) D. p ∨ q

4.将函数 y ? 3 cos x ? sin x ( x ?R) 的图象向左平移 m (m ? 0) 个单位长度后,所得到的图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值是 π π π 5π A. B. C. D. 12 6 3 6 2 2 2 2 x y y x π 5.已知 0 ? ? ? ,则双曲线 C1 : ? 2 ? 1 与 C2 : 2 ? 2 ? 1的 2 4 cos ? sin ? sin ? sin ? tan 2 ? A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.焦距相等 D.离心率相等 ??? ? ???? 6.已知点 A( ?1, 1) 、 B(1, 2) 、 C (?2, ? 1) 、 D(3, 4) ,则向量 AB 在 CD 方向上的投影为
3 15 2 25 7.一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度 v(t ) ? 7 ? 3t ? (t 的单位:s,v 的单位: 1? t m/s)行驶至停止. 在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是 11 A. 1 ? 25 ln 5 B. 8 ? 25ln C. 4 ? 25 ln 5 D. 4 ? 50 ln 2 3 8. 一个几何体的三视图如图所示, 该几何体从上到下由四个简单几何体组成, 其体积分别记为 V1 ,V 2 ,V3 ,V 4 ,

A.

3 2 2

B.

3 15 2

C. ?

3 2 2

D. ?

上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有 A. V1 ? V2 ? V4 ? V3 B. V1 ? V3 ? V2 ? V4 C. V2 ? V1 ? V3 ? V4 D. V2 ? V3 ? V1 ? V4

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数学(理工类) 第 1 页(共 12 页)

第 8 题图

第 9 题图

9.如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为 125 个同样大小的小正方体. 经过搅 拌后,从中随机取一个小正方体,记它的涂漆面数为 X ,则 X 的均值 E ( X ) ? A.

126 125

B.

6 5

C.

168 125

D.

7 5

10.已知 a 为常数,函数 f ( x) ? x(ln x ? ax) 有两个极值点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,则 A. f ( x1 ) ? 0 , f ( x2 ) ? ? C. f ( x1 ) ? 0 , f ( x2 ) ? ?

1 2 1 2

B. f ( x1 ) ? 0 , f ( x2 ) ? ? D. f ( x1 ) ? 0 , f ( x2 ) ? ?

1 2 1 2

二、填空题:本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 请将答案填在答题卡对应题号的 ....... 位置上. 答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. (一)必考题(11—14 题) 11. 从某小区抽取 100 户居民进行月用电量调查, 发现其用电量都在 50 至 350 度之间, 频率分布直方图如图示.
开始

a ? 10, i ? 1

a ? 4?
否 是



a 是奇数 ?



a ? 3a ?1

a?

a 2

输出 i

i ? i ?1

结束

第 11 题图

第 12 题图 第 2 页(共 6 页)

(Ⅰ )直方图中 x 的值为_________; (Ⅱ)在这些用户中,用电量落在区间 [100, 250) 内的户数为_________. 12.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果 i ? _________. 13.设 x, y , z ? R ,且满足: x2 ? y 2 ? z 2 ? 1 , x ? 2 y ? 3z ? 14 ,则 x ? y ? z ? _________. 14.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数. 如三角形数 1,3,6,10, ? , 第 n 个三角形数为

n(n ? 1) 1 2 1 ? n ? n . 记第 n 个 k 边形数为 N (n, k ) (k ? 3) ,以下列出 2 2 2

了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式: 三角形数 正方形数 五边形数 六边形数

1 1 N (n,3) ? n2 ? n , 2 2
N (n, 4) ? n2 ,

3 1 N (n,5) ? n2 ? n , 2 2
N (n,6) ? 2n2 ? n ,

……………………………………… 可以推测 N (n, k ) 的表达式,由此计算 N (10, 24) ? _________. (二)选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框 用 2B 铅笔涂黑. 如果全选,则按第 15 题作答结果计分.) 15. (选修 4-1:几何证明选讲) 如图,圆 O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为 D ,点 D 在半径 OC 上的射影为 E .若 AB ? 3 AD ,则
C

CE 的值 EO

为_________.

A

E D O

B

16. (选修 4-4:坐标系与参数方程)

第 15 题图 ? x ? a cos ? , 在直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数, a ? b ? 0 ). 在 ? y ? b sin ? 极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴
π 2 m (m 为非零常数) 为极轴)中,直线 l 与圆 O 的极坐标方程分别为 ? sin(? ? ) ? 4 2 与 ? ? b . 若直线 l 经过椭圆 C 的焦点,且与圆 O 相切,则椭圆 C 的离心率为_________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 在△ ABC 中,角 A , B ,C 对应的边分别是 a ,b ,c . 已知 cos 2 A ? 3cos( B ? C ) ? 1 . (Ⅰ )求角 A 的大小; (Ⅱ)若△ ABC 的面积 S ? 5 3 , b ? 5 ,求 sin B sin C 的值. 第 3 页(共 6 页)

18. (本小题满分 12 分) 已知等比数列 {an } 满足: | a2 ? a3 | ? 10 , a1a2 a3 ? 125 . (Ⅰ )求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ )是否存在正整数 m ,使得
1 1 1 ? ??? ? 1 ?若存在,求 m 的最小值;若不存在,说明理由. a1 a2 am

19. (本小题满分 12 分) 如图, AB 是圆 O 的直径,点 C 是圆 O 上异于 A, B 的点,直线 PC ? 平面 ABC , E , F 分别是 PA , PC 的中点. (Ⅰ )记平面 BEF 与平面 ABC 的交线为 l ,试判断直线 l 与平面 PAC 的位置关系,并加以证明; ???? 1 ??? ? (Ⅱ)设(Ⅰ )中的直线 l 与圆 O 的另一个交点为 D ,且点 Q 满足 DQ ? CP . 记直线 PQ 与平面 ABC 所成 2 的角为 ? ,异面直线 PQ 与 EF 所成的角为 ? ,二面角 E ? l ? C 的大小为 ? ,求证: sin ? ? sin ? sin ? .

20. (本小题满分 12 分)

第 19 题图

假设每天从甲地去乙地的旅客人数 X 是服从正态分布 N (800, 502 ) 的随机变量. 记一天中从甲地去乙地的旅 客人数不超过 900 的概率为 p0 . (Ⅰ )求 p0 的值; (参考数据:若 X ~ N ( ? , ? 2 ) ,有 P(? ? ? ? X ? ? ? ? ) ? 0.6826 , P(? ? 2? ? X ? ? ? 2? ) ? 0.9544 ,
P(? ? 3? ? X ? ? ? 3? ) ? 0.9974 .)

(Ⅱ )某客运公司用 A 、 B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务,每车每天往返一次. A 、B 两 种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人, 从甲地去乙地的营运成本分别为 1600 元/辆和 2400 元/辆. 公司 拟组建一个不超过 21 辆车的客运车队,并要求 B 型车不多于 A 型车 7 辆. 若每天要以不小于 p0 的概 率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的营运成本最小,那么应配备 A 型车、 B 型车各 多少辆? 第 4 页(共 6 页)

21. (本小题满分 13 分) 如图,已知椭圆 C1 与 C2 的中心在坐标原点 O ,长轴均为 MN 且在 x 轴上,短轴长分别 为 2m , 2n (m ? n) ,过原点且不与 x 轴重合的直线 l 与 C1 , C2 的四个交点按纵坐标从 大到小依次为 A,B,C,D.记 ? ?

m ,△ BDM 和△ ABN 的面积分别为 S1 和 S2 . n

(Ⅰ)当直线 l 与 y 轴重合时,若 S1 ? ? S2 ,求 ? 的值; (Ⅱ)当 ? 变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S1 ? ? S2 ?并说明理由.

y A B M
C O N x

D
第 21 题图

22. (本小题满分 14 分) 设 n 是正整数, r 为正有理数. (Ⅰ)求函数 f ( x) ? (1 ? x)r ?1 ? (r ? 1) x ? 1 ( x ? ?1) 的最小值; (Ⅱ)证明:

nr ?1 ? (n ? 1)r ?1 (n ? 1)r ?1 ? nr ?1 ; ? nr ? r ?1 r ?1

? 3? (Ⅲ)设 x ? R ,记 ? x ? 为不小于 x 的最小整数,例如 ?2? ? 2 , ? π ? ? 4 , ? ? ? ? ?1 . ? ? ? ? ? ? ... ? 2?

令 S ? 3 81 ? 3 82 ? 3 83 ? ? ? 3 125 ,求 ? S ? 的值. ? ? (参考数据: 80 3 ? 344.7 , 813 ? 350.5 , 124 3 ? 618.3 , 126 3 ? 631.7 )
4 4 4 4

第 5 页(共 6 页)

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2013 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)

数学(理工类)试题参考答案
一、选择题 1.D 二、填空题 11. (Ⅰ)0.0044 (Ⅱ)70 14.1000 15.8 12.5 16.
6 3

2.C

3.A

4.B

5.D

6.A

7.C

8.C

9.B

10.D

13.

3 14 7

三、解答题 17. (Ⅰ)由 cos 2 A ? 3cos( B ? C ) ? 1 ,得 2cos2 A ? 3cos A ? 2 ? 0 , 即 (2cos A ? 1)(cos A ? 2) ? 0 ,解得 cos A ? 因为 0 ? A ? π ,所以 A ?

1 或 cos A ? ?2 (舍去). 2

π . 3

1 1 3 3 ? bc ? 5 3, 得 bc ? 20 . 又 b ? 5 ,知 c ? 4 . (Ⅱ)由 S ? bc sin A ? bc ? 2 2 2 4

由余弦定理得 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? 25 ? 16 ? 20 ? 21, 故 a ? 21 .

b c bc 20 3 5 又由正弦定理得 sin B sin C ? sin A ? sin A ? 2 sin 2 A ? ? ? . a a a 21 4 7
18.

?a 3 q3 ? 125, ? (Ⅰ)设等比数列 {an } 的公比为 q,则由已知可得 ? 1 2 ?| a1q ? a1q |? 10, ?

5 ? ?a ? ?5, ?a ? , 解得 ? 1 3 或 ? 1 ?q ? ?1. ?q ? 3, ?

5 故 an ? ? 3n?1 ,或 an ? ?5 ? (?1)n?1 . 3 1 1 3 1 5 3 1 (Ⅱ)若 an ? ? 3n?1 ,则 ? ? ( ) n ?1 ,故 { } 是首项为 ,公比为 的等比数列, an an 5 3 3 5 3 3 1 ? [1 ? ( )m ] m 1 5 9 1 9 3 从而 ? ? ? ? [1 ? ( )m ] ? ? 1 . 1 an 10 3 10 n ?1 1? 3 1 1 1 1 n ?1 若 an ? (?5) ? (?1) ,则 ? ? (?1)n ?1 ,故 { } 是首项为 ? ,公比为 ?1 的等比数列, an an 5 5
第 6 页(共 6 页)

? 1 m 1 1 ?? , m ? 2k ? 1 (k ? N? ), 故 ? ?1. ?? 5 an n ?1 n ?1 an ?0, m ? 2k (k ? N? ). ? m 1 综上,对任何正整数 m ,总有 ? ? 1 . n ?1 an
从而 ?
m

故不存在正整数 m ,使得

1 1 1 ? ??? ? 1 成立. a1 a2 am

19. (Ⅰ)直线 l ∥平面 PAC ,证明如下: 连接 EF ,因为 E , F 分别是 PA , PC 的中点,所以 EF ∥ AC . 又 EF ? 平面 ABC ,且 AC ? 平面 ABC ,所以 EF ∥平面 ABC . 而 EF ? 平面 BEF ,且平面 BEF ? 平面 ABC ? l ,所以 EF ∥ l . 因为 l ? 平面 PAC , EF ? 平面 PAC ,所以直线 l ∥平面 PAC .

第 19 题解答图 1

第 19 题解答图 2

(Ⅱ) (综合法)如图 1,连接 BD ,由(Ⅰ)可知交线 l 即为直线 BD ,且 l ∥ AC . 因为 AB 是 ? O 的直径,所以 AC ? BC ,于是 l ? BC . 已知 PC ? 平面 ABC ,而 l ? 平面 ABC ,所以 PC ? l . 而 PC ? BC ? C ,所以 l ? 平面 PBC . 连接 BE , BF ,因为 BF ? 平面 PBC ,所以 l ? BF . 故 ?CBF 就是二面角 E ? l ? C 的平面角,即 ?CBF ? ? .

???? 1 ??? ? 1 由 DQ ? CP ,作 DQ ∥ CP ,且 DQ ? CP . 2 2
连接 PQ , DF ,因为 F 是 CP 的中点, CP ? 2 PF ,所以 DQ ? PF , 从而四边形 DQPF 是平行四边形, PQ ∥ FD . 连接 CD ,因为 PC ? 平面 ABC ,所以 CD 是 FD 在平面 ABC 内的射影, 故 ?CDF 就是直线 PQ 与平面 ABC 所成的角,即 ?CDF ? ? . 又 BD ? 平面 PBC ,有 BD ? BF ,知 ?BDF 为锐角, 故 ?BDF 为异面直线 PQ 与 EF 所成的角,即 ?BDF ? ? , 于是在 Rt △ DCF , Rt △ FBD , Rt △ BCF 中,分别可得

第 7 页(共 6 页)

sin ? ?

CF BF CF , sin ? ? , sin ? ? , DF DF BF

CF BF CF ? ? ? sin ? ,即 sin ? ? sin ? sin ? . BF DF DF ???? 1 ??? ? 1 (Ⅱ) (向量法)如图 2,由 DQ ? CP ,作 DQ ∥ CP ,且 DQ ? CP . 2 2
从而 sin ? sin ? ? 连接 PQ , EF , BE , BF , BD ,由(Ⅰ)可知交线 l 即为直线 BD . ??? ??? ??? ? ? ? 以点 C 为原点,向量 CA, CB, CP 所在直线分别为 x, y, z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设
CA ? a, CB ? b, CP ? 2c ,则有

1 C (0, 0, 0), A(a, 0, 0), B(0, b, 0), P(0, 0, 2c), Q(a, b, c) , E( a, 0, c), F (0, 0, c) . 2 ??? ? ??? ? ??? ? 1 于是 FE ? ( a, 0, 0) , QP ? (?a, ? b, c) , BF ? (0, ? b, c) , 2 ??? ??? ? ? | FE ? QP | a b2 ? c 2 ? ? 所以 cos ? ? ??? ??? ? ,从而 sin ? ? 1 ? cos2 ? ? . | FE | ? | QP | a 2 ? b2 ? c 2 a 2 ? b2 ? c 2 ??? ? | m ? QP | c ??? ? ? 又取平面 ABC 的一个法向量为 m ? (0, 0, 1) ,可得 sin ? ? , 2 | m | ? | QP | a ? b2 ? c 2
设平面 BEF 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) ,

??? ? ?n ? FE ? 0, ? 所以由 ? ??? ? ?n ? BF ? 0, ?
于是 | cos ? | ?

?1 ? ax ? 0, 可得 ? 2 ??by ? cz ? 0. ?

取 n ? (0, c, b) .

|m?n| b c ? ,从而 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? . 2 2 2 | m |?| n | b ?c b ? c2

故 sin ? sin ? ? 20.

b2 ? c 2 a ?b ?c
2 2 2

?

c b ?c
2 2

?

c a ? b2 ? c 2
2

? sin ? ,即 sin ? ? sin ? sin ? .

(Ⅰ)由于随机变量 X 服从正态分布 N (800, 502 ) ,故有 ? ? 800 , ? ? 50
P(700 ? X ? 900) ? 0.9544 .

由正态分布的对称性,可得
p0 ? P( X ? 900) ? P( X ? 800) ? P(800 ? X ? 900)

?

1 1 ? P(700 ? X ? 900) ? 0.9772 . 2 2

第 8 页(共 6 页)

第 20 题解答图

(Ⅱ)设 A 型、 B 型车辆的数量分别为 x, y 辆,则相应的营运成本为 1600 x ? 2400 y . 依题意, x, y 还需满足: x ? y ? 21, y ? x ? 7, P( X ? 36 x ? 60 y) ? p0 . 由(Ⅰ)知, p0 ? P( X ? 900) ,故 P( X ? 36 x ? 60 y) ? p0 等价于 36 x ? 60 y ? 900 .
? x ? y ? 21, ? y ? x ? 7, ? 于是问题等价于求满足约束条件 ? ?36 x ? 60 y ? 900, ? x, y ? 0,x, y ? N, ?

且使目标函数 z ? 1600 x ? 2400 y 达到最小的 x, y . 作可行域如图所示, 可行域的三个顶点坐标分别为 P(5,12), Q(7,14), R(15,6) . 由图可知,当直线 z ? 1600 x ? 2400 y 经过可行域的点 P 时,直线 z ? 1600 x ? 2400 y 在 y 轴上截距 小,即 z 取得最小值. 故应配备 A 型车 5 辆、 B 型车 12 辆. 21. 依题意可设椭圆 C1 和 C2 的方程分别为

z 最 2400

x2 y 2 x2 y 2 m ? 2 ? 1, C2 : 2 ? 2 ? 1 . 其中 a ? m ? n ? 0 , ? ? ? 1. 2 n a m a n (Ⅰ)解法 1:如图 1,若直线 l 与 y 轴重合,即直线 l 的方程为 x ? 0 ,则
C1 :

S1 ?

S | BD | 1 1 1 1 . | BD | ? | OM | ? a | BD | , S2 ? | AB | ? | ON | ? a | AB | ,所以 1 ? S 2 | AB | 2 2 2 2 | BD | | yB ? yD | m ? n ? ? 1 ? ? ? . | AB | | y A ? yB | m ? n ? ? 1

在 C1 和 C2 的方程中分别令 x ? 0 ,可得 y A ? m , yB ? n , yD ? ?m , 于是 若

S1 ? ?1 ? ? ,则 ? ? ,化简得 ? 2 ? 2? ? 1 ? 0 . 由 ? ? 1 ,可解得 ? ? 2 ? 1 . S2 ? ?1

故当直线 l 与 y 轴重合时,若 S1 ? ? S2 ,则 ? ? 2 ? 1 . 解法 2:如图 1,若直线 l 与 y 轴重合,则
| BD | ? | OB | ? | OD | ? m ? n , | AB | ? | OA | ? | OB | ? m ? n ;

1 1 1 1 | BD | ? | OM |? a | BD | , S2 ? | AB | ? | ON |? a | AB | . 2 2 2 2 S | BD | m ? n ? ? 1 ? ? 所以 1 ? . S2 | AB | m ? n ? ? 1 S1 ?

S1 ? ?1 ? ? ,则 ? ? ,化简得 ? 2 ? 2? ? 1 ? 0 . 由 ? ? 1 ,可解得 ? ? 2 ? 1 . S2 ? ?1

故当直线 l 与 y 轴重合时,若 S1 ? ? S2 ,则 ? ? 2 ? 1 .

y

A B

y A B
N x

M

O C

M
C

O

N x

第 9 页(共 6 页)

D 第 21 题解答图 1

D
第 21 题解答图 2

(Ⅱ)解法 1:如图 2,若存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S1 ? ? S2 . 根据对称性, 不妨设直线 l : y ? kx (k ? 0) , 点 M (?a, 0) , N (a, 0) 到直线 l 的距离分别为 d 1 , d2 ,则 因为 d1 ? 又 S1 ?
| ?ak ? 0 | 1? k
2

?

ak 1? k
2

, d2 ?

| ak ? 0 | 1? k
2

?

ak 1? k2

,所以 d1 ? d2 .

S | BD | 1 1 ? ? ,即 | BD |? ? | AB | . | BD | d1 , S2 ? | AB | d2 ,所以 1 ? S 2 | AB | 2 2

由对称性可知 | AB | ?| CD | ,所以 | BC | ? | BD | ? | AB | ? (? ? 1) | AB | ,
| AD | ? | BD | ? | AB | ? (? ? 1) | AB | ,于是
| AD | ? ? 1 ? . | BC | ? ? 1



将 l 的方程分别与 C1,C2 的方程联立,可求得
xA ? am a k ?m
2 2 2

, xB ?

an a k 2 ? n2
2

.

根据对称性可知 xC ? ? xB , xD ? ? xA ,于是

1 ? k 2 | xA ? xD | 2 xA m a2 k 2 ? n2 | AD | . ? ? ? 2 2 2 | BC | 1 ? k 2 | xB ? xC | 2 xB n a k ? m
从而由①和②式可得
a 2 k 2 ? n2 ? ?1 ? . a 2 k 2 ? m2 ? (? ? 1)





令t ?

? ?1 n 2 (? 2 t 2 ? 1) ,则由 m ? n ,可得 t ? 1 ,于是由③可解得 k 2 ? 2 . ? (? ? 1) a (1 ? t 2 )
n 2 (? 2 t 2 ? 1) ?0, a 2 (1 ? t 2 )

因为 k ? 0 ,所以 k 2 ? 0 . 于是③式关于 k 有解,当且仅当 等价于 (t 2 ? 1)(t 2 ? 即
1 ?

1

?2

) ? 0 . 由 ? ? 1 ,可解得

1

?

? t ?1,

?

? ?1 ? 1 ,由 ? ? 1 ,解得 ? ? 1 ? 2 ,所以 ? (? ? 1)

当 1 ? ? ? 1 ? 2 时,不存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S1 ? ? S2 ; 当 ? ? 1 ? 2 时,存在与坐标轴不重合的直线 l 使得 S1 ? ? S2 . 解法 2:如图 2,若存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S1 ? ? S2 . 根据对称性, 不妨设直线 l : y ? kx (k ? 0) , 点 M (?a, 0) , N (a, 0) 到直线 l 的距离分别为 d 1 , d2 ,则 因为 d1 ? 又 S1 ?
| ?ak ? 0 | 1? k
2

?

ak 1? k
2

, d2 ?

| ak ? 0 | 1? k
2

?

ak 1? k2

,所以 d1 ? d2 .

S | BD | 1 1 ??. | BD | d1 , S2 ? | AB | d2 ,所以 1 ? S 2 | AB | 2 2

第 10 页(共 6 页)

因为

x ? ?1 1 ? k 2 | xB ? xD | xA ? xB | BD | . ? ? ? ? ,所以 A ? 2 xB ? ? 1 | AB | 1 ? k | xA ? xB | xA ? xB

由点 A( xA , kxA ) , B( xB , kxB ) 分别在 C1,C2 上,可得
xA2 k 2 x A2 x 2 k2x 2 x 2 ? x 2 k 2 ( x A 2 ? ? 2 xB 2 ) ? ? 1 , B2 ? 2B ? 1 ,两式相减可得 A 2 B ? ?0, a2 m2 a n a m2

依题意 xA ? xB ? 0 ,所以 xA2 ? xB 2 . 所以由上式解得 k 2 ? 因为 k 2 ? 0 ,所以由 从而 1 ?

m 2 ( x A 2 ? xB 2 ) . a 2 (? 2 xB 2 ? xA2 )

x m 2 ( x A 2 ? xB 2 ) ? 0 ,可解得 1 ? A ? ? . 2 2 2 2 xB a (? xB ? x A )

? ?1 ? ? ,解得 ? ? 1 ? 2 ,所以 ? ?1

当 1 ? ? ? 1 ? 2 时,不存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S1 ? ? S2 ; 当 ? ? 1 ? 2 时,存在与坐标轴不重合的直线 l 使得 S1 ? ? S2 . 22. (Ⅰ)因为 f ?( x) ? (r ? 1)(1 ? x)r ? (r ? 1) ? (r ? 1)[(1 ? x)r ? 1] ,令 f ?( x ) ? 0 ,解得 x ? 0 . 当 ?1 ? x ? 0 时, f ?( x ) ? 0 ,所以 f ( x ) 在 ( ?1,0) 内是减函数; 当 x ? 0 时, f ?( x ) ? 0 ,所以 f ( x ) 在 (0, ??) 内是增函数. 故函数 f ( x ) 在 x ? 0 处取得最小值 f (0) ? 0 . (Ⅱ)由(Ⅰ) ,当 x ? ( ?1, ??) 时,有 f ( x ) ? f (0) ? 0 ,即
(1 ? x)r ?1 ? 1 ? ( r ? 1) x ,且等号当且仅当 x ? 0 时成立,

故当 x ? ?1 且 x ? 0 时,有
(1 ? x)r ?1 ? 1 ? ( r ? 1) x .



在①中,令 x ?

1 1 r ?1 (这时 x ? ?1 且 x ? 0 ) ,得 (1 ? )r ?1 ? 1 ? . n n n

上式两边同乘 n r ?1 ,得 (n ? 1)r ?1 ? n r ?1 ? n r (r ? 1) ,即

nr ?

(n ? 1)r ?1 ? nr ?1 . r ?1



1 当 n ? 1 时,在①中令 x ? ? (这时 x ? ?1 且 x ? 0 ) ,类似可得 n

nr ?1 ? (n ? 1)r ?1 . r ?1 且当 n ? 1 时,③也成立. nr ?
综合②,③得



nr ?1 ? (n ? 1)r ?1 (n ? 1)r ?1 ? nr ?1 ④ ? nr ? . r ?1 r ?1 1 (Ⅲ)在④中,令 r ? , n 分别取值 81,82,83,?,125,得 3
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4 4 4 3 4 3 ( 3 ? 80 3)< 3 81 ? (82 3 ? 813 ) , 81 4 4 4 4 4 4 3 3 ( 3 ? 813)< 3 82 ? (83 3 ? 82 3 ) , 82 4 4 4 4 4 4 3 3 ( 3 ? 82 3) 3 83 ? (84 3 ? 83 3 ) , 83 ? 4 4

???
4 4 4 4 3 3 ( 3 ? 124 3) 3 125 ? (126 3 ? 125 3 ) . 125 ? 4 4

将以上各式相加,并整理得
4 4 4 4 3 3 ( 3 ? 80 3) S ? (126 3 ? 813 ) . 125 ? 4 4 4 4 4 4 3 3 125 126 代入数据计算,可得 ( 3 ? 80 3)? 210.2 , ( 3 ? 813)? 210.9 . 4 4

由 ? S ? 的定义,得 ? S ? ? 211 . ? ? ? ?

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